Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

doc2

.pdf

Скачиваний:

108

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

14.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 7879 / 8779 80 81 82 83 84 85 86 87 > Следующая >>>

780		XI. Аналитическая механика
d (ЪТЛ	_	jc, + х>
дТ	.	x,+x->
дх2		4
d(dT\	_	Jc, -t-Jc2
ЭГ _ э г		_ 0
Эх,	Эх2

Потенциальная энергия системы

Я= m g X) sin a+m g x2 sinp - m, g

Найдем производные от выражения потенциальной энергии по

обобщенным координатам:
дП	.	/и,2
~—=mg	sina—j?-,
Эх,		2
ЭП	. Q	m\g
— = mgsinp —is-.
ox2		2

Подставим выражения производных в уравнения (1) и (2) и полу-

чим дифференциальные уравнения движения системы:				4
X , + Х 2		.	ffltg
/их, +/п,—! - = mgsina——,
У			2
х,+х	2	. о	m\g
mx2+/и,—		= mgsinp—

или

^ i + ^ f / H + ^ W ^ a m s i n P - m , ) .		(4)
4	V. 4 J 2

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

781

Решив систему, составленную из уравнений (3) и (4), найдем уско-

рения грузов М2 и	g [4m sinp+ni\ (sinp - sin a - 2)1
x2	g [4m sinp+ni\ (sinp - sin a - 2)1		;
	2(2m+m()
Xt —	g [mi (sinp - sin a+2) - 4m sin a].
	2(2m+mi)
Тогда ускорение груза M
	w = —	=

_ g [т\ (sinР - sin a+2) —4m sin a] - g [4m sin p + (sinP - sin a - 2)] 2(2m+m,)

_ Ш)-m(sina+sinp) 2m+m|

О т в е т : w = g щ -m(sina + sinP) 2m+m.

Задача 48.32

Решить предыдущую задачу, заменив грузы М\ и М2 катками массы т и радиуса г каждый. Катки считать однородными сплошными круглыми дисками. Коэффициент трения качения катков о наклонные плоскости равен /к . Нити закреплены на осях катков.

Р е ш е н и е

Система имеет две степени свободы. Выберем обобщенные координаты: X, и х2 (см. рисунок) — линейные перемещения соответственно катков М\ и М2 вдоль наклонных плоскостей.

Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода:

dt ^Эх\| J	ЭТ• = й .	(1)
	Эх,
dt ^Эх2)	Эх2	(2)

782	XI. Аналитическая механика

Кинетическая энергия системы
Т = ~ L + i m r l f f +			-i 1 m r l f f +	f +	У =
2	2 2 I r J	2	2 2 I r J	2 I 2	J

. - ш 1 + - ш 2 + т \ г т - J.

Найдем производные от выражения кинетической энергии:

Э Т	3 .		xi + х2
Эх,	2		4
d ( d T \	3	.	х.+х-,
Л
дТ	3 .	+Щ	Х\|+Х2
— = ~щх2		+Щ	-1—±
дх2	2		4
d (дТЛ	3	.	хх+х2
т Ы г г ^		^ т 1 ' '
дГ =		дТ
дХ]		дх2

Определим обобщенные силы Qx и Q2. а) Полагаем Sx, >0, &t2 =0, тогда

54=-GsinaSxi -Л/1 к — + G ] — =

г2

=^-wgsina-mg—cosa + imigj&ci,

Qt =	g^~~msma-m—cosaj.
б) Полагаем Sx, = 0, Sx2 > 0, тогда
8A2 = -Gsinp&j		r		=
		r	2
	f	1	^	Sx2,
-mgsin^-mg~cos^		+ -mxg	J	Sx2,
	r	2	J
Qi	=g[-—-msinfi-m—cospi
	V 2	r

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

783

Подставим выражения производных и обобщенных сил в уравнения (1) и (2) и получим дифференциальные уравнения движения системы:

3 .		х,+х2			(т,		/к	^
тх\ +W\|			^	= g\|—'--msina-m — cosal,
3 .	+mj		Xi + X2		=	(rn\|	Q /к	a
—mx2	+mj		^		=	y - - m s i n p - m —cosp
или
			m, _		= г	(m\
			+ — x 2		= г	— -fflstna-m —cosa),
			4		4 2		r
x^m+^+^Xy					= f ^ - w s i n p - m y c 0 s p j .

( 3 )

( 4 )

Решив систему уравнений (3) и (4), найдем ускорения грузов М2

и М\.

	Зт] +7Mi(sina-cosP)+/«\| —(sina-cosp)-6m[sin Р + — cosp
*2	= g-	г	V	г
*2	= g-	3(3m-m])
		3(3m-m])

3/И| +/W|(sin р - sin a)+гщ —(cos р - cosa) - 6m (sin a +—cos a ]

			3(3m+m\)
Тогда ускорение фуза M
Х2	+ Xi	m,	-m sin a + sinp+—(cosa + cos P)
Х2	+ Xi		r
w = -L—L = g.			Ът+тх
			Ът+тх
			к
	rri\ - msin a + sin P +—(cos a + cosP)
О т в е т : w = g		.	r	.
О т в е т : w = g			З т + т ,
			З т + т ,

784	XI. Аналитическая механика

Задача 48.33

Дана система из двух блоков, неподвижного А и подвижного В, и трех грузов Л/,, М2, М3, подвешенных с помощью нерастяжимых нитей, как указано на рисунке. Массы грузов соответственно равны ти т2, тъ, при этом mj < т 2 + т 3 и т 2

Массами блоков пренебречь. Найти, при каком соотношении масс ть т2 и т3 груз Л/( будет опускаться в том случае, когда все начальные скорости грузов равны нулю.

Р е ш е н и е

Система имеет две степени свободы. Выберем обобщенные координаты: хх — смещение груза М\ вниз, х2 — смещение груза М2 вверх (см. рисунок).

Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода:

d_ ЭГ	ЭГ	ЭЯ
dt Эх,	Эх,	Эх,'
d_ ЭГ	ЭГ	ЭЯ
dt	Эх2	Эх2

Кинетическая энергия системы

г = т		+ г		+ г		=2	+	2
	х		2		3			+

т3(хi-x2)2

Найдем производные от выражения кинетической энергии:

ЭГ	= Ш\Х\ +т2(х2	+ х,)	+тг(хх—х2),
Эх,
	+m2(x2 +		x])+mi(x]-x2);
	ЭГ = т2(х2 + х,)	ш3(х, - х2).
	Эх2

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода									785
Ц^1Л		= т2{х2			+ хх)-тг(хх		-х2);
dt \дх2)
		ЭГ =			ЭГ = 0
					дх2
Потенциальная энергия системы
П= -Gxx{ +G2(X, + x2)+G3(xx			-х2)		= g[-mxxx		+т2(хх	+ x2)+m3(x,	- x 2 ) \
Найдем производные от выражения потенциальной энергии по
обобщенным координатам:
	ЭЯ			.		.
	—		= g(m2 +т3			-mi),
	охI
		дЯ			.	.
		—		= g(m2 -т3).
		ох2
Составим дифференциальные уравнения движения системы, под-
ставив значения производных в уравнения (1) и (2):
тххх +m2(Jcx	+ х2) +т3(х{ - х2) = -g{m2 +т3 -т}),
т2(хх + х2) -m3(x, - х2) =							-g(m2-т3)
или
хх(тх +т2+т3)		+ х2(т2-т3)				= -g(m2 +т3 -тх),			(3)
хх(т2 -1Щ) + х2(т2 +т3) = -g(m2-т3).									(4)
Решив систему уравнений (3) и (4), получим
'тх+т2+т3	т2-тЛ_				(т2+тг-тх			т2-т3\
т2-т3	т2+т3) = S V. т2-т3							т2+т3J
откуда ускорение груза М
.. _		тхт2 +т\т3—4т2т3
		4т2т3 +тхт2 +тхт3

Ускорение груза Мх направлено вниз, еслитхт2 +тхт3 ~'4т2т3 >0, т.е. при

/Я| >4т2т3

т2 +т3

4т2т3

О т в е т : должно быть тх > т2 +т3

786	XI. Аналитическая механика

Задача 48.34

Найти ускорение тележки, по платформе которой катится без скольжения круглый цилиндр, если сама тележка скатывается тоже без скольжения по плоскости, наклоненной к горизонту под углом а и параллельной платформе тележки; образующие цилиндра перпендикулярны линиям наибольшего ската платформы. Масса тележки без колес М, масса всех колес т, масса цилиндра колеса считать однородными сплошными дисками.

Р е ш е н и е

Система имеет две степени свободы. Выберем обобщенные координаты: х, — смещение тележки, х2 — смещение цилиндра (см. рисунок).

Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода:

dfdT\		дТ_	ЭЯ		(1)
dt Vdxj )		Эх\|	Эх,'		(1)
dt Vdxj )		Эх\|	Эх,'
d_(bT_		ЭГ	ЭЯ		(2)
dt U*2		Эх2	Эх2		(2)
dt U*2		Эх2	Эх2
Кинетическая энергия системы
, _ Мх2	l М\(к\ +х2)2		i	1 М\Г2(Х2			1 mr2
i	'"iv-ч	1	! 1	"'У
2							2 ~2~
	Мх,2				\| Mtx2	3	2
		1 , М,{х,+х2у			\| Mtx2	3	2
	2			2	2	4	1

Найдем производные от выражения кинетической энергии:

ЭГ	w.	,. . ч	3/ях.
—	= Мх, + М\|(Х\| + х2) +			— 1 ,
Э^				2

ЭГ . . . .	. . Л/х2
Эх2	2

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

787

Эх, дх2

Потенциальная энергия системы

П= -Mgx\ sina-mgx\ s i n a - А / ^ х , + x2)sina.

Найдем производные от выражения потенциальной энергии по обобщенным координатам:

^L - -Mgsma-mgsina-Mtgs'ma	= -g(M +т + A/[)sina,
Эх\|

Представим выражения производных в уравнения (1) и (2) и получим дифференциальные уравнения движения системы:

3
хАМ + -2т + М\ \+х2Мх = g(M +т + Мх)sina,	(3)
	( 4 )

Из уравнения (4)

Подставим это выражение в уравнение (3) и получим

(	3	2	2	= g(M + Mt	+m)sina
xl\M + Ml	+-т	+ - M ) g s i n a - - M 1 x 1		= g(M + Mt	+m)sina
	2
и л и
x,			= gsina M + ~M\ + т .
				3

788	XI. Аналитическая механика

Отсюда ускорение тележки

w = х, = g 6М+2М,6М+2М\ +6т+9т sin. а.

Л	6М +6т+2М1 .
О т в е т : w = g	-sina.
	6М +9т+2М,

Задача 48.35

Составить уравнения движения эллиптического маятника, состоящего из ползуна М\ массы т и скользящего без трения по горизонтальной плоскости, и шарика М2 массы т г , соединенного с ползуном стержнем АВ длины I. Стержень может вращаться вокруг оси А, связанной с пол-

зуном и перпендикулярной плоскости рисунка. Массой стержня пренебречь. Определить период малых колебаний эллиптического маятника.

Р е ш е н и е

Система имеет две степени свободы. Выбираем обобщенные координаты: у — горизонтальное смещение ползуна, ф — угол отклонения стержня (см. рисунок).

Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода:

d(dT\bT	_	ЭП	(1)
dt V J	Эз>	by '

dt I, Эф J	Эф	Эф	(2)

Кинетическая энергия системы

. _ т х у т2 12 ф2 зт2 ф /и2(/фсо5ф+ у)2

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

789

Найдем производные от выражения кинетической энергии:

дТ

— = т{ у+т2(! ф cos<р+у), ду

~~\ ~~~ I= т \Р ~тг1 Ф2sin <р+/«2/фсоэф+т2у, Ф V ду J

дТ

— = /я2/2ф sin2 ф+т2(/ф соБф+у)/созф = m2llfy+m2lУ совф,

Эф

— — | = /и2/2ф+/п2/усо8ф-т2/уф51пф, dt V Эф )

ЪТ

— = /я2/2ф25Шфсо8ф-т2(/фсо5ф+ у)/фзтф = m2ly§siпф. Эф

Потенциальная энергия системы

П- -m2glсозф.

Найдем производные от выражения потенциальной энергии по обобщенным координатам:

Эу

ЭЯ
- — = « 2 g / эшф.
Эф
Подставим выражения производных в уравнения (1) и (2) и полу-
чим дифференциальные уравнения:
щу-т21<р2 5тф+т2/фсо5ф+/и2Д' = 0>
т21г ф+т21у соьф- m2ly (j>sin ф+т21у фзт ф = -m2gl siп ф.
После преобразований получим
у(щ +от2)+/и2/(фсо8ф-ф25тф) = 0
или
—[(я?! +т2)у+т2/фсо5ф] =0,	(3)
dt
/ф+уСО8ф+£8Шф = 0.	(4)

<<< < Предыдущая 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 7879 / 8779 80 81 82 83 84 85 86 87 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.11.20181.76 Mб92doc1.doc
#
31.05.20151.09 Mб19doc1.pdf
#
31.05.20157.09 Mб28doc1.pdf
#
31.05.201511.39 Mб527doc1.pdf
#
31.05.201541.17 Mб47doc1.pdf
#
31.05.201514.26 Mб108doc2.pdf
#
31.05.2015271.87 Кб14document.doc
#
27.09.2019128.65 Кб1Dokument_Microsoft_Office_Word_Vosstanovlen (2)...docx
#
14.04.2019104.86 Кб2Dokument_Microsoft_Word(2).docx
#
31.05.201517.4 Mб87dorozhnostroit.pdf
#
31.05.20157.13 Mб26Dor_2199_Babaskin_Yu_G_Dorozhnoe_gruntovedenie.pdf