32

Рис. 5.3. Тарировочный график для определения расхода воды

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Цель работы − изучение закона сохранения энергии при течении жидкостей и газов и экспериментальная проверка уравнения Бернулли в трубе переменного сечения.

Общие сведения

Движение идеальных (невязких) жидкостей и газов описывается уравнениями Эйлера. При стационарном баротропном их движении в поле потенциальной массовой силы одним из интегралов (решений) уравнений Эйлера является интеграл Бернулли, выражающий собой постоянство трехчлена Бернулли

33

(В = const) во всем потоке жидкости, если течение потенциально, и вдоль линии тока, если течение вихревое.

Трехчлен Бернулли представляет собой сумму кинетической энергии единицы массы жидкости V2/2, функции давления P и потенциала плотности массовой силы Φ.

Функция давления P при баротропном движении определяется интегралом

ность жидкости или газа может быть задана только функцией давления, т.е. ρ = ρ(р). Примером баротропных движений являются изотермические и адиабатические движения.

Тот факт, что плотность массовой силы f имеет потенциал Ф означает, что она может быть выражена как градиент этого потенциала fr = − Ф.

Если жидкость несжимаема (ρ = const), то Р = р/ρ + const. Если массовой силой является сила тяжести ( f = gr), то Ф = gz + const (z − вертикальная коор-

дината). Поэтому для несжимаемой жидкости, движущейся в поле силы тяже-

сти, интеграл (или уравнение) Бернулли имеет вид

В таком виде уравнение Бернулли выражает собой закон сохранения энергии в жидкостях и газах. При стационарном движении тяжелой идеальной несжимаемой жидкости полная удельная энергия (энергия единицы массы) жидко-

сти Е, представляющая собой сумму удельной кинетической энергии V2/2, удельной потенциальной энергии в поле силы тяжести gz и удельной энергии, связанной с работой сил давления p/ρ, есть величина постоянная. Это энергетиче-

ская интерпретация уравнения Бернулли.

Для иллюстрации геометрической интерпретации уравнения перепишем

В этом случае все члены уравнения (6.2) имеют размерность длины и называются соответствующей им высотой или напором. В виде (6.2) уравнение Бер-

нулли выражает закон постоянства полного напора в жидкости. При стацио-

нарном движении тяжелой идеальной несжимаемой жидкости полный (или гидравлический) напор (высота) Н в жидкости, представляющий собой сумму ди-

намического напора (высоты) V2/2g, пьезометрического напора (высоты) p/ρg

34

и геометрического напора (высоты) z, есть величина постоянная. Отметим, что сумма p/ρg + z называется потенциальным напором.

В реальной вязкой жидкости уравнение Бернулли в точной формулировке (6.1) или (6.2) не выполняется из-за того, что вследствие вязкого трения имеют место необратимые потери механической энергии, а значит и потери напора, связанные с переходом этой энергии в тепловую. Поэтому чем ниже по потоку лежит рассматриваемая точка на линии тока, тем меньше полная механическая энергия единицы массы жидкости Е в ней. Разность этих энергий и напоров между двумя точками 1 и 2 на линии тока определяет потери энергии или напора между ними Е1 – Е2 = ∆E, H1 – H2 = ∆H. Причем ∆H = ∆E/g. Соответственно определяются и потери давления между этими точками ∆p = ρg∆H = ρ∆E.

С учетом этого уравнение Бернулли для реальной жидкости записывается, например, в виде равенства полных напоров в жидкости в двух разных точках линии тока с учетом потерь напора между ними

В гидравлике применяется еще одно упрощающее предложение, заключающееся в том, что в данном живом сечении трубопровода, характеризующие поток жидкости величины считаются постоянными и равными некоторым средним значениям. Так средняя скорость в сечении трубы Vср определяется по объемному расходу жидкости Q и площади сечения S: Vср = Q/S. При определении удельной кинетической энергии потока V2/2 по среднему значению скорости Vср вместо истинной, в уравнение Бернулли необходимо ввести поправочный коэффициент кинетической энергии α, значение которого всегда больше единицы.

С учетом этого уравнение Бернулли записывается для двух разных сечений трубы в виде:

При турбулентном режиме течения значение α близко к единице.

Линия, которая соединяет на графике точки полного напора Н вдоль трубы, как изображено на рис.6.1 (линия Е-Е), называется напорной линией или линией энергии. В идеальной жидкости это была бы горизонтальная прямая Н = Н0 = const. В реальной жидкости она понижается вдоль трубы и ее уклон определяет собой потери напора. Падение напора, приходящееся на единицу длины вдоль потока, называется гидравлическим уклоном Il: Il = ∆H12/l12.

Экспериментальная установка

Работа проводится на установке, подобной той, которая описана в работе №5, только вместо трубы постоянного диаметра установлена труба переменного сечения типа изображенной на рис.6.1. Пьезометрический напор в жидкости определяется по показаниям пьезометрических трубок, выведенных на общий щит и установленных в пяти разных сечениях трубы.

Геометрические характеристики трубы переменного сечения прилагаются к установке.

36

Порядок выполнения работы

1.При неподвижной жидкости показания пьезометров одинаковы. Необходимо только проследить, чтобы в них не было пузырьков воздуха.

2.Включением насоса и открытием вентиля на выходе из трубы установить определенный режим течения, при котором наблюдается заметное различие в показаниях пьезометров.

3.Для определения расхода жидкости снять показания расходомера n.

4.Снять показания всех пьезометров. При этом следует иметь в виду, что поскольку для всех пьезометров принята общая горизонтальная плоскость от-

счета 0-0, то их полные показания дают потенциальный напор (p/ρg + z).

Обработка экспериментальных результатов

1.Определить расход воды при помощи тарировочного графика (рис. 6.2).

2.По измеренному расходу Q и известных диаметрах сечений трубы d вы-

числить средние скорости V = Q/S (S = πd2/4) в тех сечениях трубы, где установлены пьезометры.

2.Вычислить гидродинамический V2/2g и полный H = V2/2g + p/ρg + z напоры в этих сечениях.

3.Данные измерений и вычислений занести в таблицу 6.1.

4.Построить напорную и пьезометрическую линии.