83.)Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний.

Представим материальную точку массой m, закрепленную на пружине жесткости к и расположенную на абсолютно гладкой горизонтальной поверхности (см. рис. 1). Если растянуть пружину на расстояние х, то со стороны пружины на эту точку действует упругая сила Fy , пропорциональная смещению х по закону Гука:

Fy = - кх.

Знак “минус” указывает на противоположность направлений смещения и действия силы упругости. Чтобы установить характер движения, т.е. зависимость х = f(t), запишем для этого случая дифференциальное уравнение, считая, что в рассматриваемой системе движение определяется только наличием силы упругости:

Разделим левую и правую части уравнения на m и обозначим отношение положительных величин k и m через w02

Решение дифференциального уравнения (2) имеет вид: х = А0 sin (w0 t + j0 ) показывает, что при наличии в системе лишь силы упругости движение совершается по гармоническому закону. Величина , представляет собой циклическую частоту колебаний, А0 - амплитуду, j0 - начальную фазу, (w0 t + j ) - фазу колебаний. Период колебаний , а частота n = 1/ Т.

84.)Гармонический осциллятор.

Гармонический осциллятор (в классической механике) — система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x (согласно закону Гука):где k — коэффициент жёсткости системы.

Если F — единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором. Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.

Если имеется ещё и сила трения (затухание), пропорциональная скорости движения (вязкое трение), то такую систему называют затухающим или диссипативным осциллятором. Если трение не слишком велико, то система совершает почти периодическое движение — синусоидальные колебания с постоянной частотой и экспоненциально убывающей амплитудой. Частота свободных колебаний затухающего осциллятора оказывается несколько ниже, чем у аналогичного осциллятора без трения. Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами отклонения), груз на пружине, торсионный маятник и акустические системы.

85.)Энергия гармонического осциллятора.

Во время колебательных процессов происходит периодическое превращение потенциальной энергии системы в кинетическую. Например, отклонив математический маятник в сторону и, следовательно, подняв его на высоту h, ему сообщают потенциальную энергию. Она полностью переходит в кинетическую энергию движения, когда груз проходит положение равновесия и скорость его максимальна. При колебаниях пружинного маятника кинетическая энергия движения груза переходит в потенциальную энергию деформированной системы. Величина полной энергии колеблющейся системы в любой момент времени равна сумме ее кинетической и потенциальной энергии:

Поскольку скорость – это первая производная от координаты по времени, то

Учитывая, что и подставив выражения дляx и v , получим:

То есть полная энергия системы, совершающей колебания, пропорциональна ее массе, квадрату амплитуды и квадрату собственной частоты. Так как силы, действующие на колеблющуюся частицу, являются консервативными, то ее механическая энергия остается постоянной. В процессе же колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.