[ТМиП]metodichka_part1

одинаковы, но Кi используется для оценки выборки, а у = f(x) для оценки генеральной совокупности.

Уравнение кривой Гаусса

где х – переменная случайная величина; у = f(x) – плотность вероятности;–среднеквадратическое отклонение величин х от Х .

Кривая Гаусса обладает рядом свойств. Отметим главные из них.

1.Ветви кривой асимптотически приближаются к оси абсцисс, сливаясь с ней в бесконечности, то есть зона рассеивания случайной величины х лежит в пределах ± .

2.Максимальное значение величины у будет при х = Х и соответственно составит

3. Значение величины у для значений х = составляет

4.Кривая имеет перегибы, отстоящие на расстоянии от среднего значения Х .

5.При увеличении кривая "сплющивается", а при уменьшении «вытягивается» вверх (рис.3).

6.Площадь под кривой нормального распределения может быть

найдена путем интегрирования уравнения (3) и характеризует собой вероятность того, что случайная величина будет располагаться внутри интервала ± . Совершенно очевидно, что в пределы ± попадут полностью все значения х. Поэтому вероятность попадания в этот интервал равна единице:

1 _ ( x X )

e 2 2 dx 1.

2

7.Для практики достаточными являются пределы, равные не ± , а

±3 от значения Х , так как в эти пределы попадает 99,73% всех значений случайной величины х. Практически считают

табл.1.2. Там же приведены и удвоенные значения 2Ф(t). Значение Ф(t)

12

выражает отношение площади, соответствующее заданному интервалу 0,t ко всей площади под кривой, которая равна единице.

Введением переменной t начало отсчета величин x переносится в точку, соответствующую Х .

Таблица1.2. Значения нормированной функции Лапласа

Ранее при рассмотрении полигонов распределения было показано, что отношением площадей может быть найден процент годных и бракованных деталей. Следовательно, этот процент может быть найден и через значения Ф(t). По полигону распределения (рис.1.1) был найден процент брака для выборки из n = 24, который равнялся 8,3%. Для определения процента брака для генеральной совокупности необходимо заменить полигон теоретической кривой распределения с теми же характеристиками Х и и найти значения Ф(t) в диапазоне значений х выходящих за пределы допуска.

13

Определим вероятный процент брака генеральной совокупности по выборке, представленной на рис.1.1. Прежде всего определим по формуле (1.2).

Для подсчета удобно воспользоваться табл.1 и, несколько увеличив количество интервалов, продолжить ее, как это показано в табл.1.3.

ранее построен на рис. 1.1) и теоретическую кривую распределения с одинаковыми характеристиками

14

X =29,923

Dcp=29,94

Рис.1.4. Замена полигона распределения размеров теоретической кривой

15

Совмещенные кривые распределения представлены на рис.1.4. Нанеся на график заданные размеры Dср и поле допуска IT = 0,12 мм, видим, что часть значений размеров оказывается вне поля допуска (участки заштрихованы).

Для определения процента брака необходимо определить отношение этих площадей ко всей площади кривой. Левый заштрихованный участок справа ограничен значением x1 = 29,88. Найдем t:

Знак минус можно опустить, так как функция Ф(t) является нечетной:

Ф(–t) = –Ф(t).

По табл.1.2 для t = 1,39 находим Ф(1,39) 0,41.

[Ф(3) – Ф(2,48)] 100 = (0,5 – 0,4938) 100 0,6%.

Размеры этих деталей выше верхнего предельного значения, следовательно, этот брак исправимый.

Законы распределения Симпсона, равной вероятности и Релея

При различных условиях обработки заготовок рассеяние их действительных размеров могут подчиняться и другим законом распределения.

Закон Симпсона (равнобедренного треугольника) применяется для описания погрешности размеров заготовок, на которых оказывает влияние один доминирующий фактор с переменным характером изменения во времени, сначала ускоренным, потом замедленным, а затем вновь ускоренным. Такие условия могут возникнуть при быстром изнашивании

16

Подставив в эту формулу величины и соответствующие трём законам распределения случайной величины, получим для каждого из них своё значение коэффициенты (табл. 1.4).

Таблица 1.4. Значения относительного среднеквадратического отклонения

Закону Релея подчиняются случайные погрешности принимающие только неотрицательные значения: радиальное биение цилиндрических поверхностей; отклонения от соосности; торцевое биение; отклонение от параллельности двух плоскостей; отклонение от перпендикулярности двух плоскостей; овальность; конусообразность и др.

Распределение по закону Релея формируются, в частности, когда случайная величина r представляет собой геометрическую сумму двух случайных величин x и y (рис. 7, а)

Кривая закона Релея (рис 7, б) по внешнему виду напоминает кривую Гаусса, но ее начало совпадает с началом координат и ее вершина смещена

в сторону начала координат. Среднее арифметическое значение r и

19

Рис. 1.7. Характер изменения доминирующего диаметра (а) и кривая распределения размеров заготовок по закону Релея (б)

При обработке заготовок на настроенных станках на точность их размеров одновременно воздействуют разные факторы, вызывающие появление, как случайных погрешностей, так и систематических постоянных и переменных погрешностей. В подобных случаях закон распределения размеров обработанных заготовок представляет собой композицию нескольких законов распределения. Например, композиционный закон Гаусса и равной вероятности наблюдается в тех случаях, когда наряду с множеством случайных факторов, дающих в совокупности нормальный закон, на погрешность размеров оказывает влияние систематический доминирующий фактор, равномерно изменяющийся во времени. Композиция законов Гаусса и равной вероятности создает симметричные кривые распределения различной формы, зависящей от степени воздействия на конечное распределение каждого из соответствующих законов. Если доминирующий систематический фактор неравномерно изменяется во времени, то форма кривой распределения становится несимметричной. Наличие переменных