Основной текст

У

Рис.2.9

Рис.2.10

Т

В частном случае одна пара одноимённых прямых проекций двух пересе-

кающихся прямых может совпадать. Это значит, что плоскость, которую опре-

деляют обе прямые, перпендикулярна к соответствующей плоскостиНпроекций

(рис. 2.11).

й

Угол, образованный пересекающимися прямыми, Бпроецируется без иска-

и

жения только тогда, когда его плоскость параллельна плоскости проекций.

Прямой же угол проецируется без искажен я тогда, когда только одна его

эпюре

сторона параллельна плоскости п оекц й, а вторая не перпендикулярна (теоре-

ма о проекциях прямого угла).

о

3. Как известно, скрещивающиеся ямые не пересекаются и не парал-

т

лельны. Следовательно, если на

ни один из признаков пересечения или

параллельности не выполняе ся,

мы имеем дело с эпюром скрещивающихся

и

одноимённые проекции прямых l и m пересе-

прямых. Так на эпюре (р с. 2.12)

каются в точках N2

K1 , лежащих на различных перпендикулярах к оси хо.

з

Прямые же в пространстве не пересекаются, но и не параллельны.

о

п

е

Р

Рис.2.11

Рис.2.12

ными проекциями этих же прямых. Точки пересечения будут фронтальными

Н

проекциями конкурирующих точек. Видимой будет та точка, фронтальнаяУпро-

екция которой будет выше.

Б

й

циями этих же прямых. Точки пересечения будут горизонтальными проекциями

конкурирующих точек. Видимой будет та точка, горизонтальная проекция бу-

дет удалена дальше от плоскости П2.

и

р

2.4. Плоскость.

Способы

ажен я плоскости

мой линии l.

изоб

Плоскость можно представить как с вокупность последовательных поло-

т

жений непрерывно движущейся прям й линии m, проходящей через непод-

вижную точку А прос ранс ва и ск льзящей по некоторой неподвижной пря-

и

i=1,2,3…

(A ,l). mi É А, m ∩ l.

о

Укажем следующие свойства плоскости:

1.

п

Прямая, прзх дящая через две различные точки плоскости, лежит в этой

плоскости.

чение

2.

Ч р з три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и

только одна плоскость.

Р

Если две различные плоскости имеют одну общую точку, то их пересе-

3.

есть прямая.

Если точки некоторой плоскости

спроецировать на плоскости проекций,

то проекции точек плоскости

покроют плоскости проекций и мы не полу-

чим никакого изображения.

У

Т

Рис.2.13

Н

Б

линии. При ортогональном проецировании ( рис.2.13 б) плоскость изобразится

в виде прямой линии только тогда, когда изображаемая плоскость расположена

перпендикулярно к плоскости проекций.

й

Для построения эпюра плоскости общего положения используется понятие

определителя плоскости.

три

р

, необходимых и доста-

Определителем называется совокупность услов

точных для определения геометрической ф гу ы в пространстве.

что

точки, не принадлежащие од-

Из свойства плоскости известно,

че ез

ной прямой, проходит одна и т лько

дна плоскость. В этом случае плоскость

только одну плоскость. Определитель в этом случае (А, l) (рис.2.14 б).

определяется определи елем

(А, В, С) (рис.2.14 а).

и

Как следствие этого свойс ва:

1.

Через прямую не

надлежащую ей точку можно провести одну и

з

2.

о

Через две ра л чные параллельные прямые можно провести только од-

ну плоск сть. Определитель плоскости будет Г (a

b) (рис.2.14 в).

3.

п

Через две пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну

плоскость Σ (a Ι b) (рис.2.14 г).

е

Поэтому роекции упомянутых сочетаний точек и прямых можно рассмат-

ривать как роекции определителей плоскости (рис.2.14 ).

Р

Таким образом, следы представляют собой случай задания плоскости

двумя пересекающимися прямыми

( l ∩ m) или параллельными прямыми

Г ( l m). Эпюры плоскостей, изображенных на рис. 2.15 и 2.16, будут иметь

вид, указанный на рис.2.17 и 2.18.

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

Рис. 2.16

и

з

о

п

е

Р

Рис. 2. 17

Рис. 2.18

Задача 1. Достроить недостающую проекцию прямой l

, принадлежащей

плоскости Σ , заданной двумя пересекающимися прямыми m и n ( рис.3.1) .

Σ (m ∩ n), l Σ . l1=?.

На основании аксиомы принадлежности на заданных прямых

m и n отме-

чаем точки пересечения заданной фронтальной проекции прямой l, лежащей в

плоскости Σ, с прямыми , задающими эту плоскость ( 1 m

и 2

n ).

У

Опуская линии связи на горизонтальные проекции линий m и n, получаем

Т

горизонтальные проекции точек 11 и 21 , которые и определяют горизонтальную

проекцию искомой прямой l .

Н

Б

й

и

р

о

дим

Рис. 3.1.

лежащей в плоско-

Задача 2. Дострои ь фрон альную проекцию прямой l,

сти Ψ, заданной двумя пересекающимися прямыми m и n Ψ ( m ∩ n ) (рис. 3.2.).

з

На проекции прямойтn1 отмечаем точку 11 ее пересечения с заданной про-

екции прямой l. Достра ваем фронтальную проекцию этой точки 12.

о

проекцию прямой l2

параллельно фронтальной проек-

Через неё пр в

прям

ции

й m2

, адающей плоскость.

е

Р

7 (m n), А1. А2=?.

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

Рис. 3.3.

Через проекцию точки

А1

пр в дим произвольную прямую l1.

Строим её

задачи

чкам пересечения с прямыми m и n, задающим

фронтальную проекцию l2 по

плоскость. С помощью л н

связи находим А2 l 2.

оз

следует, что для любой точки плоскости можно

Из решения данной

3.2. Главные линии плоскости

п

е

На любой лоскости можно провести бесчисленное множество прямых в

самых различных направлениях.

Р

Ср ди этих линий особое место занимают прямые уровня следующих на-