- •2. Умножение матриц. Согласованные матрицы.
- •4. Теорема о разложении определителя. Теорема Лапласа.
- •5. Обратная матрица. Процедура ее нахождения.
- •6. Ранг матрицы. Способы нахождения.
- •7. Невырожденные системы слау. Способы решения.
- •8. Метод Гаусса. Произвольные слау. Теорема Кронекера-Капелли.
- •9. Однородные слау. Фундаментальная система решений.
- •10. Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами.
- •1. Умножение вектора на число:
- •2. Сумма двух векторов:
- •11. Коллинеарность и компланарность. Базис. Координаты.
- •12. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •14. Смешанное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •15. Прямая на плоскости.
- •19. Взаимное расположение прямых.
- •20. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •21. Эллипс.
- •22. Гипербола.
- •23. Парабола.
- •24. Эллипсоид.
- •25. Гиперболоид и конус.
- •26. Параболоид.
- •27. Цилиндрические поверхности.
- •30. Графики в полярной системе координат и параметрически заданных функций.
- •31. Действительные числа.
- •32. Множества и операции над ними.
- •33. Предел последовательности.
- •34. Теоремы о пределах последовательности.
- •35. Предел функции.
- •36. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •37. Односторонние пределы.
- •38. Сравнение бесконечно малых.
- •39. Теоремы о пределах.
- •40. Первый замечательный предел.
- •41. Второй замечательный предел.
- •42. Непрерывность функции в точке.
- •43. Классификация точек разрыва.
- •44. Теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность на отрезке. Равномерная непрерывность.
- •45. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •46. Дифференциал функции.
- •Свойства дифференциала.
- •47. Производная и дифференциал сложной функции.
- •48.Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование.
- •49. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная параметрически заданных функций.
- •51.Монотонность функции. Экстремум. Необходимые и достаточные условия.
- •56. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.
- •57. Полный дифференциал. Производные высших порядков.
- •58. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных.
- •59. Условный экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в области.
14. Смешанное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
Смешанное произведение 3х векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятого со знаком + (-), если эти векторы образуют правую (левую) тройку.
Свойства:
1)смешанное произв не меняется при циклической перестановке его множителей.
(.
2)смешанное произв меняет знак при перемене мест любых букв любых сомножителей
3)смешанное произ ненулевых векторов =0 тога, когда они компланарны.
Смешанное произ векторов = определителю 3-его порядка, составленного из координат перемноженных векторов.
Приложение. 1)определение взаимных ориентаций векторов в пространстве: если >0 (<0), то правая (левая) тройка векторов
2)комплонарность векторов: компланарны, когда их произв =0.
3)Геометрический смысл: Vпараллелепипеда=.Vтр=1/6().
Вычисление: ,
15. Прямая на плоскости.
Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствует в прямоугольной система координат разные виды ее уравнений.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Пусть: tg=k, , тогда: y = kx + b.
Число tg=k называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение – уравнением прямой с угловым коэффициентом.
2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
Пусть прямая проходит через точку М(Хо,Уо) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом к.
Уравнение с различными значениями к называют также уравнениеми пучка прямых с центром в точке М(Хо,Уо).
3. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
, уравнение прямой, проходящей через две точки М1(х1, у1) и М2(х2,у2)
4. Уравнение прямой в отрезках.
Пусть прямая пересекает ось Ох в точке М1(а,0), а ось Оу – в точке М2(0, b)
В этом случае уравнение примет вид:
уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
- уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
5. нормальное уравнение прямой:
Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:
Расстояние от точки до прямой:
16. Плоскость в пространстве.
Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве можно задавать различными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.
1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору:
Точка Мо(Хо, Уо), вектор
2. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
3. Нормальное уравнение плоскости: .
4. Угол между двумя плоскостями:
5. расстояние от точки до плоскости:
6. Уравнение плоскости в отрезках.
17. Прямая в пространстве.
1. Канонические уравнения прямой линии в пространстве, или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, имеют вид:
.
где x0, y0, z0 - координаты точки, через которую проходит прямая, а m, n и p - направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой.
2. В параметрическом виде уравнения прямой линии в пространстве записываются так:
.
3. Общие уравнения прямой:
А1х +B1y + C1z + D1=0
A2x + B2y + C2z + D2=0
4. Векторное уравнение прямой:
5. уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки:
6. угол между прямыми:
18. взаимное расположение плоскостей.
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей: пусть заданы две плоскости Q1 и Q2:
А1х +B1y + C1z + D1=0
A2x + B2y + C2z + D2=0
Под углом между плоскостями понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
.
Если плоскости перпендикулярны, то таковы же их нормали, т.е. . Но тогда,т.е.
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0. Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей.
Если плоскости параллельны, то будут параллельны и их нормали. Но тогда, как известно, координаты векторов пропорциональны: . Это и естьусловие параллельности двух плоскостей.