3. Сопротивление цепи для переменного тока

Пусть по последовательно соединенным активному сопротивлению R, емкости C и индуктивности L (рис. 2) протекает одинаковый переменный ток, изменяющийся по закону:

I = I_m cos ωt ( 12 )

где I_m –амплитуда переменного тока, ω – циклическая частота. Из курса средней школы известно, что фаза напряжения, падающего на активном сопротивлении, совпадает с фазой тока:

U_R = U_Rm cos ωt (13)

где U_Rm - амплитуда напряжения на сопротивлении ( I_m= U_Rm /R ).

Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на /2:

U_c = U_cm cos (ωt – /2 ), (13)

где U_cm - амплитуда напряжения на конденсаторе, I_m = U_cm ω С = U_cm / Хс . Величину

, (14)

имеющую размерность сопротивления, называют емкостным сопротивлением. Как видно, Хс обратно пропорционально циклической частоте переменного тока ω и емкости С конденсатора.

Напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на /2 :

U_L = U_Lm cos (ωt + /2 ), (15)

где U_Lm - амплитуда тока напряжения на индуктивности, I_m = U_Lm /ω L = U_L / Х_L.. Величина

Х_L= ω L (16)

называется индуктивным сопротивлением. Это сопротивление прямо пропорционально частоте переменного тока ω и индуктивности L катушки.

Сдвиг по фазе между током и напряжением означает, что некоторую часть периода скорость упорядоченного движения носителей положительных зарядов направлена по направлению электрического поля, а в оставшуюся часть – против него. В случае, если мы имеем только емкость или только индуктивность, обе эти доли равны половине периода. Емкостное и индуктивное сопротивления называются реактивными, так как на них энергия электромагнитного поля не превращается в другие виды энергии. Половину периода в реактивных сопротивлениях происходит накопление энергии в виде энергии электрического поля емкости или магнитного поля индуктивности, а в последующую половину эта энергия возвращается источнику. В активных сопротивлениях энергия электромагнитного поля необратимым образом превращается в другие виды энергии (например, выделяется теплота или выполняется механическая работа).

Рассчитаем полное сопротивление цепи, представленной на рис. 2, для переменного тока.

~

Рис. 2

Величины U_Rm, U_Lm, U_cmпредставляют собой амплитуды напряжений на активном сопротивлении, индуктивности и емкости, изменяющихся по гармоническому закону. Как механическое, так и электрическое гармоническое колебание можно представить с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с некоторой фиксированной осью угол, равный начальной фазе данного колебания. Изобразим падения напряжения на элементах цепи на векторной диаграмме. Выберем некоторую произвольную осьIв качестве оси токов (рис. 3). Тогда напряжение на активном сопротивлении изобразится на этой диаграмме в виде вектораU_R, совпадающего по направлению с осьюI.Модуль вектора равенU_Rm. Напряжение на индуктивности представимо в виде вектора U_L, направленного под углом 90⁰против часовой стрелки относительно осиI, а напряжение на емкости – в виде вектора Uc, направленного под углом 90⁰по часовой стрелке относительно осиI. Модули этих векторов равны соответственно U_Lmи U_cm.

Рис.3.

Из прямоугольного треугольника для модулей рассмотренных векторов имеем. ׀

Модуль вектора внешнего напряжения можно представить в виде:

U_m = I_m R_n

где R_n - полное сопротивление цепи или модуль импеданса. Тогда предыдущее равенство представимо в виде:

Следовательно,

(17 )

Полное сопротивление можно представить в таком виде:

, (18)

где R – активное сопротивление, X = X _L –X_C – реактивное сопротивление (реактанс).

Угол сдвига фаз между током и напряжением φ дается соотношением:

(19)

При расчете сложных цепей переменного тока удобно пользоваться так называемым символическим методом, который значительно упрощает расчеты.

Сущность символического метода заключается в том, что величины, которые характеризуют электрические цепи (ЭДС, токи, сопротивления и т.д.), представляются в виде комплексных чисел вида Z = x+iy, где i=

Комплексное число можно представить в виде вектора в системе координат, в которой действительную часть хкомплексного числа откладывают по горизонтальной оси, а мнимую частьy- по вертикальной (рис.4).

Рис.4.

Длина этого вектора называется модулем комплексного числа z. Модуль комплексного числа дает амплитуду гармонического колебания, а аргумент - начальную фазу колебания.

Рассмотрим, чему равны комплексные сопротивления в различных частных случаях; Если участок цепи имеет только активное сопротивление R, то полное комплексное сопротивление (импеданс)z_r в этом случае не имеет вовсе мнимой части и равно активному сопротивлению участкаz_r = r.

Если участок цепи содержит только индуктивность L, то . В данном случае сопротивление чисто мнимое и аргумент комплексного сопротивления равен/2. Если участок цепи содержит только конденсатор, то . Сопротивление конденсатора также является чисто мнимым и аргумент его равен―/2. Существует следующее простое п р а в и л о для вычисления сопротивления цепей символическим методом: чтобы рассчитать сопротивление цепи для переменного тока, надо в этой цепи заменить каждую индуктивность L на ее комплексное сопротивление , каждую емкость С на комплексное сопротивление , а все активные сопротивления оставить без изменения. Затем с полученными комплексным сопротивлениями надо произвести те же операции, что и при вычислении сопротивления цепи для постоянного тока.

Для комплексных чисел справедлива формула Эйлера:

Тогда комплексное сопротивление (импеданс) можно представить в виде

(20)

где R_n – модуль импеданса или полное сопротивление, определяемый по формулам (17), (18), а величина угла сдвига фаз φ - по формуле (19). Формулу (20) можно переписать так:

Z = R + i(X_L-X_C) = R + iX