3. Сопротивление цепи для переменного тока

Пусть по последовательно соединенным активному сопротивлению R, емкости C и индуктивности L (рис. 2) протекает одинаковый переменный ток, изменяющийся по закону:

I = I_m cos ωt ( 12 )

где I_m –амплитуда переменного тока, ω – циклическая частота. Из курса средней школы известно, что фаза напряжения, падающего на активном сопротивлении, совпадает с фазой тока:

U_R = U_Rm cos ωt (13)

где U_Rm - амплитуда напряжения на сопротивлении ( I_m= U_Rm /R ).

Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на /2:

U_c = U_cm cos (ωt – /2 ), (13)

где U_cm - амплитуда напряжения на конденсаторе, I_m = U_cm ω С = U_cm / Хс . Величину

, (14)

имеющую размерность сопротивления, называют емкостным сопротивлением. Как видно, Хс обратно пропорционально циклической частоте переменного тока ω и емкости С конденсатора.

Напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на /2 :

U_L = U_Lm cos (ωt + /2 ), (15)

где U_Lm - амплитуда тока напряжения на индуктивности, I_m = U_Lm /ω L = U_L / Х_L.. Величина

Х_L= ω L (16)

называется индуктивным сопротивлением. Это сопротивление прямо пропорционально частоте переменного тока ω и индуктивности L катушки.

Сдвиг по фазе между током и напряжением означает, что некоторую часть периода скорость упорядоченного движения носителей положительных зарядов направлена по направлению электрического поля, а в оставшуюся часть – против него. В случае, если мы имеем только емкость или только индуктивность, обе эти доли равны половине периода. Емкостное и индуктивное сопротивления называются реактивными, так как на них энергия электромагнитного поля не превращается в другие виды энергии. Половину периода в реактивных сопротивлениях происходит накопление энергии в виде энергии электрического поля емкости или магнитного поля индуктивности, а в последующую половину эта энергия возвращается источнику. В активных сопротивлениях энергия электромагнитного поля необратимым образом превращается в другие виды энергии (например, выделяется теплота или выполняется механическая работа).

Рассчитаем полное сопротивление цепи, представленной на рис. 2, для переменного тока.

~

Рис. 2

Величины U_Rm, U_Lm, U_cm представляют собой амплитуды напряжений на активном сопротивлении, индуктивности и емкости, изменяющихся по гармоническому закону. Как механическое, так и электрическое гармоническое колебание можно представить с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с некоторой фиксированной осью угол, равный начальной фазе данного колебания. Изобразим падения напряжения на элементах цепи на векторной диаграмме. Выберем некоторую произвольную ось I в качестве оси токов (рис. 3). Тогда напряжение на активном сопротивлении изобразится на этой диаграмме в виде вектора U_R, совпадающего по направлению с осью I. Модуль вектора равен U_Rm. Напряжение на индуктивности представимо в виде вектора U_L, направленного под углом 90⁰ против часовой стрелки относительно оси I, а напряжение на емкости – в виде вектора Uc, направленного под углом 90⁰ по часовой стрелке относительно оси I. Модули этих векторов равны соответственно U_Lm и U_cm.

Рис.3.

Из прямоугольного треугольника для модулей рассмотренных векторов имеем. ׀

Модуль вектора внешнего напряжения можно представить в виде:

U_m = I_m R_n

где R_n - полное сопротивление цепи или модуль импеданса. Тогда предыдущее равенство представимо в виде:

Следовательно,

(17 )

Полное сопротивление можно представить в таком виде:

, (18)

где R – активное сопротивление, X = X _L –X_C – реактивное сопротивление (реактанс).

Угол сдвига фаз между током и напряжением φ дается соотношением:

(19)

При расчете сложных цепей переменного тока удобно пользоваться так называемым символическим методом, который значительно упрощает расчеты.

Сущность символического метода заключается в том, что величины, которые характеризуют электрические цепи (ЭДС, токи, сопротивления и т.д.), представляются в виде комплексных чисел вида Z = x+iy, где i=

Комплексное число можно представить в виде вектора в системе координат, в которой действительную часть х комплексного числа откладывают по горизонтальной оси, а мнимую часть y - по вертикальной (рис.4).

Рис.4.

Длина этого вектора называется модулем комплексного числа z. Модуль комплексного числа дает амплитуду гармонического колебания, а аргумент - начальную фазу колебания.

Рассмотрим, чему равны комплексные сопротивления в различных частных случаях; Если участок цепи имеет только активное сопротивление R, то полное комплексное сопротивление (импеданс) z_r в этом случае не имеет вовсе мнимой части и равно активному сопротивлению участка z_r = r.

Если участок цепи содержит только индуктивность L, то . В данном случае сопротивление чисто мнимое и аргумент комплексного сопротивления равен /2. Если участок цепи содержит только конденсатор, то . Сопротивление конденсатора также является чисто мнимым и аргумент его равен ―/2. Существует следующее простое п р а в и л о для вычисления сопротивления цепей символическим методом: чтобы рассчитать сопротивление цепи для переменного тока, надо в этой цепи заменить каждую индуктивность L на ее комплексное сопротивление , каждую емкость С на комплексное сопротивление , а все активные сопротивления оставить без изменения. Затем с полученными комплексным сопротивлениями надо произвести те же операции, что и при вычислении сопротивления цепи для постоянного тока.

Для комплексных чисел справедлива формула Эйлера:

Тогда комплексное сопротивление (импеданс) можно представить в виде

(20)

где R_n – модуль импеданса или полное сопротивление, определяемый по формулам (17), (18), а величина угла сдвига фаз φ - по формуле (19). Формулу (20) можно переписать так:

Z = R + i(X_L-X_C) = R + iX