doc2
.pdf710 |
XI. Аналитическая механика, |
Задача 47.17
Центробежный регулятор вращается с постоянной угловой скоростью со. Найти зависимость между угловой скоростью регулятора и углом а отклонения его стержней от вертикали, если муфта массы М\ отжимается вниз пружиной, находящейся при а = 0 в недеформированном состоянии и закрепленной верхним концом на оси регулятора; массы шаров равны М2, длина стержней равна /, оси подвеса стержней отстоят от оси регулятора на расстоянии а; массами стержней и пружины пренебречь. Коэффициент жесткости пружины равен с.
Р е ш е н и е Механическая система имеет одну степень свободы. Применим
общее уравнение динамики в виде |
|
п |
|
X [(4с + Фйс) 8хк + (Fly + Фку) 6ук 1 = 0, |
(1) |
к=\ |
|
где Fkx, Fky — проекции активных сил на оси координат; Фкх, Фку — проекции сил инерции на оси координат; Ъхк, 8ук — вариации координат.
Покажем на рисунке активные силы: Gh G2, Fyпр и центробежные силы инерции Ф" шаров.
Сила инерции муфты равна нулю, так как регулятор вращается равномерно и муфта не перемешается.
Центробежные силы инерции ша-
ров |
|
|
Ф" = |
М2(а+Нта)а>2. |
|
Сила упругости пружины |
||
F |
= ск |
|
' |
упр |
|'Л> |
где X = 2/(1 - |
cos а). |
47. Общее уравнение динамики |
|
711 |
Тогда |
|
|
Fynp = 2с/(1 - |
cosa). |
|
Выразим координаты точек приложения сил в зависимости |
от |
|
угла а, выбрав начало координат в точке О: |
|
|
х',рав = a +/sina, |
v.=2/cosa,1 |
|
|
\ |
(2) |
ев = - { а +1 sina), |
у2 = /cosa.J |
|
Варьируя зависимости (2), получим |
|
|
Sx"рав = / cos сс • 5a, |
= —2/sin a • | |
|
5xfев = - / c o s a - 5 a , 5у2 - - / s i n a - 8 a ; j |
|
|
Запишем уравнение (1) в развернутом виде: |
|
|
G,5у, + 2 G2 Ьу2 + Ф2Ц 5х"рав - Ф " §Х2е" + F^by, = О |
|
|
или с учетом выражений (3) |
|
|
-2(J1 /sina-5a-2G2 /sina-5a+2A/2(a+/sina)co2 /cosa-5a-
—2с/(1 — cos a) -21 sin a • 5a = 0.
Сократив на 5a Ф 0 и на 21, получим
-Gi sina-G2sina+m2 (a+/sina)co2 cosa-2c/(l-cosa)sina = 0,
где (?, = M\g, G2 = |
M2g. |
|
Откуда |
|
|
|
ю2 = Щ + M 2 ) g + 2 c / ( l - c o s a ) t s a |
|
|
|
M2(a +/sina) |
О т в е т : со - -— |
— |
-tga. |
|
M2 (fl+/sina) |
47. Общее уравнение динамики |
713 |
Тогда |
|
Fynp = |
c/(sina-sina0 ). |
Выразим координаты точек приложения сил в зависимости от
угла а, выбрав начало координат в точке О: |
|
|||
|
|
хд = e+/sina, |
|
|
|
|
|
Ус = /cosa, |
|
|
|
хА = -(e+/sina). |
|
|
Варьируя эти зависимости, |
получим |
|
||
|
|
5хв = /cosa-5a, |
|
|
|
|
8ус = - / sin a • 5a, |
|
|
|
|
8хл |
= -(/cos a-5a). |
|
Запишем уравнение (1) в развернутом виде: |
|
|||
|
Gx8yc +ФвЬхв -Ф^бх^ - FynpЬхв + FynP5x^ = О |
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
-(?i/sina-8a+2,A/(e+/sina) co 2 /cosa - 5a - |
|
|
|
|
- 2 c / ( s i n a - s i n a 0 ) / c o s a - 8 a = 0. |
(2) |
|
Так как 5a Ф 0, то, сократив уравнение (2) на 5а и на /, получим |
|
|||
-Gx |
sina+2Af(e+/sina) co2 cosa-2c/(sina-sina0 )cosa = 0. |
|
||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
_ G\ sina+2c/(sina-sina0 )cosa |
|
|
|
|
2A/(e+/sina)cosa |
|
|
Сократим это выражение на cos а и с учетом того, что Gx = Mxg, |
||||
найдем |
|
|
|
|
|
|
_ I М\ g tg a + 2 c/(sin a - sin a0 ) |
|
|
|
|
~V |
2M(e + /sina) |
|
О т в е т : |
со = |
Mx g tg a + 2 c/(sin a - sin a0 ) |
|
|
|
|
2M(e+/sina) |
|
714 |
XI. Аналитическая механика, |
Задача 47.19
В регуляторе четыре груза одинаковой массы М] находятся на концах двух равноплечих рычагов длины 21, которые могут вращаться в плоскости регулятора вокруг конца шпинделя О и образуют с осью шпинделя переменный угол ф. В точке А, находящейся от конца шпинделя О на расстоянии OA = о, со шпинделем шарнирно соединены рычаги АВ и АС длины а, которые
вточках В и С в свою очередь сочленены со стержнями BD и CD длины а, несущими муфту D. В точках В и С имеются ползунки, скользящие вдоль рычагов, несущих гру-
зы. Масса муфты равна М2. Регулятор вращается с постоянной угловой скоростью (о. Найти связь между углом ф и угловой скоростью со
вравновесном положении регулятора.
Р е ш е н и е
Механическая система имеет одну степень свободы.
Применим общее уравнение динамики в виде
X [ ( 4 +Ф*г)5х* +(fk y |
=0, (1) |
к=I |
|
где Fkx, Fky — проекции активных сил на оси координат; Ф^., Ф ^ — проекции сил инерции на оси координат; Ьхк, Sy* — вариации координат.
Покажем на рисунке активные силы: Gb G2 И центробежные силы инерции Фц шаров:
Фц = Mj/со2 sin ф. |
(2) |
47. Общее уравнение динамики |
715 |
Выразим координаты грузов Е, К и Е', К' в зависимости от угла (р,
выбрав начало координат в точке О: |
|
|
xnpaB = /sincp, |
х™ =-/sin<p, |
|
У Е Г = / СОБф, |
у к к> - - / С05ф, |
(3) |
Ур-а +2asin (90°-2ф) = а +2асоэ2ф.
Варьируя зависимости (3), получим &СПраВ=/С08ф-6ф, 5хЛеП = -/С05ф-8ф,
( 4 )
ду& = -4я5т2ф-5ф, ЬуЕЕ- = sinф• 5ф. Запишем уравнение (1) в развернутом виде:
2Gx8yK +2<7,6у£ -G28yD +2Фц8хправ-2Ф„8хлев = О или с учетом выражений (2) и (4)
2 С, / sin ф• 5ф - 2 G, / sin ф • 5ф+£?2 ( - 4 a sin 2 ф) 8ф+
+ 4JWj/ со2 /sin фсоБф8ф = 0.
После преобразований получим
~4G2 a sin 2 ф+2 Мх /2ю2 sin 2 ф = 0,
так как 8ф Ф 0. Тогда
со2 = 2 ( ? 2f l |
= 2M2ga |
М^2 |
М,/2 ' |
откуда |
|
со = !2gM2a |
|
'V |
mxI2 ' |
О т в е т : равновесное положение регулятора возможно только
12gM2 а
при со= I — — ~ независимо от угла ф.
V мх1г
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода
Методические указания к решению задач
Уравнения Лагранжа 2-го рода выводятся из общего уравнения, динамики путем его преобразования в уравнение в обобщенных коор-! динатах и для механической системы с голономными, идеальным^ и удерживающими связями имеют вид
d_ дТ |
дТ |
- Qaj, у = 1,2 , ...,S, |
(4».I| |
dt {dqj |
дд> |
|
|
где qu ..., qj,..., ^ — обобщенные координаты; qh ..., qj = — , . . . , qs dt
обобщенные скорости; S — число степеней свободы механической!: системы; Г — кинетическая энергия системы; Qf, ..., QJ, ..., Q§ обобщенные силы активных сил.
Для консервативных (потенциальных) систем уравнения (48.1)
имеют вид |
|
|
|
|
|
d_ дТ |
дТ |
дП |
У = 1,2, ...,S. |
(48.2); |
|
dt bqj) |
dqj |
дq- |
|||
|
|
Введем функцию Лагранжа (кинетический потенциал), равную; разности кинетической Т и потенциальной энергии П системы:
L=T-П. (48.3);
Так как потенциальная энергия системы не зависит от обобщенных скоростей, то уравнения (48.2) можно записать также в виде
d_ dL |
д£ |
:0, |
j=[,2,...,S. |
(48.4) |
dt dqj |
dqj |
|
|
|
Уравнения Лагранжа 2-го рода целесообразно применять к исследованию движения механических систем. Подобно тому как второй закон динамики для материальной точки используется при составлении дифференциальных уравнений движения материальных точек,
718 |
XI. Аналитическая механика, |
Задачи и решения
Задача 48.1
Передача вращения между двумя валами осуществляется двумя зубчатыми колесами, имеющими соответственно Z\ и зубцов, моменты инерции валов с насаженными на них колесам соответственно равны /, и /2. Составить уравнение движения первого вала, если на него действует вращающий момент Ми а на другой вал — момент сопротивления М2. Трением в подшипниках пренебречь.
Р е ш е н и е
Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы. Для составления уравнения ее движения используем уравнения Лагранжа 2-го рода, приняв за обобщенную
координату угол поворота первого 5фг = 5<р вала (см. рисунок): qx = сд = ф. Тогда
dt V Эф ) Эф |
р |
(1) |
|
Определим входящую в уравнение (1) кинетическую энергию системы:
Т = Ъ + Т7 -1\(й} + |
-12(й2. |
(2) |
2 |
2 |
|
Для данной механической дистемы |
|
|
£0! = ф, = ф, |
|
|
ю2 = — ф = /ф, |
|
|
Zi |
|
|
где i = - |
|
|
Тогда выражении (2) примет вид |
|
|
г = 1 ( / , + / 2 / 2 ) Ф 2 .
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
719 |
Определим частные производные от кинетической энергии и производную по времени:
Эф
ШУ0^ |
эт |
(3) |
|
||
|
|
Для определения обобщенной силы Q(р сообщим системе возможное перемещение и с учетом того, что 5ф2 = /бф, найдем элементарную работу:
5/1 = Д/|5ф| - М25ф2 = (A/| -iM2) 5ф.
Тогда
Qip = Ml-iM2 |
(4) |
Подставим выражения (3) и (4) в уравнение (1) и получим уравнение движения первого вала
(/, +/2/2)ф= MI |
-iM2. |
О т в е т : (/, +/ /2)ф = М\ -iM2, где / |
Zi |
|
Z2. |
Задача 48.2
Барабан Б центрифуги приводится во вращение электродвигателем ЭД через двухступенчатый редуктор. Заданы моменты инерции 10 электродвигателя, момент инерции /2 барабана, момент инерции Ji промежуточного вала редуктора, передаточные числа /01 и ii2 ступеней редуктора. К ротору электро-
двигателя приложен вращающийся момент М0 и момент сил сопротивления MQ, К валу редуктора и к барабану — моменты сил сопротивления М{ и М2 соответственно. Составить дифференциальное уравнение вращения центрифуги.