3.3. Помехоустойчивые оценки

МНК-оценки совпадают с оценками, полученными по методу максимального правдоподобия, и являются эффективными, если погрешности наблюдений подчиняются нормальному распределению и не содержат выбросов. Такая модель погрешностей не соответствует действительности. На практике ряды наблюдений содержат от 1 до 10 процентов "аномальных" измерений, т.е. выбросов. Поскольку выбросы существенно превосходят по абсолютному значению нормальные наблюдения, МНК-оценки параметров могут значительно отличаться от их "истинного" значения. Простейшим приемом для устранения влияния выбросов является визуальный просмотр данных, представленных в виде таблиц или графиков, и удаления очевидных "аномальных" данных. Такая операция называется "предварительным редактированием" данных и, как правило, дает хороший результат.

Редактирование не всегда возможно, например, при большом количестве числа наблюдений или в автоматических системах. Поэтому был разработан класс оценок, устойчивых по отношению к выбросам. Простейшей из таких оценок является медиана выборки, которая применяется при оценивании параметра сдвига, или математического ожидания случайной величины.

Медианой называется значение случайной величины х, при котором функция распределения . Если выборку упорядочить по возрастанию, то медиана будет равна значению серединного элемента выборки. Медиана совпадает с максимально правдоподобной оценкой, если плотность вероятности случайной величины подчиняется распределению Лапласа

В этом случае логарифмическая функция правдоподобия имеет вид

(12)

Решение уравнения (12) дает медиану выборки. Так как при этом параметр  минимизирует сумму модулей, то медиана является оценкой, полученной методом наименьших модулей. Помехоустойчивость медианы по отношению к выбросам очевидна, поскольку последние сосредоточены на краях выборки и не могут существенно повлиять на оценку математического ожидания. В то же время эффективность оценок наименьших модулей в отсутствии выбросов хуже, чем у МНК-оценок, так как в качестве оценки математического ожидания берется результат только одного измерения – медиана, и никакого усреднения погрешностей не происходит. Робастные оценки (от английского robust – крепкий, здоровый), являясь помехоустойчивыми, в то же время не слишком проигрывают в эффективности МНК-оценкам, если погрешности измерений подчиняются нормальному распределению и не содержат выбросов. К таким оценкам относятся: оценки математического ожидания (-усеченные оценки и -винзорированных средние) и S-оценка параметра масштаба.

-усеченное среднее С_t(, n) равно

,

где  —доля отброшенных измерений;

n — объем выборки;

[n] — операция выделения целой части числа n.

-винзорированное среднее вычисляется по формуле

.

Таким образом, -усеченное среднее находится как среднее значение упорядоченной по возрастанию выборки, в которой отброшены 100%-α крайних точек "снизу" и столько же "сверху" выборки.

При нахождении винзорированных средних крайние точки не отбрасываются, а "проектируются" в ближайшие точки оставшейся выборки, то есть все 100% точек полагаются равными ближайшей неотброшенной точке.

S-оценка параметра масштаба равна

,

где medx_i — оператор нахождения медианы.

Оценка (5) находится следующим образом:

1) находится медиана выборки medx_i;

2) находятся модули отклонения членов выборки от медианы |x_i-medxl;

3) находится медиана ряда, полученного в пункте 2);

4. результат делится на нормирующий множитель 0,6745.

Необходимость деления на нормирующий множитель вызвана тем, чтобы при нормальном распределении погрешностей S-оценка совпадала с оценкой среднего квадратичного отклонения (СКО).