5. Линейные оду 1-го порядка, их интегрирование
Y’+P(x)y= f(x) (2)
1) Метод вариации постоянной:
Y’+P(x)y= 0 (2)
y=
C
(3)
y=
C(x)
(3’)
C’(x)
- C(x)
+ P(x)C(x)
= f(x)
C’(x)
= f(x)
C(x)
=
y=
(
)
– общее решение.
2) Метод Бернули:
Y’+P(x)y= f(x) (1)
y= U(x)*V(x) (2)
y’= U’V+V’U
U’V+V’U+P(x)UV=f(x)
U’V+U(V’+P(x)V)=f(x) ,где (V’+P(x)V)=0
V’+P(x)V=0
Ln
|V| =
V
=
(3)
U’
=f(x)
dU=
dx
U=
(4)
y=
(
)
- общее решение.
6.Уравнение Бернулли, его интегрирование.
Определение: уравнением Бернулли называется уравнение вида:
y’+P(x)y=f(x)yα (α≠0, α≠1)
Решение:
y’+P(x)y=f(x)yα
y-αy’+P(x)y1-α=f(x)
z= y1-α
z’=(1- α) y-αy’
y-αy’=
z’
z’+P(x)z=f(x)
– линейное ОДУ 1-го порядка (относительно
функции z)
7.Уравнение в полных дифференциалах, его интегрирование.
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (1)
Определение: ДУ (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть его является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y), т.е.
dU = P(x,y)dx + Q(x,y)dy (2)
Решение:
dU(x,y) = 0
U(x,y) = C – решение в виде общего интеграла (3)
Проверка на полный дифференциал:
dU = (∂U/ ∂x)*dx + (∂U/ ∂y)*dy (4)
Сравним (2) и (4):
∂U/ ∂x =P , ∂U/ ∂y =Q (5)
∂P/ ∂y = ∂Q/ ∂x (6) –если выполняется это равенство, то исходное уравнение является полным дифференциалом
Нахождение U:
U(x,y)
=
+φ(y)
(7), где φ(y)
- константа
∂U/
∂y
= (∂/
∂y)*(
)
+φ’(y)
= Q(x,y)
φ’(y)=
Q(x,y)
- (∂/
∂y)*(
)
φ(y)
=
-
+ C
U(x,y)=
+
-
+ C
8.Оду n-го порядка. Общая теория.
Общий вид:
F(x,y,y’,y’’,…,y(n)) = 0 (1)
Y(n) = f(x,y,y’,…,y(n-1)) (1’)
(НУ) Начальные условия (n штук)
y(x0)=y0
, y’(x0)
= y’0
,…, y(n-1)(x0)=
(2)
(1) – (2) или (1’) – (2) – задача Коши для ДУ (1)
Теорема: (Теорема существования и единственности решения задачи Коши (1’) – (2))
Пусть функция f непрерывна в некоторой окрестности НУ, т.е. точки
М0(x0,y0,…,
)Ϲ
D
Ϲ Rn-1
следовательно существует по меньшей
мере одно решение
y = φ(x). Задача Коши (1’) – (2) в некоторой окрестности точки x0: (x0 – δ , x0 + δ), Если же существуют ограниченные частные производные ∂f/ ∂y, ∂2f/ ∂y2, … , ∂n-1f/ ∂y(n-1) в окрестности точки М0, тогда это решение единственно.
Определение1: Общим решением (ОР) в ДУ (1) или (1’) называется n-параметрическое семейство функций: y= φ(x, C1, C2, … , Cn) , для которых выполняются 2 условия:
1) Оно является решением при любых C1, C2, … , Cn;
2)
При любых НУ (2) существуют фиксированные
: С1=
,
… , Сn
=
, такие что решение
y
= φ(x,
,
… ,
)
удовлетворяет этим начальным условиям.
Определение2: Частным решением (ЧР) ДУ (1) или (1’) называется решение, полученное из ОР при фиксированных значениях констант С1, … , Сn
φ (x,y,C1,…,Cn) = 0 (3) – общий интеграл
φ
(x,y,
,…,
)
= 0 (4) – частный интеграл
9.Оду высших порядков, допускающие понижение порядка.
1. y(n) = f(x) (1)
Берем интеграл:
y(n-1)=
+ C1
еще раз интегрируем:
y(n-2)=
+ C1x+
C2
и т.д.
2. F(x,y(k),y(k+1), … ,y(n)) = 0 (2)
Y(k) = P(x) (3)
y(k+1) = P’
…
y(n) = P(n-k)
F(x, P , P’, … , P(n-k))=0
3. F(y,y’,y’’, … , y(n)) = 0 (4)
y’ =P(y) (5)
y’’
=
(P(y)=
*
= P *
y’’’=
(P
)
=
(P
)
*
=(
)2P
+ P2
(d2P/dy2)
F1(y,
P,
, … , (d(n-1)P/dyn-1)
= 0