doc2
.pdf44. Удар |
533 |
Задача 44.17
Два одинаковых абсолютно упругих шара, двигаясь поступательно, соударяются с равными по модулю скоростями v. Скорость левого шара до удара направлена по линии центров направо, а скорость правого шара до удара образует с линией центров угол а (см. рисунок). Найти скорости шаров после удара.
Р е ш е н и е
Вычислим проекции скоростей центров шаров на оси п и т до удара:
v i n = v ! = v , vl T =0; |
(1) |
v2„ = - v 2 cosa = - vcosa, |
(2) |
v2x v2sina - vsina
и проекцию общей скорости на ось п после абсолютно упругого удара:
и„ - |
(3) |
|
пц + т 2 |
Подставим в уравнение (3) известные величины, учитывая, что
тх=т2 = т, тогда
и„ =•v - v c o s a |
v(l - cosa) |
(4) |
2 |
2 |
|
Проекции скоростей центров шаров в конце удара на ось т:
MlT = V|T=0, |
(5) |
и2т = v2x = vsina |
(6) |
и на ось п в случае абсолютно упругого удара: |
|
и,„ =2ы„ - v,„, |
(7) |
"2п = 2и„ - v2„ |
(8) |
534 |
X. Динамика материальной системы |
или с учетом выражений (1), (2) и (4)
и\п = v 0 - cosa) - v = - vcosa,
и2„ = v ( l - cosa) + vcosa = v.
Ответ: uXn = - v c o s a ; uH =0; u2n =v; u2x = vsina. Ось Я направлена по линии центров вправо, ось г — вверх.
Задача 44.18
Имеются три одинаковых шара М{ , М2, М3 радиусов R, расстояние между центрами С,С2 = а. Определить, на какой прямой АВ, перпендикулярной линии С|С2, должен находиться центр Су третьего шара для того, чтобы, получив некоторую скорость по направлению АВ, этот шар после удара о шар М2 нанес центральный удар шару Мх; шары абсолютно упругие и движутся поступательно.
Р е ш е н и е
Обозначим расстояние прямой АВ от центра С2, равное ВС2, через х. При движении шар My нанесет удар по шару М2, общая скорость этих шаров будет направлена по нормали, проходящей через их центры (см. рисунок). Тогда, чтобы шар Мг нанес центральный удар по шару Мх, необходимо, чтобы его скорость была направлена по общей нормали к соударяемым
поверхностям (нормаль проходит через центры масс шаров Мх и М3). Поэтому скорость шара Л/3 после удара о шар М2 должна быть направлена по прямой С,С3, параллельной касательной, проведенной
44. Удар |
537 |
Откуда |
|
v2 =2g/,(l-cosa,). |
(1) |
Проекции скоростей шаров на ось п, проведенную через центры масс шаров до удара:
vi„=v, v2 „=0.
Определим проекцию на ось п общей скорости после удара:
и |
- |
ffl'v |
(2) |
" |
тх +т2 |
тх +т2 |
|
и проекцию скорости второго шара после удара: |
|
||
и2„ = и„+к(и„- |
v2n) = u„(l + k) = m'V (1 + к). |
|
|
Щ +т2
Скорость и2п является начальной скоростью второго шара, т.е. "2и = v0-
Согласно теореме об изменении кинетической энергии составим
уравнение для второго шара: |
|
|
|
|
|
||
- ^ - m 2 g h 2 = |
|
-mM-coSa2) |
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
= g/2(l-cosa2). |
|
|
|
||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
(1 - cosa2) = |
= |
"У |
п+ к)2 |
= |
|
+ |
_ cosa|} |
2gl2 |
2gl2 |
(тх+т2У |
|
|
|
(m, +m2yl2 |
|
После преобразований получим |
|
|
|
|
|
||
|
. 2а2 |
m, (1 + к) |
. |
2 |
а, |
|
|
|
sin — = —1— |
V^sin |
|
— |
|
||
|
2 |
(щ +т2) 12 |
|
|
2 |
|
|
538 |
|
|
|
|
|
X. Динамика материальной системы |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s.no2 |
= |
mfi + k) |
1£5.па, |
|
|
|
|
|
(т, +т2) й |
" |
„ |
. а2 |
т,(1 + к) |
[Г |
. ai |
|
|
О т в е т : sin— = —- |
- |
—sin—. |
|
|||
|
2 |
(т\+т2)\12 |
2 |
|
||
Задача 44.21
Маятник ударной машины состоит из стального диска/4 радиуса 10 см и толщины 5 см и из стального круглого стержня В диаметром 2 см и длины 90 см. На каком расстоянии / от горизонтальной плоскости, в которой лежит ось вращения О, должен быть помещен разбивае- в мый машиной брусок С, чтобы ось не испытывала удара? Ударный импульс лежит в плоскости рисунка и направлен горизонтально.
Р е ш е н и е
Ось вращения не будет испытывать удара, если разбиваемый брусок С помещен в центре удара, положение которого определяется по, формуле
I _ hi |
(1) |
|
тх' |
||
|
где т — масса системы; х — координата центра масс системы; 10г — момент инерции системы относительно оси, проходящей через точку О.
Введем обозначения: тх — масса стержня, а — длина стержня, г — диаметр стержня, т2 — масса диска, R — диаметр диска, 5 — толщина диска.
Найдем момент инерции системы
hi - h + IА
где IB = гп\а3
44. Удар |
|
|
|
539 |
Тогда |
|
|
|
|
*Oz — + |
m2R2 |
2 |
(2) |
|
|
—j—+m2x2. |
|||
Определим массу стержня |
|
|
|
|
гп\ = |
рлга |
|
|
|
и диска |
|
|
|
|
т2 = рлЯ2б.
Найдем положение центра масс системы (см. рисунок), учиты-
вая, что X] = |
а |
п |
|
|
—, х7 |
= а + R\ |
|
|
|
|
|
тх = Yjmkxk = т\х\ +т2х2 |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
„2 _2 |
|
тх - pitr2a ~ + p%R2S(a + R) = рте |
- + /? 5(fl + Л) |
(3) |
||
Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1) и определим иско-
мое расстояние: |
|
|
|
|
т. а2 т2Л2 |
2 |
2/-2д3 +3/?*5+6Д2Х25 _ |
/ = |
+ |
^ |
|
|
|
|
|
|
pjt[(rV)/2 + Л25(а + Л)] |
6[(rV)/2 + Л26(а + Я)] |
|
|
2r2a3 |
+ 3R4b+6R2X2?> |
|
|
l[r2a2 |
+ 2R2b(a + R)] |
|
_ 2 l2 903 + 3• 104 -5+6-102 -1002 5= 97,5 (см). 3[l2 902 +22 102-5(90 + 10)]
О т в е т : 1 = 97,5 см.