XII. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Определение дифференциального уравнения. Задача Коши

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение

(1)

связывающее независимое переменное x, искомую функцию и ее производные.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Функция называется (частным) решением дифференциального уравнения (1), если. Уравнение (1) имеет, как правило, бесчисленное множество решений. Общим решением уравнения (1) называется семейство функций, зависящих отn параметров , таких, что для любого допустимого набораполучается частное решениеуравнения (1).

Равенство  , неявно задающее общее решение уравнения (1), называется общим интегралом уравнения (1).

При решении практических задач приходится искать не общее решение уравнения (1), а его частное решение, удовлетворяющее некоторым определенным условиям. Примером такой задачи является так называемая задача Коши, состоящая в нахождении решения уравнения (1), удовлетворяющего начальным условиям

. (2)

При некоторых не очень жестких ограничениях на функцию F задача Коши (1), (2) имеет единственное решение.

2. Уравнение с разделяющимися переменными

Уравнение вида называется уравнением с разделяющимися переменными. Для решения такого уравнения достаточно представить в виде отношения дифференциалов, разделить переменные и проинтегрировать обе части уравнения:

; ;.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Имеем: .

Разделяя переменные, получим

; ;;

–это и есть общее решение нашего уравнения. (Мы положили ; равенствоможно заменить на, так как неопределенность знака поглощается константойC.)

Уравнения с разделяющимися переменными часто пишут в другой форме:

.

Пример 2. Решить задачу Коши

,

Решение. Разделим переменные в уравнении:

; ;

.

Отсюда находим общее решение . Для определения константыC воспользуемся начальным условием :

Таким образом, решением задачи Коши является .

Дифференциальное уравнение вида

c помощью подстановки приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Введем новую неизвестную функцию .

Тогда , и наше уравнение примет вид

.

Это уравнение с разделяющимися переменными:

;;

.

Отсюда находим ;– общее решение исходного уравнения.

3. Однородные дифференциальные уравнения

Функция двух переменных называется однородной функцией n-го порядка, если для всех допустимых значений.

Дифференциальное уравнение

(3)

называется однородным, если является однородной функцией нулевого порядка, т.е. если. Однородная функция нулевого порядка фактически является функцией частного:

.

Поэтому введением нового переменного (новой неизвестной функции) уравнение (3) приводится к уравнению с разделяющимися переменными:.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Проверим функцию на однородность:

.

Следовательно, наше уравнение является однородным. Делаем подстановку , тогдаи уравнение принимает вид

Получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Подставив , получим, что приводит к общему интегралу исходного уравнения:.

Дифференциальное   уравнение   вида будет однородным, еслиявляются однородными функциями одного порядка.

Уравнение вида (4)

в случае , приводится к однородному с помощью замены переменных

где m и n являются решением системы

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. В этом случае . Сделаем замену переменных

dx =du, dy =dv. Уравнение примет вид

.

Подберем m и n так, чтобы выполнялись равенства

=>

Подставляя эти значения m и n в уравнение, получим

.

Положим , тогда,. Уравнение примет вид

; ;;.

Разделяя переменные, решим это уравнение:

; ;

;

Вспомним, что :

Учтем, что

Это и есть общий интеграл исходного уравнения.

Если в уравнении (4) , т.е., то это уравнение принимает вид

. (5)

Подстановкой последнее уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. В этом случае . Введем новую неизвестную функцию. ТогдаНаше уравнение примет вид;;;

; ;

Подставив , получим

.

Это и есть общий интеграл нашего уравнения.