Вопрос 37

Оптимизация запасов методом множителей Лагранжа

При решении задачи Лагранжа интересовались значениями х1,…,хn; кроме того, могло интересовать экстремальное значение целевой функции f(X). Но в процессе решения попутно было определено значение еще одной величины - множителя Лагранжа.

Оказывается, множитель Лагранжа — весьма существенная характеристика решаемой задачи. Чтобы смысл ее стал яснее, несколько изменим формулировку ограничения, ничего не изменяя по существу. [2]

Типичная экономическая ситуация характеризуется тем, что приходится искать наиболее выгодное решение при ограниченном количестве некоторого ресурса. Если r - заданное количество запаса, а функция h(X) характеризует потребное его количество для достижения точки Х, то ограничению естественно придать форму

h(X)  r.

По характеру задачи часто бывает ясно, что для достижения оптимума запас нужно использовать полностью, так что ограничение может быть записано в виде равенства

h(X) = r.

Это условие можно представить в форме g(X) = h(Х) - r = 0. Но значительный интерес представляет максимально достижимый уровень функции f(x) в зависимости от имеющегося количества ресурса r. Обозначим

F(r) = max f(X)  h(X) = r.

В правой части - принятое обозначение условного экстремума: после вертикальной черты выписывается условие.

Вспомним, что при обсуждении структуры лагранжиана мы интерпретировали g(Х) как составляющую, уравновешивающую возможный прирост максимума f(X) при отклонении g(X) от нуля. Но отклонение g(X) от нуля есть отклонение h(Х) от r. Если располагаемое количество запаса получает приращение r, то мы должны ожидать приращение максимума функции f(X) на r.

В действительности это соотношение носит приближенный характер. Точный результат мы получили бы в пределе при r  0:

Таким образом, множитель Лагранжа характеризует скорость изменения максимума целевой функции при изменении ограничивающей константы r в ограничении. [2]

Вопрос 58

Уравнение Слуцкого

В алгебраической форме совместное влияние эффектов замены и дохода выражается уравнением Слуцкого:

В нашем примере X1 = А, Х2 = Б, и уравнение Слуцкого верно для различных сочетаний i и j (*как при i=j=1, например, так и при i≠j, то есть когда изменения спроса и цены относятся к одному и тому же товару или к разным товарам). Индекс соmp означает «связанное с компенсацией», то есть с изменением номинального дохода, позволяющим потребителю поддерживать прежний реальный доход.

Первое слагаемое в правой части уравнения Слуцкого описывает действие эффекта замены, второе - действие эффекта дохода, выраженное в тех же единицах измерения (множитель X приводит их к одной размерности). Слева записано совместное (результирующее) воздействие эффектов замены и дохода на спрос. Как было показано, оно складывается из изменения структуры потребления при замене одних (относительно подорожавших) благ другими (относительно подешевевшими) и общего изменения объемов потребления благ при изменении уровня реального дохода. [3]

Результат совместного влияния эффекта замены и эффекта дохода зависит от их направления и величины. При росте цены данного блага эффект замены для этого вида благ всегда отрицателен, то есть состоит в сокращении объема спроса на дорожающий товар. Эффект же дохода различен в зависимости от отношения потребителя к данному виду благ. Спрос на нормальные (полноценные) блага растет при увеличении дохода, поэтому при понижении реального дохода соответствующий компонент в уравнении Слуцкого отрицателен. Сумма двух отрицательных величин также отрицательна, поэтому общий итог повышения цены для полноценных благ, несомненно, заключается в сокращении объема спроса на них. При этом влияние эффектов замены и дохода однонаправлено (рис. 1).

Рисунок 1

Когда потребитель считает данное благо нейтральным (при изменениях дохода спрос на такое благо не меняется), то эффект дохода равен нулю и общее изменение потребления такого блага совпадает с эффектом замены (рис. 2).

Рисунок 2

В этом случае наклон кривой спроса будет, очевидно, более крутым, чем наклон кривой спроса на нормальное благо.

Если потребитель считает благо неполноценным (спрос на него при увеличении дохода падает), но абсолютная величина эффекта дохода меньше величины эффекта замены, то общий результат повышения цены по-прежнему отрицателен, хотя он будет еще меньше по абсолютной величине, чем в предыдущем случае (рис. 3).

Рисунок 3

Если в последнем случае эффект замены и эффект дохода равны по абсолютной величине, то спрос на такое неполноценное благо будет абсолютно неэластичным (рис. 4).

Рисунок 4

Получается, что в этом случае закон спроса продолжает действовать, но его действие нейтрализуется равносильным действием понижения реального дохода для неполноценных благ. [3]

И только когда абсолютная величина эффекта дохода при изменении цены менее ценного блага больше величины эффекта замены, то общий эффект повышения цены будет положительным. Такой товар будет называться благом (товаром) Гиффена, и кривая спроса на него будет иметь положительный наклон (рис. 5).

Рисунок 5

Данный анализ эффектов замены и дохода проведен по методологии Джона Хикса, при которой данный уровень реального дохода определяется как обеспечивающий данный уровень благосостояния потребителя (данный уровень полезности). Разработавший основные положения этого анализа Евгений Евгеньевич Слуцкий (его исследования были осуществлены двумя десятилетиями ранее, однако стали известны мировой экономической общественности позже результатов Хикса) использовал менее строгий с точки зрения теории полезности, но зато более эмпирически легкий и потому более прагматичный способ определения данного уровня реального дохода. Он предложил считать неизменным реальный доход в том случае, когда после изменения цен потребитель может купить тот же самый набор благ, что и до данного изменения. Поэтому при подходе Слуцкого промежуточная бюджетная линия должна проходить через точку, изображающую исходный оптимальный набор благ (рис. 6).

Рисунок 6

Таким образом, величины номинального денежного дохода, обеспечивающего данный уровень реального дохода, по Хиксу и по Слуцкому чаще всего не совпадают. Очевидно, что при методологии Слуцкого такая промежуточная бюджетная линия будет касаться чаще всего более высокой кривой безразличия, чем исходной кривой безразличия, что требуется при методологии Хикса. Поэтому, имея возможность купить тот же набор благ, что и до изменения цен, потребитель фактически окажется на более высоком уровне благосостояния, чем перед изменением цен. Это и определяет менее строгий подход к определению неизменного уровня реального дохода. [4]

ВАРИАНТ 5