doc2
.pdf702 |
XI. Аналитическая механика, |
Задача 47.13
Стержень DE массы Мх лежит на трех катках А, В и С массы М2 каждый. К стержню приложена по горизонтали вправо сила F, приводящая в движение стержень и катки. Скольжение между стержнем и катками и также между катками и горизонтальной плоскостью отсутствует. Найти ускорение стержня DE. Катки считать однородны-; ми круглыми цилиндрами.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение данной системы. Покажем на рисунке активные силы: силы тяжести катков G2, силу тяжести стержня G\.
Приложим силы инерции: стержень DE движется поступательно и его сила инерции
Ф \ = М х а ь
катки совершают плоскопараллельное движение, их силы инерции
Ф2 = М2а2
а моменты сил инерции
М" = /2 е2.
47. Общее уравнение динамики |
705 |
Выразим все возможные перемещения через возможное переме-
щение bs2 груза 2: |
|
|
5<Рз = |
— , |
|
|
|
г |
&4 = — |
- 5st, |
|
|
2 |
|
~ |
|
ds2 |
8(р4 |
= —± |
|
|
|
2г |
где г — радиус блоков 3 и 4.
Выразим все силы инерции и моменты сил инерции через а2. Так как
г _w3'-2 |
. |
_а2 |
. |
. |
|
г _ЩГ2 |
а2 |
а2 |
||
h |
— 5 |
£3 |
г |
а 4 - — > . М-—г—. |
2г |
2 |
||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л/Зи = ^.£2 = |
тъга2. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Ф4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
М и |
= |
а2 = |
Щга2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
2г |
4 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
Ф, |
=ГП\—. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Подставим все найденные значения в уравнение (1) и получим
_ ' |
~ |
ra2 5S2 |
а2 |
bs2 |
|
ra2 |
Ss2 |
- |
|
m2g8s2-m2a26s2-m3-~ |
2 |
г |
2 |
— |
-тА—£ |
— |
|||
|
|
2 |
|
4 |
2 г |
|
|||
|
bs2 |
|
8s2 |
а2 |
8s2 |
Л |
|
|
/<1Ч |
|
|
|
|
2 |
2 |
" |
|
|
|
Сократим уравнение (2) на bs2 * 0 и запишем его в виде |
|||||||||
|
g |
g |
( |
m-t |
гпл |
тл |
nt\ |
|
|
2 |
2 |
2 |
V |
2 |
4 |
8 |
4 |
|
|
706 |
|
|
|
|
XI. Аналитическая механика, |
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
Я |
|
в? |
+ 4/я3 + 3/и4 |
+ 2т]). |
||
|
—(2т2-т4-тх) |
- — (8/и2 |
|||||
|
2 |
|
|
8 |
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
e _ |
4 g ( 2 щ - щ - щ ) |
__ |
4-9,8(2-8-10-4) |
_ |
2 |
||
2 |
Ы2+4тг |
+ Ъпц+2т\ |
8-8+4-4+3-4+2-10 |
' |
|||
О т в е т : |
а2-0,1 |
м/с2. |
|
|
|
|
|
Задача 47.15
Груз А массы Мь опускаясь вниз, посредством нерастяжимой нити, переброшенной через неподвижный блок D и намотанной на шкив В, заставляет вал С катиться без скольжения по горизонтальному рельсу. Шкив В радиуса Л жестко насажен на вал С радиуса г, их общая масса равна М2, а радиус инерции относительно оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, равен р.
Найти ускорение груза А. Массой нити и блока пренебречь.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение данной системы. Покажем на рисунке активные силы: силы тяжести тел (7, и С2. Приложим силы инерции. Груз А движется поступательно, поэтому его сила инерции
Ф1 = Мхах.
Шкив с валом совершают плоскопараллельное движение, их сила инерции
Ф2 = М2а2,
708 |
XI. Аналитическая механика |
Задача 47.16
Центробежный регулятор вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со. Определить угол отклонения стержней OA и ОВ от вертикали, принимая во внимание только массу М каждого из шаров и массу М\ муфты С, все стержни имеют одинаковую длину /.
Р е ш е н и е
Рассмотрим двйжение данной системы. Покажем на рисунке активные силы: силы тяжести G шаров и G\ муфты.
Приложим к шарам силы инерции
Ф = -Ма,
где а = Ац = со2/ sin ср.
Ускорение муфты С равно нулю, так как она не перемещается, поэтому ее сила инерции равна нулю.
Сообщим системе возможное перемещение и составим общее уравнение динамики.
Возможную работу сил G и Ф определим как произведение моментов этих сил на угол поворота 5ср:
2Gl sin ф • Sep - 2Ф/ cos ф • 8ф + G,8sc = 0. |
(1) |
47. Общее уравнение динамики |
|
709 |
Выразим возможное перемещение 5sc муфты С через 5(р: |
|
|
bsB = /8ф, |
|
|
& с |
= 85П CP , |
(2) |
|
BP |
|
где CP и BP — расстояния до точки Р — мгновенного центра враще- |
||
ния стержня СВ в относительном движении: |
|
|
CP-OP |
- sin <р = 2/sin ф, |
|
|
ВР=1, |
|
тогда |
|
|
5sc =1 б ф - ^ - у ^ = 2/sinq>-5<p.
Сила инерции
Ф = Ма,
где а = to2/ sin ф = 21 sin ф. Тогда
|
|
Ф = Мсо2/ sin ф. |
(3) |
Подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1): |
|
||
2Mgl sin ф • 8ф - |
2ЛЛо2/ sin ф • / cos ф • 8ф + 2M\gl sin ф • 8ф = 0. |
||
После преобразования получим |
|
||
|
|
Mg - Mo2 / cos ф + Mxg = 0, |
|
откуда |
|
|
|
|
|
СОЗф = СM + Mx)g |
|
|
|
М1(о2 |
|
О т в е т : со5ф |
А/ 4- МЛ |
|
|
(M |
+ Mx)g |
|
|
|
МЫ1 |
|