- •Лекция № 1 Введение
- •1. Статика
- •1.1. Основные понятия статики
- •1.1.1. Момент силы Алгебраический момент силы относительно точки
- •Векторный момент силы относительно точки
- •Момент силы относительно оси
- •1.1.2. Пара сил Пара сил и алгебраический момент пары сил
- •1.2. Аксиомы статики
- •Лекция № 2
- •1.3. Простейшие теоремы статики
- •1.4. Приведение системы сил к простейшей системе. Условия равновесия
- •Равновесие пар сил
- •Условия равновесия произвольной системы сил в векторной форме
- •Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме
- •Условия равновесия пространственной системы сходящихся сил
- •Условия равновесия пространственной системы параллельных сил
- •Условия равновесия плоской системы сил
- •1.5. Центр тяжести твердого тела Центр параллельных сил
- •Способы нахождения центра тяжести
- •1.6. Распределенные силы
- •1.7. Трение Трение скольжения
- •Трение качения
- •1.8. Решение задач статики
- •Лекция № 3
- •2. Кинематика
- •2.1. Кинематика точки
- •2.1.1. Скорость и ускорение точки
- •2.1.2. Векторный способ задания движения точки
- •2.1.3. Координатный способ задания движения точки
- •2.1.4. Естественный способ задания движения точки
- •Частные случаи движения точки
- •Лекция № 4
- •2.2. Кинематика твердого тела
- •2.2.1. Поступательное движение твердого тела
- •2.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Частные случаи вращения твердого тела
- •Скорости и ускорения точек тела при вращении вокруг неподвижной оси
- •Векторы угловой скорости и углового ускорения
- •Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела
- •2.3. Сложное движение точки
- •Ускорение Кориолиса
- •Лекция № 5
- •2.4. Плоское (плоскопараллельное) движение твердого тела
- •2.4.1. Скорости точек плоской фигуры
- •2.4.2. Мгновенный центр скоростей
- •2.4.3. Ускорения точек плоской фигуры
- •2.4.4. Мгновенный центр ускорений
- •2.5. Решение задач кинематики
- •Лекция № 6
- •3. Динамика
- •3.1. Аксиомы динамики
- •3.2. Динамика материальной точки
- •3.2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •3.2.2. Две основные задачи динамики точки
- •Первая задача
- •Вторая задача
- •3.2.3. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
- •3.3. Геометрия масс
- •3.3.1. Центр масс
- •3.3.2. Моменты инерции Моменты инерции относительно точки и оси
- •Моменты инерции относительно осей координат
- •3.3.3. Теорема Штейнера
- •3.3.4. Моменты инерции однородных тел
- •3.4.1. Теорема о движении центра масс
- •3.4.2. Теорема об изменении количества движения Количество движения точки и системы
- •Теорема об изменении количества движения точки
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Законы сохранения количества движения
- •3.4.3. Теорема об изменении кинетического момента
- •Теорема об изменении кинетического момента точки
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Законы сохранения кинетических моментов
- •Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс
- •Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
- •Лекция № 8
- •3.4.4. Теорема об изменении кинетической энергии Работа силы
- •Примеры вычисления работы силы
- •Кинетическая энергия
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •3.5. Принцип Даламбера Принцип Даламбера для материальной точки
- •Принцип Даламбера для системы материальных точек
- •Силы инерции твердого тела в частных случаях его движения
- •Лекция № 9
- •3.6. Элементы аналитической механики
- •3.6.1. Классификация механических связей
- •3.6.2. Возможные перемещения
- •3.6.3. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи
- •3.6.4. Принцип возможных перемещений
- •3.6.5. Обобщенные координаты системы
- •3.6.6. Обобщенные силы
- •Вычисление обобщенной силы
- •Условия равновесия системы сил в терминах обобщенных сил
- •3.6.7. Общее уравнение динамики
- •Лекция № 10
- •3.6.8. Уравнения Лагранжа второго рода
- •3.7. Решение задач динамики
- •Контрольные Вопросы
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление Лекция № 1
- •Лекция № 3
- •Лекция № 4
- •Лекция № 5
- •Лекция № 6
- •Лекция № 7
3.4.1. Теорема о движении центра масс
Центр масс системы движется так же, как и материальная точка, масса которой равна массе всей системы, если на точку действуют все внешние силы, приложенные к механической системе:
, или , (155)
где – масса системы,– ускорение центра масс,– скорость центра масс.
Проецируя (155) на прямоугольные декартовы оси координат, получаем дифференциальные уравнения движения центра масс:
, ,. (155')
где – координаты центра масс.
Из теоремы о движении центра масс системы получаются дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела: при поступательном движении твердого тела ускорения всех точек тела одинаковы по модулю и направлению, т.е. , где– ускорение произвольной точки тела. Учитывая это, из теоремы о движении центра масс получаем следующее дифференциальное уравнение поступательного движения тела в векторной форме:
.
Проецируя на оси координат, имеем:
, ,.
Это дифференциальные уравнение поступательного движения тела в проекциях на прямоугольные оси координат. В этих уравнениях являются координатами произвольной точки тела. Тело, совершающее поступательное движение, имеет три степени свободы, поэтому можно составить три дифференциальных уравнения его движения.
3.4.2. Теорема об изменении количества движения Количество движения точки и системы
Количеством движения материальной точки называют вектор, равный произведению массы точки на ее скорость, т. е.
. (156)
Количество движения точки в физике часто называют импульсом материальной точки.
Проекции количества движения точки на прямоугольные декартовы оси координат:
, ,. (156')
Количеством движения системы называют векторную сумму количеств движений отдельных точек систем, т. е.
, (157)
и, следовательно, проекции количества движения системы на прямоугольные декартовы оси координат
, ,. (157')
Вектор количества движения системы в отличие от вектора количества движения точкине имеет точки приложения. Вектор количества движения точки считается приложенным в самой движущейся материальной точке, а векторявляется свободным вектором.
Количество движения системы можно выразить через массу системы и скорость центра масс:
. (158)
В проекциях на прямоугольные декартовы оси соответственно
,
,
. (158')
Действие силы на материальную точку в течение времениможно охарактеризовать так называемымэлементарным импульсом силы .Полный импульс силы за время, или импульс силы, определяют по формуле
. (159)
Проекции импульса силы на прямоугольные оси координат выражаются формулами
, ,. (159')
Теорема об изменении количества движения точки
Теорема об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: первая производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе:
, (160)
в проекциях на координатные оси:
, ,. (160')
Теорема импульсов в дифференциальной форме: дифференциал от количества движения точки решен элементарному импульсу силы, действующей на точку.
, (161)
в проекциях на координатные оси:
, ,. (161')
Теорема импульсов в конечной (или интегральной) форме: изменение количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы за тот же промежуток времени:
, (162)
где – скорость точки в момент;– скорость при;– импульс силы за время.
В проекциях на координатные оси эту теорему можно представить в следующем виде:
, ,. (162')