- •2. Умножение матриц. Согласованные матрицы.
- •4. Теорема о разложении определителя. Теорема Лапласа.
- •5. Обратная матрица. Процедура ее нахождения.
- •6. Ранг матрицы. Способы нахождения.
- •7. Невырожденные системы слау. Способы решения.
- •8. Метод Гаусса. Произвольные слау. Теорема Кронекера-Капелли.
- •9. Однородные слау. Фундаментальная система решений.
- •10. Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами.
- •1. Умножение вектора на число:
- •2. Сумма двух векторов:
- •11. Коллинеарность и компланарность. Базис. Координаты.
- •12. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •14. Смешанное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •15. Прямая на плоскости.
- •19. Взаимное расположение прямых.
- •20. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •21. Эллипс.
- •22. Гипербола.
- •23. Парабола.
- •24. Эллипсоид.
- •25. Гиперболоид и конус.
- •26. Параболоид.
- •27. Цилиндрические поверхности.
- •30. Графики в полярной системе координат и параметрически заданных функций.
- •31. Действительные числа.
- •32. Множества и операции над ними.
- •33. Предел последовательности.
- •34. Теоремы о пределах последовательности.
- •35. Предел функции.
- •36. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •37. Односторонние пределы.
- •38. Сравнение бесконечно малых.
- •39. Теоремы о пределах.
- •40. Первый замечательный предел.
- •41. Второй замечательный предел.
- •42. Непрерывность функции в точке.
- •43. Классификация точек разрыва.
- •44. Теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность на отрезке. Равномерная непрерывность.
- •45. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •46. Дифференциал функции.
- •Свойства дифференциала.
- •47. Производная и дифференциал сложной функции.
- •48.Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование.
- •49. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная параметрически заданных функций.
- •51.Монотонность функции. Экстремум. Необходимые и достаточные условия.
- •56. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.
- •57. Полный дифференциал. Производные высших порядков.
- •58. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных.
- •59. Условный экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в области.
5. Обратная матрица. Процедура ее нахождения.
Пусть есть матрица А – невырожденная.
А-1, A-1*A=A*A-1=E, где E –единичная матрица. A-1 имеет те же размеры, что и A.
Алгоритм нахождения обратной матрицы:
вместо каждого элемента матрицы аij записываем его алгебраическое дополнение.
аijАij
А* - союзная матрица.
транспонируем полученную союзную матрицу. А*Т
делим каждый элемент союзной матрицы на определитель матрицы А.
, A-1 =A*Т
Теорема: (об аннулировании определителя): сумма произведений элементов некоторого ряда определителя на алгебраическое дополнение к элементам другого параллельного ряда всегда равна нулю.
6. Ранг матрицы. Способы нахождения.
Максимальное число линейно-зависимых строк матрицы A наз. рангом матрицы и обознач r(a). Наибольшее из порядков миноров данной матрицы отличных от 0 наз рангом матрицы.
Свойства:
1)при транспонировании rang=const.
2)если вычеркнуть нулевой ряд, то rang=const;
3)rang=cost, при элементарных преобразованиях.
3)для вычисл ранга с помощью элементар преобраз матрица A преобраз в матриц B, ранг которой легко находится.
4)ранг треуг матрицы=числу ненулевых элем, располож на глав. диагоналях.
Методы нахождения ранга матрицы:
метод окаймляющих миноров
метод элементарных преобразований
метод окаймляющих миноров:
метод окаймляющих миноров позволяет алгоритмизировать процесс нахождения ранг-матрицы и позволяет свести к минимуму количество вычисления миноров.
если в матрице все нулевые элементы, то ранг = 0
если есть хоть один ненулевой элемент => r(a)>0
теперь будем окаймлять минор М1, т.е. будем строить всевозможные миноры 2-ого порядка, ктр. содержат в себе i-тую строку и j-тый столбец, до тех пор, пока не найдем ненулевой минор 2-ого порядка.
М2 (i, i1, j.j1)
Дальше аналогично строим миноры 3-го порядка, окаймляющие М2 (минор), до тех пор, пока не получим минор, отличный от нуля.
Процесс будет продолжаться до одного из событий: 1. размер минора достигнет числа к.
на каком-то этапе все окаймленные миноры окажутся = 0.
В обоих случаях величина ранга-матрицы будет равна порядку большего отличного от нуля минора.
Метод элементарных преобразований: как известно, понятие треугольной матрицы определяется только для квадратных матриц. Для прямоугольных матриц аналогом является понятие трапецивидной матрицы.
Например: ранг = 2.
7. Невырожденные системы слау. Способы решения.
СЛАУ принято записывать в матричной форме, когда сами неизвестные не указываются, а указывается только матрица системы А и столбец свободных членов В.
Решение невырожденных СЛАУ методом Крамера:
Х=А-1*В
А-1=
X1=(A11b1 + A21b2 + …+An1bn)
Теорема: (Крамера): решение невырожденных уравнений АХ=В, можно записать так:
, Ак получается из А путем замены к-го столбца на столбец свободного члена В.