doc2
.pdf48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
751 |
О т в е т : ( щ + m 2 ) / , 2 s i n 2 ( p + (/2-!-/n2S2 )[y |
] C O S 2 ( p + / 3 ф+ |
(/я, +т2)г2 - ( / 2 +m1s1)\j |
ф2 cos9sin ф = - М + p Q r sin ф. |
Примечание. В задачнике в ответе опечатка: в выражении I2+mxs2 вместо ffjj должна быть масса шатуна т2.
Задача 48.18
По однородному стержню массы М и длины 2а, концы которого скользят по гладкой, расположенной в горизонтальной плоскости окружности радиуса R, движется с постоянной относительной скоростью v материальная точка массы т. Определить движение стержня. В начальный момент материальная точка находится в центре масс стержня.
Р е ш е н и е
Приняв в качестве обобщенной координаты q угол поворота стержня G (см. рисунок), запишем уравнение Лагранжа 2-го рода:
|
d / U e J |
эе |
(1) |
|
|
||
Кинетическая энергия системы |
|
||
|
Г = /о02 |
( mvla |
|
|
2 |
2 |
|
где / 0 = — |
+ M(R2-a2). |
|
|
По теореме косинусов абсолютная скорость |
|||
|
v26 |
= v2 + v2 +2vrve cosa, |
|
где v, = va6, |
ve = 9-у//?2- о2 + v2 /2 = 0 JR.2-a2 + v2t2; |
||
752 |
|
|
|
XI. Аналитическая механика |
|||
|
|
cos а = |
4R2-a 7 |
|
|
|
|
|
|
л]К2-a2 + v2t2 |
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
v„ = v2 + 02(Л2 - а2 + v2f2)+2v 0 -jR2-a2 + v2!2 |
V F ^ 1 |
2Д |
|||||
+ v |
|||||||
|
|
|
|
|
/ |
||
Следовательно, кинетическая энергия системы |
|
|
|||||
02 |
|
\+г^-+туШ~а1+1^^2-а2 |
|
+ у212). |
|||
Г = —А/1 R2--a2 |
2 |
||||||
2 V |
3 |
J 2 |
|
|
|
||
Найдем производные от выражения кинетической энергии:
= m{r2 - la2 y + m { R 2 -а2 + v2t2)Q+mvJR2 |
-а2; |
дв
Обобщенная сила Qe = 0, так как система расположена в горизонтальной плоскости и работа сил тяжести равна нулю. Таким образом,
й Н э е ;
и уравнение (1) примет вид
д Т г ' •
—г- = С| = const.
Э0
Врезультате получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, а так как
|
|
0: dQ |
|
|
то |
|
dt |
|
|
|
|
|
||
de = |
(С[ -mv^JR2 -a2)dt |
|||
М\ R2-la2ym(R2-a2 |
+ v2t2) |
|||
|
||||
|
(С, |
-mv4W-a2)dt |
( 2 ) |
|
|
M_ 'R2 |
|
||
|
—'—a2]+ R2 |
-a2 |
||
mv m |
|
- + tz |
||
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
|
|
|
753 |
Проинтегрируем уравнение (2) и получим |
|
|
||
С, |
-mvJR2-a2 |
|
|
|
|
|
mv |
|
|
|
|
|
|
/ = |
R2 ——о2 ]+ R2 - a2 |
a r C |
t § R 2 - — а 2 |
1 R+ 2 |
- а2 |
|
|
( m l |
3 |
|
= Carctg |
|
vt |
|
|
|
|
|
|
|
MCmR^a2 |
\+R2-a2 |
|
||
где
С, -mv~jR2-a2
(3)
mv
m
Найдем постоянную интегрирования С] при начальных услови-
ях: t = 0 , 9 = 0О: |
|
|
|
|
|
|
|
С, -т |
|
т |
|
|
90 +mv-JR2-a2. |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим выражение (4) в выражение (3) и получим |
|
||||||
т R2 — а2 + ——(R2 |
——а20о |
|
|
||||
С = - |
т |
|
|
|
|
|
|
mv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
?2 |
-а |
„г.М |
R2-~а2 |
|
|
|
|
R |
т |
|
|||
|
= 0О |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т : 0-0o =Carctg |
|
|
|
V/ |
=, где 0„ и С — произ- |
||
n2 |
|
2 |
М |
||||
|
|
-а1 |
R —2 — |
|
|||
|
|
R1 |
|
+ — |
|
||
|
|
|
|
|
т |
3 |
|
вольные постоянные.
754 |
XI. Аналитическая механика |
Задача 48.19
Концы однородного тяжелого стержня АВ длины 2а и массы М скользят без трения по горизонтальному и вертикальному стержням рамки, вращающейся с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной стороны. Составить уравнение движения стержня и определить положение относительного равновесия.
Р е ш е н и е
Выберем в качестве обобщенной координаты угол 9. Запишем уравнение Лагранжа 2-го рода:
|
|
|
|
</Лэё; |
Э9 |
эе' |
(1) |
|||
|
|
|
|
|
||||||
Кинетическая энергия стержня |
|
|
||||||||
|
|
Т |
= — ( д 2 с о 2 |
sin2 8 + а 2 0 2 ) |
+ (/ с со а )со а |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
Ma2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ma2 |
|
|
|
|
|
|
|||
где Ir = |
0 |
0 - тензор инерции стерж- |
||||||||
|
3 |
|||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
ня в осях Oxyz (рис. 1); со^ = |
cosin 9 |
— вектор абсо- |
||||||||
|
|
|
|
|
cocos9 |
|
|
|
||
лютной угловой скорости в осях Oxyz\ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Ma2 |
О |
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Ma2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
cosinB |
|
||
|
|
|
- |
. - |
= |
Ma2 |
д2 |
Ma2 |
i . г г. |
|
|
|
( 1 с к > |
А ) ( й А |
|
0 2 + |
o r s u r 9 . |
||||
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
|
|
|
|
755 |
Тогда |
|
|
|
|
|
т М. 2 2 • 2п 2Л2ч Ма2 л2 |
+ |
M<72 |
2 |
0 = |
|
Г = —(crar sirr 0 + «г9О+——0 |
|
со sin2 |
|||
2 М (a2co2sin20 + a202). |
|
(2) |
|||
Работа силы тяжести стержня |
|
|
|
|
|
А - A/ga(l-cos0). |
|
|
|
(3) |
|
Найдем производные от выражений (2) и (3): |
|
||||
ЪТ |
4 . . 2д |
|
|
|
|
— - = - М г 8 ; |
|
|
|
|
|
Э0 |
3 |
|
|
|
|
Э0 = Mrco sin0cos0; сМЭ9 = Mga sin0.
Подставим их в уравнение (1) и получим
-3 Ма2в~- 3 Моз2а2 smdcosB = Mgasind
или
| Л/а20 - j Мо2д2 sin 0cos0 - Mga sin 0 = 0.
Примечание. Кинетическую энергию стержня |
Zy |
|||
можно определить, рассмотрев его движение как слож- |
t. У |
|||
ное: переносное — вместе с рамкой вокруг вертикаль- |
Ц |
|||
ной ОСИ Z\ с угловой скоростью со и относительное — |
|
|||
мгновенное вращение вокруг мгновенного центра ско- |
А |
|||
ростей Р с угловой скоростью 6 (рис. 2), т.е. |
|
|||
|
|
Uсо2 . |
|
|
|
_ J |
i |
|
|
|
Т = |
|
2 ' |
|
|
|
|
|
|
2о М |
|
|
4 |
|
где / , = f — ^ |
^sin 2 8= - ^ 2 sin 2 e, |
Рис. 2 |
||
2а |
Мт2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
[p = fc + M(PQ2 |
= —3 |
|
+ Ма2 = - Ма2. |
|
756 XI. Аналитическая механика
Тогда
Т =-Ма2 sin2 Q- — |
+-Ma2 - - |
= - М(а2<а2 sin2 9 + аЩ. |
||
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
Обобщенную силу Q вычислим по формуле
Э / 7
Q=- ' э е '
где n=mqacos9 — потенциальная энергия стержня в произвольном положении.
О т в е т : -Ма2Ь--М<х?а2 sinQcosQ- Mga sine = 0, где 9 — угол, образуемый стержнем с вертикалью. В положении равновесия 0 = 0 (неустойчивое равновесие).
Задача 48.20
К окружности диска радиуса R шарнирно присоединен рычаг, несущий на своих концах сосредоточенные массы гп\ и т 2 . Расстояния масс от шарнира соответственно равны 1\ и 12. Диск вращается около вертикальной оси, перпендикулярной его плоскости, с угловой скоростью ю. Составить уравнение движения рычага и определить его относительное положение равновесия.
Массой рычага пренебречь. Ось вращения рычага параллельна оси вращения диска. Решить также задачу в предположении, что диск вращается в вертикальной плоскости (учесть действие силы тяжести).
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
Запишем уравнение Лагранжа 2-го рода |
т 2 |
|
|
||
в виде |
|
|
|
||
dt V dvj/ J Э у Э \ | / |
( I) |
?2 |
|
|
|
|
|
ч»Ч |
|||
Кинетическая энергия системы (см. ри- |
|
|
|||
О |
J 1 |
X |
|||
сунок) |
|
||||
|
|
1 J |
|
||
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
757 |
=—[(-/?cosin9+/1\}/cos\|/)2 + (/Jcocos(p+/,\};sin\|/)2] +
+ту2 [(-flrasin<p-/2\jfcosv|/)2 +(7?(ocos<j)-/2\i/sm\|f)2J =
_ (/к, +m2)R2(i}2 ^ mfi |
2 m2>2 , |
|
2 |
2 |
2 |
+ Wt /fco^xi/sin (vj/— ф) ~w2/?co/2vj/sin(v)/- ф).
Работа сил тяжести в случае положения диска в горизонтальной плоскости (ось вращения вертикальна) равна нулю. Поэтому
Э\|/
Найдем производные, входящие в уравнение (1):
дТ
Э\|/
758 |
XI. Аналитическая механика |
Обобщенная сила
дА
Q= —• = m2gl2sXnw/-m\gl\ sin\|/= g(fn2l2 —щ1\) s i n y .
Э\(/
Дифференциальное уравнение для вращения вокруг горизонтальной оси
(т,/|2 +/я2 /2 )у-(/я1 /, -m2l2)Rсо2cos(\|/— со/) = g(m2l2-mxIx)siny
или
(mi/2+m2/2)*j/-/?co2(m|/i - m 2 / 2 )cos(\ff - eoO + (/«i/i -m2 /2 )gsinv|/ = 0.
Так как при тх /, ф т212 не существует экстремума для \j/, то в этом случае относительное равновесие рычага невозможно.
О т в е т : для вращения вокруг вертикальной оси
(от,/2 +т212Щ- Лсо2(/и,/| -WJ2 /2 )COS(I|/- со/) = 0;
при тх /, =/и2/2 рычаг в безразличном относительном равновесии, при Tti\ l\ *m2l2 существуют два положения относительного равновесия, при которых \|/= со/± л/2, т.е. рычаг направлен по радиусу.
Для вращения вокруг горизонтальной оси
(т{ /,2 + т 2 - /fco2(Ш| /| -т212)cos(\j/- со/) + (тх /, -т2l2)gsin\)/ = 0;
при # т212 относительное равновесие невозможно.
Задача 48.21
Тонкий диск массой М может своей плоскостью скользить без трения по горизонтальной плоскости. По диску, верхняя поверхность которого шероховатая, движется материальная точка массы т. Уравнения относительного движения точки в декартовых координатах х и у, связанных с диском и имеющих начало в его центре масс, заданы в виде х = x(t), у = y(t). Момент инерции диска относительно его центра масс равен /. Определить закон изменения угловой скорости диска. В начальном положении диск неподвижен.
Р е ш е н и е
Выберем в качестве обобщенной координаты угол поворота ф диска.