12.Лоду n-го порядка с постоянными коэффициентами, его решение
a0y(n) + a1 y(n-1) + ... + any = 0 (1)
ai , i от 0 до n - постоянные коэффициенты
Метод Л. Эйлера
y=ekx (2)
y'= k ekx
y''=k2 ekx и так далее
yn = kn ekx
a0kn ekx + a1k(n-1) ekx + ... + an-1k ekx + an ekx = 0
a0kn + a1kn-1 + ... + an = 0 - характеристическое уравнение
Случаи:
1) Все корни характеристического уравнения действительные и различные
k1, k2, ..., kn
ek1x, ek2x, ..., eknx - линейно независимые решения
y(x) = C1 ek1x + C2 ek2x + ... + Cn eknx
2) k1,2 = α + iβ
e(α+iβ)x = eαx * eiβx =eαx( cosβx + sinβx)
ei𝜑 = cos𝜑 + isin𝜑 - формула Эйлера
e(α-iβ)x = eαx( cosβx - (если спросит, должно ли здесь быть что-то, то скажите забыл(а) i дописать)sinβx)
eαx * cosβx, eαx * sinβx - линейно независимые решения
3) к - корень характеристического уравнения кратности α
ekx, x ekx, ... xα-1 * ekx - линейно независимы на любом отрезке [a, b]
4)
k = p - iq - комплексный корень кратности α, то есть повторяется α раз
k = p - iq - кратности α
epxcosqx, x epxcosqx, ... , xα-1 epxcosqx
epxsinqx, x epxsinqx, ... , xα-1 epxsinqx
α - линейно независимые решения
13.Лноду n-го порядка. Общая теория.
(y(x)
– пишется с волнистым подчеркиванием
сверху)
ЛНОДУ( линейно неоднородные ДУ)
y(n) + P1(x)y(n-1) + … + Pn-1(x)y’ + Pn(x)y = f(x) (1)
L(y) = f(x) (1’)
Если все коэффициенты P1(x), f(x) непрерывна на [a,b], то по теорема существования и единственности для ОДУ n-го порядка существует единственное решение задачи Коши для этого ДУ с любыми НУ в точке x0 принадлежащей [a,b]
Свойство1:
пусть y(x)
– решение уравнения
y(n) + P1(x)y(n-1) + … + Pn-1(x)y’ + Pn(x)y = f(x) (1)
а
y0(x)
– решение соответствующего ЛОДУ L(y)
= 0 , тогда y0(x)
+ y(x)
– решение уравнения (1)
Доказательство:
L[y0(x)
+ y(x)] = L[y0]
+ L[y(x)] = f(x)
y0(x)
+y(x)
– решение (1)
Свойство2: пусть y1(x), … , ym(x) решения L(y) = fi(x) , i=1, … , m, тогда
y(x)
=
iyi(x)
– является решением ДУ L(y)
=
ifi(x)
Доказательство вытекает из свойства 1.
Свойство3: (структура общего решения ЛНОДУ n-го порядка)
Общее
решение на отрезке [a,b]
L(y)
= f(x)
с непрерывными на этом же отрезке
коэффициентами Pi(x)
и f(x)
равно сумме общего решения соответствующего
ЛОДУ n-го
порядка
и какого нибудь частного решенияy(x)
этого ЛНОДУ n-го
порядка, т.е. y(x)=
+y(x)
(1)
Доказательство:
y(x)=
+y(x)
– решение ЛНОДУ следует из свойства 1.
Докажем что это общее решение: любые
НУ: y(x0)=y0
, y’(x0)
= y’0
,…, y(n-1)(x0)=
(2)
Удовлетворим (1) этим начальным условиям:
(x0)
+ y(x0)=y0
- первое НУ СЛАУ из n
уравнений
(x0)
+ y’(x0)
=y’0
– второе НУ с n
неизвестными С1,С2,…,Сn
…
i
(x0)
+ y(n-1)(x0)
=
- последнее НУ
Единственное
решение, т.к. = (x0)
≠ 0,
т.к. система линейно независима.
14.Теарема о структуре общего решения лноду n-го порядка.
(y(x)
– пишется с волнистым подчеркиванием
сверху)
Свойство1
ЛНОДУ n-го
порядка: пусть
y(x)
– решение уравнения
y(n) + P1(x)y(n-1) + … + Pn-1(x)y’ + Pn(x)y = f(x) (1)
а
y0(x)
– решение соответствующего ЛОДУ L(y)
= 0 , тогда y0(x)
+ y(x)
– решение уравнения (1)
Доказательство:
L[y0(x)
+ y(x)] = L[y0]
+ L[y(x)] = f(x)
y0(x)
+y(x)
– решение (1)
Свойство2 ЛНОДУ n-го порядка: пусть y1(x), … , ym(x) решения L(y) = fi(x) , i=1, … , m, тогда
y(x)
=
iyi(x)
– является решением ДУ L(y)
=
ifi(x)
Доказательство вытекает из свойства 1.
Свойство3 ЛНОДУ n-го порядка: (структура общего решения ЛНОДУ n-го порядка)
Общее
решение на отрезке [a,b]
L(y)
= f(x)
с непрерывными на этом же отрезке
коэффициентами Pi(x)
и f(x)
равно сумме общего решения соответствующего
ЛОДУ n-го
порядка
и какого нибудь частного решенияy(x)
этого ЛНОДУ n-го
порядка, т.е. y(x)=
+y(x)
(1)
Доказательство:
y(x)=
+y(x)
– решение ЛНОДУ следует из свойства 1.
Докажем что это общее решение: любые
НУ: y(x0)=y0
, y’(x0)
= y’0
,…, y(n-1)(x0)=
(2)
Удовлетворим (1) этим начальным условиям:
(x0)
+ y(x0)=y0
- первое НУ СЛАУ из n
уравнений
(x0)
+ y’(x0)
=y’0
– второе НУ с n
неизвестными С1,С2,…,Сn
…
i
(x0)
+ y(n-1)(x0)
=
- последнее НУ
Единственное
решение, т.к. = (x0)
≠ 0,
т.к. система линейно независима.