1.2 Решение транспортной задачи методом потенциалов

Транспортная задача решается на минимизацию холостого пробега и состоит в определении оптимального варианта закрепления потребителей за поставщиком однородной продукции.

Если обозначить объем вывоза груза через некоторого поставщика Q_i, требуемый объем завоза груза некоторому потребителю черезQ_j,объем груза, перевозимого от некоторогоi-ого поставщикаj-ому потребителю, черезQ_ij и кратчайшее расстояние перевозки отi-ого поставщика доj-ого потребителя черезl_ij. То математическая модель поставленной задачи имеет вид:

, (1.3)

(1.4)

(1.5)

Q_ij ≥ 0. (1.6)

В случае, если количество груза у поставщиков равно общему объему завоза груза всем потребителям, то имеет место условие:

=(1.7)

Поставленная таким образом задача (целевая функция (1.3) и ограниченная (1.4)-(1.7)) является закрытой моделью классической транспортной задачи линейного программирования, в результате решения которой по известным значениям Q_i, Q_j, l_ij находятся неизвестные значения объемов перевозок междуi-ым поставщиком иj-ым потребителемQ_ij.

Для составления транспортной задачи из исходных данных (вариант №14) выбираем грузы, перевозимые одним типом подвижного состава. Перечень этих грузов представлен в таблице 1.12.

Таблица 1.12 – Грузы, перевозимые одним типом подвижного состава

Грузопотоки		Род груза	Объем перевозок, т	Класс груза и способ перевозки
Из пункта	В пункт
А1	Б1	Грунт	500	1 (навалом)
А1	Б1	Рельсы	500	1 (без упаковки)
Б1	А1	Доски	200	1 (без упаковки)
А2	Б2	Песок	1000	1 (навалом)
Б2	А3	Овощи	200	2 (ящики)
А2	Б2	Фанера	200	1 (пачки)
А3	Б2	Щебень	250	1 (навалом)
А3	Б2	Овощи	200	1 (ящики)
Б3	А4	Тара разная	250	3 (без упаковки)
Б5	А5	Кожа	500	1 (ящики)
А4	Б2	Песок	1000	1 (навалом)
А4	Б1	Фанера	250	1 (пачки)
А5	Б4	Песок	1000	1 (навалом)
А5	Б4	Шифер	500	1 (без упаковки)
Б4	А5	паропласт	500

Для решения транспортной задачи объемы перевозок приводятся к 1-ому классу груза по следующей формуле:

(1.8)

Где – число ездок, приведенных к 1-ому классу груза;

- объем перевозок указанный в плане;

- номинальная грузоподъемность автомобиля (для осуществления перевозок выбран автомобиль модели МАЗ-4570 грузоподъемностью 10 тонн);

- коэффициент статического использования грузоподъемности.

Подготовка исходных данных для их занесения в матрицу транспортной задачи приводится в табличной форме и представлена в таблице 1.13.

Таблица 1.13 – Подготовка исходных данных к маршрутизации перевозок грузов

Пункт отправления	Пункт получения	Перевозки по видам груза
		Вид груза	, т
А1	Б1	Грунт	500	1,0		50
А2	Б2	Песок	1000	1,0		100
А3	Б2	Щебень	250	1,0		25
А4	Б2	Песок	1000	1,0		100
А5	Б4	Песок	1000	1,0		100

В клетках матрицы транспортной задачи указывается расстояние перевозки и приведенный к 1-ому классу объем грузов в тоннах по отправителям и получателям, затем строится в виде матрицы возможный план перевозок (см. таблицу 1.14 на странице …).

Для отыскания оптимального закрепления потребителей за поставщиками необходимо сделать в полученной таблице первоначальное закрепление, т.е. получить произвольный план закрепления (опорный), удовлетворяющий ограничениям (1.4)-(1.7) при количестве загруженных клеток m+n-1 и отсутствии циклов (контуров). Такой план, содержащий ровноm+n-1 заполненных клеток без циклов, называется базисным.

Контур может быть четырехугольным, шестиугольным, восьмиугольным и т.д. Если число загруженных клеток более m+n-1, то среди них есть цикл.

Существует несколько методов получения опорного плана – метод северо-западного угла (диагональный) и ряд более эффективных, ускоряющих в дальнейшем отыскание оптимального решения, - метод абсолютного двойного предпочтения, метод минимального элемента, метод минимальных разностей и другие.

Распределение груза рекомендуется производить методом минимального элемента, как одним из наиболее простых и эффективных.

В соответствии с этим методом опорный план составляется по следующему правилу: выбирается минимальное расстояние, клетки загружаются объемами перевозок Q_ij, пока не будут удовлетворены ограничения по вывозу и завозу груза. Объем грузаQ_ij, заносимый в клеткуij, определяется как минимум от объема вывоза по строке и объема завоза по столбцу с учетом ранее назначенных других перевозок. Выбор загрузки именно таким образом обусловлен тем, что, во-первых, необходимо переправить как можно больше груза по маршруту с наименьшим расстоянием, во-вторых, невозможно переправить груза больше, чем имеется у данного грузоотправителя, в-третьих, не должно пересылаться грузополучателю больше груза, чем ему требуется. Выбранное значение и будет представлять собой загрузку данной клетки.

Оставшиеся загрузки проставляются по возможности в клетки с наименьшим расстояниями. При проставлении загрузок необходимо соблюдать условия, оговоренные выше.

Полученный методом наименьшего элемента начальный опорный план транспортной задачи представлен в таблице 1.14.

Таблица 1.14 – начальный опорный план перевозки грузов

грузополучатель	грузоотправитель						Объем завоза bi, т
	А1	А2	А3	А4	А5
Б1	25 24	- 17	25 12	- 25	- 19	500
Б2	25 24	- 15	- 17	100 7	100 14	2250
Б4	- 28	100 4	0 9	- 12	- 9	1000
Объем вывоза, aj, т	500	1000	250	1000	1000	3750

Далее полученный план перевозок проверяется на оптимальность с помощью метода потенциалов. В таблицу транспортной задачи вводится вспомогательная строка и столбец, в которые заносятся специальные показатели, называемые потенциалами.

Метод потенциалов основан на том, что если к расстояниям любой строки (столбца) таблицы прибавить или отнять произвольное одно и тоже число, то оценка оптимальности относительно не изменится. Если, например, от расстояний каждой i-ой строки отнимать числоu_i и от расстояний каждогоj-ого столбца -v_j, то тогда относительной оценкой любой клеткиijможет служить параметр Δ_ij вместоl_ij, рассчитываемый по формуле:

Δ_ij = l_ij - u_ij - v_ij (1.9)

Потенциал для наиболее загруженной строки таблицы принимается равным нулю и по расстояниям загруженных клеток подбираются потенциалы для других строк и столбцов таким образом, чтобы соблюдалось условие (1.9), т.е. расстояние в каждой загруженной клетке должно быть равно сумме потенциалов строки и столбца данной клетки. Затем по вычисленным потенциалам строки столбцов определяются значение оценочного параметра Δ_ij для каждой незагруженной клетки (не вошедшей в базисный план).

Величина параметра Δ_ij характеризует общее увеличение пробега с грузом, достигаемое при включении в план единицы груза по по корреспонденцииijпо сравнению с рассматриваемым планом.

Если значение оценочного параметра свободной клетки будет меньше 0 (Δ_ij < 0), то это значит, что перераспределение корреспонденций по клеткам таблицы с занесением объема перевозок в такую свободную клетку, называемую потенциальной, уменьшит значение целевой функции.

Отсутствие клеток со значением параметра Δ_ij < 0 означает, что проверяемый план закрепления потребителей за поставщиками является оптимальным.

Проверка исходного опрного плана перевозок на оптимальность представлена в таблице 1.15. Суммарный холостой пробег автомобилей составляет 4000 км. План не оптимален, т.к. имеются отрицательные оценки. В связи с этим для клетки с минимальным отрицательным потенциалом (А₅Б₄) составлен цикл для перехода к следующему (улучшенному) опорному плану. Соответствующие клетки цикла помечаются попеременно «+» и «-», а их значения соответственно увеличиваются или уменьшаются.

Таблица 1.15 – Проверка начального опорного плана на оптимальность и переход к следующему плану перевозок

грузополучатель	грузоотправитель						Потенциалы vj
	А1	А2	А3	А4	А5
Б1	+++++++ 25 - 24	10 17	+++++++ 25 + 12	18 25	5 19	0
Б2	+++++++ 25 + 24	8 15	5 17	100 7	+++++++ - 100 14	0
Б4	7 28	100 4	+++++++ 0 - 9	8 12	+++++++ + -2 9	-3
Потенциалы ui	24	7	12	7	14

Полученный план перевозок, а также его проверка на оптимальность представлены в таблице 1.16. Суммарный холостой пробег автомобилей составляет 4000 км. Полученный опорный план является оптимальным. Данный оптимальный план перевозок единственный.

Таблица 1.15 – Оптимальный план перевозок

грузополучатель	грузоотправитель						Потенциалы vj
	А1	А2	А3	А4	А5
Б1	25 24	- 17 17	25 12	- 25 25	- 19 19	0
Б2	25 24	- 6 15	- 5 17	100 7	100 14	0
Б4	- 9 28	100 4	- 2 9	- 10 12	0 9	-5
Потенциалы ui	24	9	12	7	14