56. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.

Для функции двух переменных вводится понятие предела функции непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек М(x,y) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству , называется-окрестностью точки. Другими словами,-окрестность точки- это все внутренние точки круга с центроми радиусом. Пусть функцияz=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой это точки. Число А называется пределом функцииz=f(x,y) при и, если для любогосуществуеттакое, что для всехии удовлетворяющих неравенствувыполняется неравенство. Записывают:или. Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к (число таких направлений бесконечно). Геометрический смысл предела функции: каково бы ни было число , найдется-окрестность точки, что во всех ее точках, отличных от, аппликаты соответствующих точек поверхностиz=f(x,y) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на .Непрерывность функции двух переменных. Функция z=f(x,y)(или f(M)) называется непрерывной в точке , если она: а)определена в этой точке и некоторой ее окрестности; б)имеет предел; в)этот предел равен значению функцииz в точке , т.е.или. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается, называются точками разрыва этой функции. Точки разрываz=f(x,y) могут образовывать целые линии разрыва. Так, функция имеет линию разрываy=x. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке , если выполняется равенство, т.е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументовx и y стремятся к нулю.

Частные производные нескольких переменных. Пусть задана функция z=f(x,y). Т.к. x и y – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной x приращение , сохраняя значениеy неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается . Итак,. Аналогично получаем частное приращениеz по y: . Полное приращениефункцииz определяется равенством . Если существует предел, то он называется частной производной функцииz=f(x,y) в точке M(x,y) по переменной x и обозначается . Частные производные поx в точке обычно обозначают символами.

57. Полный дифференциал. Производные высших порядков.

Пусть функция z=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки M(x,y). Составим полное приращение функции в точке М: . Функцияx=f(x,y) называется дифференцируемой в точке M(x,y), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде: , гдеипри,. Сумма первых двух слагаемых в равенстве представляет собой главную часть приращения функции. Главная часть приращение функцииz=f(x;y), линейная относительно и, называетсяполным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz: dz= A*+B*. ВыраженияA*иB*называют частными дифференциалами. Для независимых переменныхx и y полагают =dx и =dy. Поэтому равенство можно переписать в виде: dz=A*dx+B*dy.

Полный дифференциал функции называют также дифференциалом первого порядка. Пусть функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле .Найдем его:.

Отсюда:

. Символически это записывается так: . Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего порядка:. Получается, что: