3.1. Генерация случайных чисел, имитирующих погрешность измерений

Наблюдением называется регистрация различных фактов искусственного или естественного происхождения. Наблюдения подразделяются на количественные и качественные. Количественные наблюдения разделяются на измерения и подсчет.

Измерения — средства регистрации физических явлений и величин непрерывного типа. В отличие от подсчета, измерение состоит в сравнении измеряемой величины с эталоном [1]. Измерения делятся на прямые и косвенные. При прямых измерениях непосредственно измеряется интересующая нас величина , при косвенных — некоторая функция интересующих нас величин F(₁,₂,...,_n).

Из-за различных неточностей процесса измерений результат измерений отличается в общем случае от искомого точного значения. Отклонения отдельных измеренных значений от математического ожидания, которое можно трактовать как предел среднего значения при стремлении числа измерений n к бесконечности (если соблюдены одинаковые условия их проведения), называются случайными погрешностями измерений. Погрешности, появляющиеся из-за постоянно воздействующих факторов, представляют собой систематические погрешности [2]. Уменьшить влияние случайных погрешностей можно увеличивая число измерений. Чтобы учесть систематические погрешности, нужно свести их к случайным: использовать другой прибор, метод измерения и т.д. В таком случае при обработке результатов измерений можно воспользоваться статистическими методами.

Так как погрешности измерений обусловлены, как правило, действием множества случайных факторов, то в силу центральной предельной теоремы закон их распределения стремится к нормальному [3].

При отсутствии систематической погрешности математическое ожидание погрешности измерений равно нулю. Для генерации нормально распределенных случайных чисел, имеющих математическое ожидание rn[x] и дисперсию ²[х], можно воспользоваться следующим выражением [4]:

Y = n^-1/2∑(x_k - m_x) , (8)

где х_k — случайные числа с одинаковыми математическими ожиданиями – m_x и дисперсиями ².

Случайные величины X, равномерно распределенные в интервале [0, 1], можно получить с помощью встроенных функций (в среде "Турбо-Паскаль" – процедура Random).

Поскольку m_x = 0.5, D[x] = , то для генерации нормально распределенных случайных чисел Yi с нулевым математическим ожиданием (m_x = 0) и единичной дисперсией (D[x] = 1) можно использовать выражение (9)

(9)

Нормально распределенное число с математическим ожиданием m_x и дисперсией D[x] = получается по формуле (10)

, (10)

где σ_х – среднеквадратичное отклонение.

В системе Mathcad генерация нормально распределенных случайных чисел осуществляется с помощью встроенной программы rnorm:

_.

Первый параметр – 40 – задает число чисел, второй параметр – 0 - математическое ожидание, третий параметр – СКО.

3.2. Моделирование "погрешностей" измерений при наличии "выбросов".

Выбросом или аномальным измерением называется измерение, которое по абсолютной величине значительно превосходит остальные и отличается от среднего значения на три, четыре и более стандартные отклонения. Выброс означает экспериментальную точку, которая не типична по отношению к остальным данным и требует тщательного исследования с целью выяснения причин ее появления [5].

Причины появления выбросов различны: сбои измерительной и регистрирующей аппаратуры, ошибки операторов при ручном вводе данных и т.д. В настоящее время общепризнанным фактом считается утверждение, что 1-5% аномальных значений в общей массе данных — это скорее правило, а не исключение. Реальные ряды погрешностей измерений достаточно хорошо описываются распределениями с "тяжелыми хвостами" или –загрязненными распределениями. Такие распределения интерпретируются следующим образом.

Пусть измерительное устройство с вероятностью (1-) работает в "основном" режиме, при котором погрешность имеет распределение Po(Z) с дисперсией и нулевым математическим ожиданиемm_x = 0. С малой вероятностью –устройство работает в режиме "сбоев", при котором погрешность распределена по закону H(Z) с дисперсией . Тогда общее распределение погрешностей измерений имеет вид (11)

P(Z) = (1-ε)P₀(Z) + H(Z). (11)

При этом дисперсия выборочного среднего равна

,

где n – число измерений,

а дисперсия случайного числа определяется формулой

При ₀=1, =0.1, ₁=3 имеем ²=1.8, а при ₁=5, ²=3.4. Таким образом, дисперсия выборочного среднего быстро растет с увеличением.

–