4. Оптимизация на основе параметров k5, l6

4.1. Разработка программы для решения системы оду в канонической форме Коши средствами MathCad, на основе предложенного алгоритма

Для решения системы ОДУ в каноническом виде Коши используем метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Приращение переменной можно выразить по следующей формуле:

,

где:

Тогда программная реализация данного метода будет иметь вид:

В результате вычислений и всех тестов, получается полное совпадение результатов с результатами, полученными при помощи встроенной функции Rkadapt (Приложение 1).

4.2. Изучение встроенной процедуры оптимизации в MathCad

Являясь мощным пакетом для различных математических вычислений, MathCAD включает в себя множество функций. Одной из таких функций является функция Minimize.

Данная функция предназначена для поиска такого значения независимой перемененной, при котором значение функции будет минимально. Опишем синтаксис данной функции.

Перед началом блока оптимизации пишется ключевое слово Given, которое позволяет определить пакету MathCAD, где начинается блок минимизации. После ключевого слова Given перечисляются переменные с указанием граничных условий. По этим переменным MathCAD и будет искать минимальное значение функции. Например, следующая запись () означает, чтоMathCAD будет искать минимальное значение функции, изменяя параметр . После перечисления переменных следует вызов функцииMinimize. Синтаксис у функции следующий:

Minimize(<имя_функции>,<параметр₁>,<…>,<параметр_n>),

где - <имя_функции> - имя той функции, минимальное значение которой необходимо найти, <параметр₁>…<параметр_n> - список параметров, по которым функция Minimize будет искать минимум.

Необходимо заметить, что количество параметров и их порядок следования должен быть таким же, как и в функции, минимальное значение которой мы ищем.

Так же необходимо отметить, что чем больше входных параметров у функции Minimize, тем большее количество времени занимает поиск минимального значения. Отсюда следует вывод – количество входных параметров у функции Minimize (как было замечено выше, и у минимизированной функции тоже) должно бать минимально.

Функция Minimize возвращает матрицу-столбец с перечислением оптимальных параметров.

4.3. Подготовка модели в виде пригодном к использованию функцией Minimize

Однако, мы не можем использовать для минимизации непосредственно функцию вычисления ускорения, т.к. значение ускорения многократно уходит в отрицательную область, а значения функции должны быть неотрицательными. Поэтому для минимизации будем использовать функцию нахождения среднего квадрата ускорения. Эта функция имеет два входных параметра k4 и l5. Возвращает эта функция одно число – средний квадрат ускорений. (Приложение 2).

Имея функцию для вычисления среднего квадрата ускорения можно приступать к оптимизационным вычислениям.

4.4. Выполнение оптимизационных вычислений.

Опишем блок минимизации:

где, Given – ключевое слово, указывающее пакету MathCAD начало блока минимизации, ,- ограничение на изменение входных параметров,Opt:=Minimize(USKOR,k5,l6) – вызов функции минимизации, USKOR – имя функции, используемой для вычисления среднего квадрата ускорения (разброса ускорений).

Просчитав возможные варианты и выбрав тот, при котором разброс ускорений имеет минимальное значение, функция Minimize вернёт нам следующую матрицу-столбец: