doc2
.pdf820 |
|
|
XI. Аналитическая механика |
|
или |
|
|
|
|
3 |
d |
( p ^ ^ - g p s i n c p - ^ c o s c p ; |
(4) |
|
I |
at |
|
|
|
3 |
|
|
=mgcoscp |
|
- т ( р ~ Яф)-трф2 |
|
|||
или |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ( р - Л ф ) - р ф 2 = £ С 0 8 ф . |
(5) |
||
Умножим уравнение (5) на R, затем сложим его с уравнением (4) |
||||
и получим дифференциальное уравнение |
|
|||
~(р2ф)~ |
Ярф2 = |
-ярмпф. |
|
|
at |
|
|
|
|
2 |
2 |
d |
ф)-/?рф2 =-,gpsin^ |
|
Ответ: р-/?ф--рф2 |
=-§созф; —(р2 |
|
||
3 |
3 |
dt |
|
|
Задача 48.45
Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение малых колебаний цилиндра, если движение началось из состояния покоя и при t = 0, P = Po, ф = Фо *0.
Р е ш е н и е
При решении задачи 48.44 получили дифференциальные уравнения движения цилиндра:
|
2 -> |
2 |
(1) |
р - / ? ф - ^ р ф 2 |
= —^COS(p, |
||
4(р2 |
Ф) - Лрф2 |
= -gpsinф. |
(2) |
dt |
|
|
|
Для малых колебаний цилиндра ф2 »0, со8ф = 1, зшф=ф. Тогда уравнения (1) и (2) примут вид
= |
(3) |
4<Р2Ф) = ~£РФ- |
<4> |
dt |
|
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
821 |
Проинтегрируем уравнение (3) дважды и получим |
|
р-Лф = ! * / + С , , |
(5) |
р - i ? 9 = ig/2 +C,/+C2 . |
(6) |
С учетом начальных условий: / - 0, р = р0, tp = <р0> р - 0, ф = 0, найдем постоянные интегрирования С( и С2.
Из равенства (5) получим С| = 0, из равенства (6) — С2 = ро - йф0. Подставим значения С, и С2 в выражение (6):
р-Дф = ^£/2 + р0-/?ф0. |
(7) |
Введем обозначение:
F(f) = i g f 2 + p0 -ftp0 .
Тогда выражение (7) примет вид
p = R<p+F(t). |
(В) |
Подставим выражение (8) в уравнение (4):
~[(R<?+ Г(г))2ф] = - |
ЛО] |
или
~[R2<?2 + 2 Лрф^О + |
ф] + Ар2 + F(i) <р] = 0. |
Исключив из этого уравнения члены /?<р2, /?2(р2,2/?фф/7('), окончательно получим
|
^ [ F 2 m ] + gF(0<р = 0. |
|||
О т в е т : — [Г2 |
(0ф]+gF(f)y = 0, где Я?) = |
2 |
+ р0 - Лро- |
|
3 |
||||
dt |
|
|
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
825 |
откуда
т2к
Тогда
х*» - еи<*
т2кг
Подставим это значение х** и значение х* в равенство (10) и по лучим
|
|
|
|
|
|
cuQt |
(11) |
|
|
X) = С3 cos kt+С4 sin kt + ——-j. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
т2к |
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= -С3Л sin kt+C4k |
cos |
&сио+ |
— ( 1 2 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
т2к |
|
|
Подставим начальные условия: / = 0, х)0 =0, х10 |
=и0 , и получим |
|||||||
из выражения (11) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Що - Сз - 0; |
|
|
|
||
из выражения |
(12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
сио |
|
|
|
|
|
Х,о=Мо=М«: |
+ |
Г>> |
|
|
||
|
|
|
|
|
т2к |
|
|
|
|
|
с |
^ Utfn2k2-CUg |
|
|
|
||
|
|
|
т2 к3 |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ——I—-—Si-sm*f |
+ — ^ |
|
||||
|
|
|
m2k |
|
|
m2k |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J C , = _ J — L M o / + ^ f o s i n ^ | |
(13) |
||||||
|
|
m, +m2 \ |
|
к |
|
) |
|
|
Далее подставим выражение (13) в формулу (8) и найдем закон |
||||||||
движения массы |
т 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
х2 ~ |
Щ |
1 |
fu0m2 sinkt+njiUot |
+^u0t+l |
||||
т 21 |
т\ +т2 V к |
|
|
)} т2 |
828 |
XI. Аналитическая механика |
Тогда
Q\ = - ~ = -с( Ф1-Ф2),
Эф]
п |
д17 |
i |
|
Э ф 2 |
|
Подставим найденные выражения производных от кинетической энергии и обобщенных сил 0, и Q2 в уравнения (1) и (2):
2 |
Аа2 |
- ф2), |
(3) |
Сф, +та\ + - |
( ф , - ф2) = -с(ф 1 |
7Аа2
Сф2 +та2фг —-2—(ф! - ф2) = с(<р, -(р2). (4)
I
Сложим уравнения (3) и (4), получим |
|
Сф, +та2 ф, +Сф2 +та2$2 |
= 0 |
или |
|
Ф1=~ф2- |
(5) |
Проинтегрируем уравнение (5) дважды: |
|
ф , = - ф 2 + С ь |
(6) |
ф, = - ф 2 +С,/+С 2 . |
(7) |
Подставим в равенства (6) и (7) начальные условия: t = 0, ф, =0, ф, = 0, ф2 = 0, ф2 = со, и определим постоянные интегрирования:
ф, = - ф 2 + С , , |
С, = ф2 = со; |
|
|
Ф, = - ф 2 + С , / + С 2 ) |
С 2 =0 . |
|
|
Тогда согласно формуле (7) |
|
|
|
Ф , = - Ф 2 + СО/. |
( 8 ) |
||
Подставим выражения (5) и (8) в уравнение (3): |
|
||
С(-ф2) +та2(-ф2) + 2 АА2 |
ф2 - |
ф2) = - с ( - ф 2 + с»/ - |
ф2) |
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
|
|
|
|
|
829 |
или после преобразований |
|
|
|
|
|
|
-\С+та2 |
+ |
4Аа2\ |
|
(9) |
||
|
I2 |
ф2 = 2сф2 -«о/. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Введем обозначение: |
|
|
|
|
|
|
к2 |
= - |
|
2С |
2 ' |
|
|
|
С+та2 |
+ /2 |
|
|||
|
|
|
||||
Тогда уравнение (9) примет вид |
|
|
|
|||
Ф2 + *2ф2 = ^ 2 ю / . |
(Ю) |
|||||
Найдем решение дифференциального уравнения (10): |
|
|||||
|
ф2 = <гё+фГ» |
|
(Ц) |
где ф* — общее решение уравнения ф2 +£2фг -0>
ф* = С3 coskt +С4 sinAtf; ф** — частное решение уравнения (10), ф** = Bt.
Подставим ф*2* в уравнение (10) и получим
Я= - о х
2
Тогда
ф2 * — — ю/.
2
Подставим это значение ф2* и ф2 в равенство (11):
Ф2 = С 3 coskt+С4 sin /с/ + 01 |
(12) |
Продифференцируем выражение (12) по времени:
ф2 --Cyksinkt+C4 fccos/cf+ ^-со. |
(13) |
Используя начальные условия, из выражений (12) и (13) найдем: ф2 =С3 =0;
<p2 |
„ |
, |
1 |
„ |
со |
=C4 |
/t + - c o , Сл = — . |
||||
|
4 |
2 |
|
2к |