Теорема об изменении количества движения системы

Теорема об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему:

. (163)

В проекциях на прямоугольные декартовы оси координат

, ,. (163')

т. е. производная по времени от проекции количества движения системы на какую-либо координатную ось равна сумме проекций всех внешних сил системы на ту же ось.

Теорема импульсов для системы в дифференциальной форме: дифференциал количества движения системы равен векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на систему.

. (164)

В проекциях на координатные оси эта теорема примет вид:

, ,. (164')

Теорема импульсов для системы в конечной или интегральной форме: изменение количества движения системы за какое-либо время равно векторной сумме всех импульсов внешних сил, действующих на систему за то же время.

, (165)

где – количество движения системы в момент;– количество движения в момент;– импульс внешней силы, действующей на-ю точку за время;.

В проекциях на прямоугольные оси имеем:

, ,. (165')

Внутренние силы системы не входят явно в теорему об изменении количества движения системы в любой из форм и, следовательно, не влияют непосредственно на изменение количества движения системы. Они могут влиять на изменение количества движения только неявно через внешние силы.

Законы сохранения количества движения

Законы сохранения количества движения системы получаются как частные случаи теоремы об изменении количества движения для системы в зависимости от особенностей системы внешних сил, приложенных к рассматриваемой механической системе, а для одной точки – от особенностей сил, действующих на точку. Внутренние силы при этом могут быть любыми, так как они явно не влияют на изменение количества движения системы.

Возможны два частных случая:

1. Если векторная сумма всех внешних сил, приложенных к системе, равна нулю, т. е. , то из теоремы об изменении количества движения системы, например в форме (68), следует, что

. (166)

Этот закон (точнее, частный случай теоремы) формулируется так: если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то количество движения системы постоянно по величине и направлению. В проекциях на координатные оси, по этому закону,

, ,. (166')

где – постоянные величины.

2. Если равна нулю проекция главного вектора внешних сил на какую-либо координатную ось , т.е., то из (163') имеем

. (167)

Выражение (167) является законом сохранения проекции количества движения системы: если проекция главного вектора всех внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения на ту же ось является постоянной величиной.

3.4.3. Теорема об изменении кинетического момента

Для материальной точки массой 1, движущейся со скоростью ,кинетическим моментом относительно какого-либо центраназывают момент количества движения точки относительно этого центра, т. е.

. (168)

Кинетический момент приложен к точке, относительно которой он вычисляется.

Проецируя обе части (168) на прямоугольные декартовы оси, получаем кинетические моменты точки относительно этих осей координат, если точка является началом осей координат:

(168')

Для механической системы кинетическим моментом (или главным моментом количества движения системы относительно какой-либо точки) называют векторную сумму кинетических моментов точек этой системы, взятых относительно точки, т. е.

. (169)

Кинетический момент системы приложен к точке, относительно которой он вычисляется.

Если спроецировать (168) на прямоугольные декартовы оси координат, то получим проекции кинетического момента на эти оси, или кинетические моменты относительно осей координат:

Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения, когда тело вращается вокруг этой неподвижной оси с угловой скоростьюравен:

. (170)

Таким образом, кинетический момент тела относительно оси вращения при вращательном движении равен произведению угловой скорости тела на его момент инерции относительно оси вращения. Знак кинетического момента относительно оси совпадает со знаком угловой скорости вращения вокруг этой оси: при вращении против часовой стрелки кинетический момент положительный; при вращении по часовой стрелке – отрицательный.

Формулы для кинетических моментов относительно двух других осей координат иперпендикулярных оси вращения:

, ,

где ,– центробежные моменты инерции.