doc2
.pdf790 XI. Аналитическая механика
Для определения периода малых колебаний эллиптического маятника делаем допущения: sincp = ф, со8ф = 1, ф2 втф^О, тогда уравне-
ния (3) и (4) примут вид |
|
|
у{>щ +т2 )+т2 /ф = 0, |
(5) |
|
/ф+7 + £Ф = 0. |
(6) |
|
Из уравнения (5) найдем у, подставим это значение в уравне- |
||
ние (6) и получим |
|
|
у = |
т21 _ |
|
2 —ф; |
|
тх +т2
/ф — ф + ^ ф = 0 Ш) + т 2
или
ф+ Й Щ ) ф = 0.
ГП\1
Отсюда определим период малых колебаний маятника:
t = 2K\L |
* |
g |
гп\ +т2 |
О т в е т : —[(/я,+/я2)у+/и2/фсо5ф] =0; /ф+.усо5ф+£8тф = 0; dt
г = 2к'g/ m{ +m2
Задача 48.36
При наезде тележки Л на упругий упор В |
|
|
начинаются колебания подвешенного на |
|
|
стержне груза D. Составить дифференциаль- |
|
|
ные уравнения движения материальной сис- |
|
|
темы, если гп\ — масса тележки, шг — масса |
|
|
груза, / — длина стержня, с — коэффициент |
|
|
жесткости пружины упора В. Массой колес |
D |
|
и всеми силами сопротивления пренебречь. |
||
|
Начало отсчета оси х взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора В. Массой стержня пренебречь.
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
791 |
Указания. Пренебречь членом, содержащим множитель ф2, считать с= О, sin ср — ф, cosf=l.
Р е ш е н и е
Система имеет две степени свободы. Выберем обобщенные координаты: х — горизонтальное смешение тележки, ф — угол отклонения стержня (см. рисунок).
m2s
Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода:
d / Э Г\П |
дТ= |
ЭЯ |
(1) |
|
dt\bxi ) |
Эх |
Эх ' |
||
|
||||
d_ГЭ7Л |
ЪТ ^ |
ЪП |
(2) |
|
dt J |
Эф |
Эф' |
||
|
Кинетическая энергия системы
т = Т 1 * 1 + s i n 2 |
у + ^ ( / ф с 0 5 ф + ^ , |
|
2 |
2 |
2 |
Найдем производные от выражения кинетической энергии:
ЪТЭх = (w, +т2)х+т2/фсо8ф,
d (ЪТ\ dt V Эх )
ЭГЭх = 0;
792 |
|
XI. Аналитическая механика |
ЪТ |
y+m2l2$cos2 |
<p+m2lxcos<p = m2I2<p+m2lxcos<p; |
— = m2l2$sin2 |
||
Эф |
|
|
d r — = m2lxcosq>+m2l2§-ni2lx(psmy, dt Эф 7
Эф = m2l2ty2 sin9cos(p-m2(ftpcos<p+ x)ftpsin ф = - m2 Ixipsm ф.
Потенциальная энергия системы
сх2
Я = — w 2 g / c o s ^
Найдем производные от выражения потенциальной энергии по обобщенным координатам:
ЭЯ
—дх = СХ,
ЭЯ
— =m2g/sm(p.
Эф
Подставим выражения производных в уравнения (1) и (2) и получим
х(щ +щ)-m2l§2 sin ф+/w2 /фсозф = -сх,
m2 lxcosф+т2 /2ф - т2 ifopsin ф+т2 iwpsin ф = - m2gl sin ф
или
х(щ +т2)-т21 ф2 зтф+»з2/фсо5ф = -сх, |
(3) |
/ф+хсовф = —gsin ф. |
(4) |
Определим период малых колебаний эллиптического маятника, сделав допущения с учетом указания: втф^ф, со5ф = 1, ф2вшф =0, с = 0.
Тогда уравнения (3) и (4) примут вид |
|
х(Ш) + т2)+/и2/ф = 0, |
(5) |
/ф+х = -#ф. |
(6) |
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
|
|
793 |
|
Из уравнения (5) найдем |
|
|
|
|
|
л _ |
Ф |
|
|
|
|
/и, +т2 |
|
|
Подставим это выражение в уравнение (6) и получим |
||||
|
|
гп\ + т 2 |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
ф+£ 2 Ф = 0, |
|
|
raeS^+m2) |
= k 2 |
|
|
|
Период колебаний |
|
|
|
|
|
2л |
= 2л |
тх1 |
|
|
т = — |
|
+т2) |
|
|
к |
\g(mx |
||
О т в е т : fa |
+m2)x+m2l$cosq)-m2l<p2smq> |
= -сх; хсозф+/ф =-^бшф; |
||
т = 2л. Щ |
|
|
|
|
|
\т]+т2 \g |
|
|
|
|
Задача 48.37 |
|||
По неподвижной призме А, рас- |
|
|
||
положенной под углом а к гори- |
|
|
||
зонту, скользит призма В массы т2. |
|
|
||
К призме В посредством цилиндри- |
|
|
||
ческого шарнира О и спиральной |
|
|
||
пружины с коэффициентом жестко- |
///////////////7tW^ |
|||
сти с присоединен тонкий однород- |
|
|
ный стержень OD массы /и, длины /. Стержень совершает колебания вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения призмы В и стержня OD определены посредством координат 5 и ф. Написать дифференциальные уравнения движения материальной системы, состоящей из призмы В и стержня OD, пренебрегая силами трения. Определить период малых колебаний стержня OD, еслиmxglcos2 а <2с.
Указание. Считать sin(p = ф, cos(a + cp) ~ cosa - ср sin а, затем пренебречь членами, содержащими множители <р2 и (р ф.
796 |
XI. Аналитическая механика |
Определим обобщенные силы Q, и Q2. Сообщим системе возможное перемещение, при котором 8s = 0, 8ф > 0, и найдем возможную работу
откуда
Qt = ~ 2
Сообщим системе возможное перемещение, при котором 8ф = О, & >0, и определим возможную работу
S/i2 = (mlgbssina+m2gbssma) |
= {mx +m2)gsina-5s = Q2bs, |
откуда |
|
Qi = (Щ +m2)g sina.
Подставим выражения производных и обобщенных сил в уравнения (1) и (2) и получим
-)-mxsl cos (a + ф) + -/я,i/$sin(a + Ф) + |
Ф- ~тх Aj>/sin(a+Ф) = |
|
|||
2 |
|
2 |
3 |
2 |
|
|
|
= ^-«2,^/sin ф— Сф, |
|
|
|
(щ +m2)s - |
ф/cos (a+Ф) + |
sin(a + ф) = (пц +m2)g sin а |
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
1 , |
1 |
1 |
smq-cq, |
(3) |
|
-тхГ<р--тх$1 cos (а+<р) = -mxgl |
||||
|
3 |
2 |
2 |
|
|
(/и, |
I |
9 |
1 |
|
(4) |
+m2)s + -/и,/ф-sin(a + ф) ~-/W|ftpcos(a + ф) = (да, +m1)gsma. |
Согласно указанию в условии задачи считаем, что вшф^ф, соз(а + ф) = c o s a ^ s i n a , и пренебрегаем членами, содержащими множители ф2 и ф ф.
798 |
XI. Аналитическая механика |
Введем обозначение:
к2 = 6(/И| +т2)(2с-nt\gl cos2 а)
Я7,/2[/И|(1 + 3sin2 a)+4w2 ]
Тогда период колебаний стержня
2л
х = —
к
или
[/и, (1 + 3 sin2 a)+Фя2 ] 6(/и, +m2)(2c—/и, g/ cos2 a)
О т в е т : (/nj +m2)J+i/wi/92sin(a + 9 ) - j W 1 ^ c o s a = (m, +m2)gsina;
^т|/2 ф- cos(a + ф) = ^-/и^/зтф-сф;
2 j Г [ w i 0 + ^sin2 ot) -ь4m2][
\6(/щ +m2)(2c-m\gl cos2 a)
Задача 48.38
Решить задачу 48.37, считая, что призма Л массы т г движется по гладкой горизонтальной плоскости, а ее положение определяется координатой х.
Р е ш е н и е
Система имеет три степени свободы. Выберем обобщенные координаты: ф — угол поворота стержня, s — перемещение призмы В по призме А, х — перемещение призмы А по горизонтальной поверхности (см. рисунок).
Запишем три уравнения Лагранжа 2-го рода: d(bT\ дТ
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
799 |
Кинетическая энергия системы |
|
Т = ТХ+Т2 + ТЬ |
(2) |
где Т\ — кинетическая энергия стержня OD; Т2 — кинетическая энергия призмы В\ Г3 — кинетическая энергия призмы А.
Определим кинетическую энергию стержня:
1 „2
Т\ = -mxvt) +mxv0 • vCr + Tr,
где \>о = vx + vy>vx - * + c o s a , vy = s sin a; Vq = (x +s cosa)2 + s2 sin2 a =
= x2 +2ixcosa+s |
2 ; vCr = ^ф; Гг |
2 |
= |
|
|
|
2 |
|
6 |
|
|
так как |
|
|
m,/2. |
|
|
|
|
|
|
||
|
VQVC, = (VX |
+ У,).Ус, = vxvCr + |
vyvCr, |
||
vx • vCr = vxvCr cos (180°- ф) = -vxvCr |
cos<p = -(x+s cosa) у cosф = |
||||
|
= — ~ |
cos ф - |
|
cos a cosф, |
|
vy • vCr = vyvCr cos (90°- ф) = ^ |
s 'n a s 'n Ф- |