doc2

++25xcosa+s2 ) + ^т3 х2 .

Найдем производные от выражения кинетической энергии, вхо дящие в уравнение (1):

802 XI. Аналитическая механика

Подставим выражения производных и обобщенных сил в уравне-

Задача 48.39

Материальная точка А массы /И| движется в вертикальной плоскости по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса /. Материальная точка В массы т 2 , присоединенная к точке А посредством стержня АВ длины /, может колебаться вокруг оси А, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения точек А и В определены с помощью углов а и ф,

отсчитываемых от вертикали. Составить дифференциальные уравнения движения системы. Написать дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Массой стержня АВ пренебречь.

У к а з а н и е . Пренебречь членами, содержащими множители ф2 и а2 , а также считать sin (<р - а) = <р - а, cos(<p - а) = 1, sin а = ос, sin ср = (р.

Р е ш е н и е

Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем углы а и <р. Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода:

Найдем производные от выражения кинетической энергии по каждой обобщенной координате и по времени:

ЭТ

— = (т\ +m2)/2d+m2/2<pcos((p-a),

да

d [дТЛ

— — +m2)l2a+m2l2focos((p- a)-m2l2(<p-a)&>sin(y-а), dt\da)

ЭТ

— = т2 /2фa sin (<p - a);

да

д Т

— = / я 2 /2ф+/я2 /2a cos (ф - a), Эф

Определим обобщенные силы Qa и Qr Сообщим системе возможное перемещение: 6а >0, 5ф = 0 (рис. 1), и определим возможную работу, учитывая, что стержень АВ движется поступательно (перемещения точек А и В одинаковы):

§/40 =- Ш) g/ sina • 5a - m2g I sin a • 5a =

= —(от, +m2) gl sin a 5a = Qa8a.

Откуда

Qa - ~(m\ +m2)glsina.

Сообщим системе возможное перемещение 5ф>0, 5a = 0, и определим возможную работу (рис. 2):

5Др = -m2gl втф 5ф = Сф5ф.

Откуда

С?Ф — ~m2gl sin ф.

Подставим выражения производных и обобщенных сил в уравнения (1) и (2):

(/И) +т2)12а +/И 2 / 2 (Р COS ( < Р - А ) -

- т212(ф - а) <psiп(ф - а) - тг /2фаsin(9 - а) =

= -(т, +m2)gl sina;

т212 acos (ф - а) - т2 /2(ф - a) asin (ф - а) +т2 /2ф -

- /л2/2фа8т(ф- а) = -m2gl втф

или

(т{ +m2)la+m2/фсо5(ф- а)-т2/ф2 sin(ф- а) = -(w, +m2)gsina, ^ la соз(ф - а)+/а2 sin(ф - а)+/ф = - g sin ф.

Согласно указанию в условии задачи, считаем, что s i n ^ - a) = ф - a, со8(ф - a) = 1, sin a ~ a, sin ф = ф, и исключим члены, содержащие ф2 и а2 . Тогда уравнения (7) примут вид

(/И| +m2)la+m2lip = -(/и, +m2)ga,

/а+/ф = -£ф.

Ответ: (mi +w2)/а +/и2/фcos (ф - а)~/и2/ф2 sin (ф - а) = - (/и, + m2) g siп а, /ф+/а соз(ф - а)+/а2 sin (ф- а) = - g sin ф;

(mi +m2)la+m2lty = ~(тх +m2)ga, /ф+/а = -g<p.

Задача 48.40

Шероховатый цилиндр массы т и радиуса г катится без скольжения по внутренней поверхности полого цилиндра массы М и радиуса R, могущего вращаться около своей горизонтально расположенной оси О. Моменты инерции цилиндров относительно своих осей равны тг2/1 и MR2. Составить уравнения движения системы и найти их первые интегралы.

Тогда согласно формуле (1)

или

эе

Подставим значение производной в уравнение (1) и получим

MR2Q+-mR[(R - г) ф - 0Л] = С,.

Для нахождения другого первого интеграла воспользуемся выражением

Т+П=С2,

так как все силы — потенциальны, а связи — голономные и стационарные.

Тогда получим