matan (1)
.pdf
1. Задачи, приводящие к ОДУ
Задача 1 (Задача о радиоактивном распаде)
Составить уравнение радиоактивного распада вещества при условии, что скорость распада пропорциональна количеству вещества в любой момент времени t.
Решение
m(t) - количество вещества
-скорость распада
=- mk (1)
m' + mk = 0
Задача 2 (Задача о свободном падении тела в среде с сопротивлением)
Произвольное тело массой m свободно падает в воздушной среде. составить дифференциальное уравнение относительно скорости паления при условии того, что скорость пропорциональна силе сопротивления.
Решение
ma = mg - kv (2)
= ma
mv' + kv = mg (2')
Задача 3 (Задача об охлаждении нагретого тела)
В среде с температурой среды Tc находится нагретое тело. Составить дифференциальное, описывающие процесс охлаждения тела в этой среде при условии, что v охлаждения пропорциональна разности TЛ - Tс
Решение
T(t)
= - (Tл - Tc) (3)
T' + k(Tл - Tc) = 0 (3')
2.ОДУ 1-го порядка. Общие понятия
F(x, y, y') = 0 (1)
y' = f(x, y) (1')
Начальное условие одно, так как порядок 1
НУ : y(x0) = y0 (2)
(1) - (2) - называется задача Коши для дифференциального уравнения (1)
y = (x) - решение, график его решения называется интегральная кривая.
О1 Общим решением (ОР) дифференциального уравнения называется однопараметрическое семейство функций y= (x, С), которое удовлетворяет 2 условиям 1) y = (x, С) - является решением при любом С.
2) при любом НУ вида (2) существует такое C = C0, что y = (x, С0) - решение удовлетворяет этому НУ
y= (x, С) - ОР
О2 Частным решением (ЧР) ОДУ называется решение, полученное из общего решения при фиксированном C = C0, то есть y = (x, С0) - ЧР
Иногда общее решение получается не в виде y = (x, С), а в виде ϕ (x, y, C) = 0 - интеграл.
Частный интеграл - решение, полученное из общего интеграла при фиксированном значении C, то есть
C = C0
ϕ (x, y, C0) - частный интеграл
Теорема (О существовании единственности решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка)
Пусть имеем задачу Коши для ОДУ 1-го порядка
y' = f(x,y), y(x0) = y0
Пусть f непрерывна в некоторой области D R2 и M0(x0, y0) D, тогда в некоторой окрестности точки x0:(x0- δ, x0+δ), тогда существует по меньшей мере одно решение y = (x) этого дифференциального уравнения. При дополнительном условии
ограниченности вот такой частной производной |
|
в некоторой окрестности точки |
||||||||
|
||||||||||
M0, это решение единственно и удовлетворяет НУ (без доказательства) |
||||||||||
3. ОДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными. |
||||||||||
y' = f1(x)*f2(y) |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|||
M1(x)*M2(y)dx + N1(x)*N2(y)dy = 0 (2) |
|
|
||||||||
N1(x)*N2(y)dy = - M1(x)*M2(y)dx |
|
|
||||||||
|
) |
dy = - |
) |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
) |
) |
|
|
|
|
||||
∫ |
) |
|
= - ∫ |
|
) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
) |
|
) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. Однородное (относительно переменных) ОДУ 1-го порядка
О1 Называется однородным к-го порядка если выполняется следующее равенство
f(λx, λy) =λk f(x, y)
Если к = 0, то это однородное уравнение нулевого порядка.
О2 ОДУ y'= f(x, y) Называется однородное(относительно переменных), если f(x, y) - однородное нулевого порядка
y'= ( ) (1)
|
= t |
|
|
||
|
|
|
|||
y=tx |
|
|
|||
y' = t'x + t |
|
|
|||
t'x + t= |
) |
|
|||
|
|
x= |
) - t |
||
|
|
||||
|
|
|
|
= |
|
) |
|
|
|||
|
|
|
|||
∫ |
|
= ∫ |
|
) |
|||
|
|
5. Линейные ОДУ 1-го порядка, их интегрирование
Y’+P(x)y=f(x) |
|
|
(2) |
|
|
|
|
||||||||
1) Метод вариации постоянной: |
|
|
|||||||||||||
Y’+P(x)y=0 |
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y= C |
∫ |
|
) |
|
|
(3) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y= C(x) |
∫ |
|
) |
|
(3’) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
C’(x) |
∫ |
|
) |
|
- C(x) |
∫ |
) |
+ P(x)C(x) |
∫ ) =f(x) |
||||||
C’(x) |
∫ |
|
) |
|
= f(x) |
|
|
|
|
|
|||||
C(x) = ∫ |
|
) ∫ |
) |
+ |
|
|
|
|
|||||||
y= (∫ |
|
) ∫ |
|
) |
+ ) |
∫ |
) |
– общее решение. |
|||||||
2) Метод Бернули: |
|
|
|
|
|
||||||||||
Y’+P(x)y=f(x) |
|
|
(1) |
|
|
|
|
||||||||
y= U(x)*V(x) |
|
|
(2) |
|
|
|
|
||||||||
y’= U’V+V’U |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
U’V+V’U+P(x)UV=f(x) |
|
|
|
|
|
||||||||||
U’V+U(V’+P(x)V)=f(x) |
,где (V’+P(x)V)=0 |
|
|||||||||||||
V’+P(x)V=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ln |V| = |
∫ |
|
) |
|
|
|
|
|
|||||||
V = |
∫ |
) |
|
|
(3) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
U’ |
∫ |
) |
=f(x) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
) |
∫ |
) |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dU= |
) |
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||
U=∫ |
) ∫ |
|
) |
+ |
(4) |
|
|
||||||||
y= (∫ |
|
) ∫ |
|
) |
+ |
) |
∫ |
) |
- общее решение. |
||||||
6.Уравнение Бернулли, его интегрирование.
Определение: уравнением Бернулли называется уравнение вида:
y’+P(x)y=f(x)yα (α≠0, α≠1)
Решение:
y’+P(x)y=f(x)yα
y-αy’+P(x)y1-α=f(x)
z= y1-α
z’=(1- α) y-αy’
y-αy’= z’
z’+P(x)z=f(x) – линейное ОДУ 1-го порядка (относительно функции z)
7.Уравнение в полных дифференциалах, его интегрирование.
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (1)
Определение: ДУ (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть его является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y), т.е.
dU = P(x,y)dx + Q(x,y)dy (2)
Решение: dU(x,y) = 0
U(x,y) = C – решение в виде общего интеграла (3)
Проверка на полный дифференциал: dU = (∂U/ ∂x)*dx + (∂U/ ∂y)*dy (4)
Сравним (2) и (4):
∂U/ ∂x =P , ∂U/ ∂y =Q (5)
∂P/ ∂y = ∂Q/ ∂x (6) –если выполняется это равенство, то исходное уравнение является полным дифференциалом
Нахождение U:
U(x,y) =∫ , ) + φ(y) (7), где φ(y) - константа
∂U/ ∂y = (∂/ ∂y)*(∫ |
, ) |
||
φ’(y)= Q(x,y) - (∂/ ∂y)*(∫ |
|||
φ(y) =∫ |
, |
) |
- ∫ |
U(x,y)= ∫ |
, |
) |
+ ∫ |
) + φ’(y) = Q(x,y)
, |
) |
) |
|
|
|
) |
∫ |
, ) |
) |
+ C |
|
, ) |
- ∫ |
) |
∫ |
, ) ) + C |
|
8.ОДУ n-го порядка. Общая теория.
Общий вид: |
|
|
F(x,y,y’,y’’,…,y(n)) = 0 |
(1) |
|
Y(n) = f(x,y,y’,…,y(n-1)) |
(1’) |
|
(НУ) Начальные условия (n штук) |
|
|
y(x0)=y0 , y’(x0) = y’0 ,…, y(n-1)(x0)= |
) (2) |
|
(1) – (2) или (1’) – (2) – задача Коши для ДУ (1)
Теорема: (Теорема существования и единственности решения задачи Коши (1’) – (2))
Пусть функция f непрерывна в некоторой окрестности НУ, т.е. точки
М0(x0,y0,…, |
)) Ϲ D Ϲ Rn-1 следовательно существует по меньшей мере одно решение |
y = φ(x). Задача Коши (1’) – (2) в некоторой окрестности точки x0: (x0 – δ , x0 + δ), Если же существуют ограниченные частные производные ∂f/∂y, ∂2f/ ∂y2, … , ∂n-1f/ ∂y(n-1) в окрестности точки М0, тогда это решение единственно.
Определение1: Общим решением (ОР) в ДУ (1) или (1’) называется n-параметрическое семейство функций: y= φ(x, C1, C2, … , Cn) , для которых выполняются 2 условия:
1) |
Оно является решением при любых C1, C2, … , Cn; |
2) |
При любых НУ (2) существуют фиксированные : С1= ), … , Сn = ) , такие что решение |
y = φ(x, ), … , )) удовлетворяет этим начальным условиям.
Определение2: Частным решением (ЧР) ДУ (1) или (1’) называется решение, полученное из ОР при фиксированных значениях констант С1, … , Сn
φ (x,y,C1,…,Cn) = 0 (3) – общий интеграл
φ (x,y, ),…, )) = 0 (4) – частный интеграл
9.ОДУ высших порядков, допускающие понижение порядка.
1. y(n) = f(x) (1)
Берем интеграл:
y(n-1)=∫ |
) + C1 |
еще раз интегрируем: |
|
y(n-2)=∫ ∫ |
) ) + C1x+ C2 |
и т.д.
2. F(x,y(k),y(k+1), … ,y(n)) = 0 (2)
Y(k) = P(x) (3)
y(k+1) = P’
…
y(n) = P(n-k)
F(x, P , P’, … , P(n-k))=0
3. F(y,y’,y’’, … , y(n)) = 0 |
(4) |
||||||||
y’ =P(y) |
(5) |
|
|
|
|
||||
y’’ = |
|
|
(P(y)= |
* |
= P * |
=( )2P + P2 (d2P/dy2) |
|||
|
|
||||||||
y’’’= |
|
|
(P |
) = |
|
(P |
) * |
||
|
|
|
|||||||
F1(y, P, , … , (d(n-1)P/dyn-1) = 0
10. ЛОДУ n-го порядка. Общая теория
+ ) +.. + ) |
) |
(1) |
f(x) 0, то уравнение (1) называется линейным неоднородным ДУ n-го порядка.
f(x)=0, то уравнение (1) называется линейным однородным ДУ n-го порядка.
Если P1(x),P2(x),..,Pn(x) (коэффициенты) и правая часть f(x) непрерывны на *a,b+ => по теореме существования и единственности существует единственное решениезадачи Коши, т.е. уравнение
(1) удовлетворяет начальным условиям: y(x0)=x0, y1(x0)=y01,…,yn-1(x0)=y0n-1, где x0 [a,b]
Линейный дифференциальный оператор:
L[y]= yn+P1(x)yn-1+…+Pn(x)y |
(2) |
1)L(Cy)=CL(y)
2)L(y1+y2)=L(y1)+L(y2)
L(y) = f(x) |
(1) |
ЛНОДУ |
L(y) = 0 |
(3) |
ЛОДУ |
Свойства решений: |
|
|
+ |
) |
+.. + |
) |
(1) |
Более короткая запись: L(y) = 0 |
(1’) |
|||
L[y]= yn+P1(x)yn-1+…+Pn(x)y (2) – минимальный дифференциальный оператор Свойства:
1) Линейное
Пусть y1(x),y2(x) –решения ДУ (1) или (1’) => C1y1(x)+C2y2(x) –решение (1) или (1’)
C1 и C2 – произвольные константы
Доказательство вытекает изсвойств линейного оператора:
L(C1y1+C2y2) =C1L[y1] + C2L[y2]=0
2) Пусть U(x) + iV(x) – решение ДУ (1) => U(x) и V(x) - решение (1)
Док-во:
L(U+iV) = 0
L[U]+iL[V] => L[U+ = 0 и L[V] = 0 |
|
|
|
|
|
|||
О1: y1(x),y2(x),…,yn(x) называется линейно-зависимым на отрезке *a,b+, если существует , |
,. ., , |
|||||||
из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство |
y1(x)+ |
y2(x)+…+ |
yn(x)=0 |
|||||
(3) при |
x [a,b]. |
|
|
|
|
|
|
|
О2: если тождество (3) выполняется только при нулевых коэффициентах, тогда эта система |
|
|||||||
функций называется линейно-независимой |
|
|
|
|
||||
Пример линейно-независимой системы: |
|
|
|
|
||||
1,x,x2,…,xn –линейно-независима на |
отрезке *a,b] |
|
|
|
||||
3) Пусть y1(x),y2(x),…,yn(x) линейно-независима на *a,b+ => на этом же отрезке определитель |
|
|||||||
W(x)(дубль v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
) |
) |
|
|
|
|
) |
[ |
) |
) |
) ] |
(4) |
|
|
|
|
|
) |
) |
) |
|
|
|
|
(4) – определитель Вронского тождественно равен 0, т.е. W(x) , при |
|
, . |
|
|||||
4) Линейно-независимые на отрезке *a,b+ функции y1(x),y2(x),…,yn(x) являются ЛОДУ n-го порядка
(1) с непрерывными на *a,b+ коэффициентами P1(x),P2(x),…,Pn(x) =>определитель Вронского не обращается в ноль ни в одной точке , .
5) Теорема о структуре общего решения ЛОДУ n-го порядка
Пусть y1(x) y2(x), .... yn(x) является n линейно независимых на отрезке *a, b+ решений ЛОДУ n - го порядка с некоторыми коэффициентами на *a, b+, следовательно их линейная комбинация с произвольными константами
y(x) = ∑ Ciyi(x) (5)
являются общими решениями ЛОДУ n-Го порядка (1)
Доказательство: |
|
y(x) = ∑ |
Ciyi(x) - решение, это ясно из свойства один |
Начальное условие:
y(x0) = y0, y'(x0) = y'0, ... y(n-1)(x0) =y0(n-1) (6) x ϵ [a, b]
y(x) = ∑ |
Ciyi(x0) = y0 |
y(x) = ∑ |
Ciy'i(x0) = y'0 |
y(x) = ∑ |
Ciyi(n-1) = y0(n-1) |
Это получилось СЛАУ относительно С
W(x)
11. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ n-го порядка (Если надо будет, то это свойство 5)
Пусть y1(x) y2(x), .... yn(x) является n линейно независимых на отрезке [a, b] решений ЛОДУ n - го порядка с некоторыми коэффициентами на [a, b], следовательно их линейная комбинация с произвольными константами
y(x) = ∑ Ciyi(x) (5)
являются общими решениями ЛОДУ n-Го порядка (1)
Доказательство |
|
|
y(x) = ∑ |
Ciyi(x) - решение, это ясно из свойства один |
|
Начальное условие: |
|
|
y(x0) = y0, y'(x0) = y'0, ... y(n-1)(x0) = y0(n-1) (6) |
||
x ϵ [a, b] |
|
|
y(x) = ∑ |
Ciyi(x0) = y0 |
|
y(x) = ∑ |
Ciy'i(x0) = y'0 |
|
y(x) = ∑ |
C y (n-1) |
= y (n-1) |
|
i i |
0 |
Это получилось СЛАУ относительно С
определитель(треугольник) = ᴡ(якобиан)(x0) = 0
12.ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами, его решение
a0y(n) + a1 y(n-1) + ... + any = 0 (1)
ai , i от 0 до n - постоянные коэффициенты
Метод Л. Эйлера
y=ekx (2)
y'= k ekx
y''=k2 ekx и так далее yn = kn ekx
a0kn ekx + a1k(n-1) ekx + ... + an-1k ekx + an ekx = 0
a0kn + a1kn-1 + ... + an = 0 - характеристическое уравнение
Случаи:
1) Все корни характеристического уравнения действительные и различные
k1, k2, ..., kn
ek1x, ek2x, ..., eknx - линейно независимые решения
y(x) = C1 ek1x + C2 ek2x + ... + Cn eknx
2) k1,2 = α + iβ
e(α+iβ)x = eαx * eiβx =eαx( cosβx + sinβx) ei = cos + isin - формула Эйлера
e(α-iβ)x = eαx( cosβx - (если спросит, должно ли здесь быть что-то, то скажите забыл(а) i дописать)sinβx)
eαx * cosβx, eαx * sinβx - линейно независимые решения
3) к - корень характеристического уравнения кратности α
ekx, x ekx, ... xα-1 * ekx - линейно независимы на любом отрезке [a, b]
4)
k = p - iq - комплексный корень кратности α, то есть повторяется α раз
k = p - iq - кратности α
epxcosqx, x epxcosqx, ... , xα-1 epxcosqx
epxsinqx, x epxsinqx, ... , xα-1 epxsinqx
α - линейно независимые решения
13.ЛНОДУ n-го порядка. Общая теория.
(y(x) – пишется с волнистым подчеркиванием сверху)
ЛНОДУ( линейно неоднородные ДУ)
y(n) + P1(x)y(n-1) + … + Pn-1(x)y’ + Pn(x)y = f(x) (1)