1 1.Классическое и статистическое определения вероятности Вероятность события равна отношению числа исходов благоприятствующих появлению события к числу всех возможных исходов Статистическим определением вероятности. Число, к которому стремится устойчивая относительная частота, называется статистической вероятностью этого события.

2 Геометрические вероятности

Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры Aк площади всего множества Ω:

3. Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий: Р (А + В) = Р (А) + Р (В). В случае, когда события А и В совместны, вер-ть их суммы выражается формулой Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ), где АВ – произведение событий А и В. Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события. Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что событие А наступило. Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

4. Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1 , А2 , ..., Аn , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

Р (A) = 1 — q1q2 ... qn

Ч а с т н ы й с л у ч а й. Если события А1 , А2 , ..., Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P (A) = l — qn.

5. Пусть событие A может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Тогда, если произошло событие A, то это значит, что произошло одно из попарно несовместных событий H1A, H2A, ..., HnA. Следовательно, Эта формула называется формулой полной вероятности. События H1, H2, ..., Hn часто называют «гипотезами».

6. Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1, B2,...,Bn образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности

7.Вероятность того, что в n-независимых испытаниях событие произойдёт ровно К раз определяется формулой Бернулли: ,где p-вероятность появления события; q-вероятность непоявления; n-k-число, которое показывает сколько раз событие не появится.

8. Если вероятность p появления события A в каждом из n независимых испытаниях постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k) того, что событие A наступит в n испытаниях ровно K раз приближенно равна.

Локальная теорема Лапласса решает тот-же вопрос, что и теорема Бернулли, но с отличием в том, что для Бернулли берутся маленькие числа, а для Лапласса большие.

9. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность P_n (K₁;K₂) того, что событие А появится в n испытаниях от K1 до К2 раз, приближенно равна определенному интегралу:

10. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0<p<1), абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события не превысит положительного числа е, приближенно равна удвоенной функции Лапласа.

11. Число k0 (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число k0 определяют из двойного неравенства

np-q≤k0≤np+p,

причем:

а) если число nр-q — дробное, то существует одно наивероят нейшее чиcло k0;

б) если число nр-q — целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k0 и k0+1;

в) если число nр—целое, то наивероятнейшее число k0 = nр.

12. Производящей функцией вероятностей Pn(k) называют функцию, определяемую равенством

φn(z) = (p1z + q1)(p2z + q2)...(pnz + qn)

Вероятность P(k) того, что в n независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равна р1 во втором р2 и т. д., событие A появится ровно k раз, равна коэффициенту при zk в разложении производящей функции по степеням z. Например, если n =2, то

φ2(z) = (p1z + q1)(p2z + q2)=p1p2z2+(p1q2 + p2q1)z+q1q2 .

Здесь коэффициент p1p2 при z2 равен вероятности Р2(2) того, что событие А появится ровно два раза в двух испытаниях; коэффициент p1q2 + p2q1 при z1 равен вероятности Р2(1) того, что событие А появится ровно один раз; коэффициент при z0, т. е. свободный член q1q2 равен вероятности Р2(0) того, что событие А не появится ни одного раза.

Заметим, что если в различных испытаниях появляются различные события (в первом испытании событие А1 во втором — событие А2 и т. д.), то изменяется лишь истолкование коэффициентов при различных степенях z. Например, в приведенном выше разложении коэффициент р1p2 определяет вероятность появления двух событий А1 и А2.

13. Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Формальное математическое определение следующее: пусть — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на . Вероятностное поведение отдельной (независимо от других) случайной величины полностью описывается её распределением.

14.

15. Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины ξ, принимающей целочисленные значения с вероятностями

где — параметр биномиального распределения, иногда называемый «вероятностью положительного исхода»; одно из основных распределений вероятностей, порождаемых конечным множеством независимых случайных экспериментов (испытаний).