2.4.1. Скорости точек плоской фигуры

Применяя к плоскому движению теорему о сложении скоростей для какой-либо точки фигуры, получаем

, (85)

где – абсолютная скорость точкиплоской фигуры относительно системы координат, по отношению к которой рассматривается движение фигуры;– скорость точкиот переносного поступательного движения фигуры вместе, например, с точкойэтой фигуры (рис. 36, а);– скорость точкив относительном движении, которым является вращение плоской фигуры вокруг точкис угловой скоростью.

а) б)

Рис. 36

Так как за переносное движение выбрано поступательное движение вместе с точкой , то все точки плоской фигуры имеют одинаковые переносные скорости, совпадающие с абсолютной скоростью точки, т. е.

.

Скорость относительного движения, в случае, когда оно является вращательным движением, равна

.

Скорость , расположена в плоскости движущейся фигуры и направлена перпендикулярно отрезку, соединяющему точкус полюсом. Эту относительную скорость можно выразить в виде векторного произведения:

,

где угловая скорость считается направленной по подвижной оси вращения, проходящей через точкуи перпендикулярной плоскости фигуры. Относительную скоростьобозначим. Это обозначение показывает, что скорость относительного движения точкиполучается от вращения плоской фигуры вокруг подвижной оси, проходящей через точку, или просто вокруг точки. Формулу (85) можно выразить в виде

, (86)

где

, (87)

а вектор перпендикулярен отрезкуи направлен в сторону вращения плоской фигуры (рис. 38, а). Используя (86), можно построить в выбранном масштабе треугольник скоростей для точки(рис. 36, б).

2.4.2. Мгновенный центр скоростей

В каждый момент времени при плоском движении фигуры в ее плоскости, если , имеется единственная точка этой фигуры, скорость которой равна нулю. Эту точку называют мгновенным центром скоростей (МЦС). Обозначим ее (рис. 37).

Мгновенный центр скоростей находится на перпендикуляре к скорости, проведенном из точки, на расстоянии.

М

Рис. 37

гновенный центр скоростей является единственной точкой плоской фигуры для данного момента времени. В другой момент времени мгновенным центром является уже другая точка плоской фигуры.

Если мгновенный центр известен, то, приняв его за полюс и учитывая, что скорость его в этом случае равна нулю, согласно (86) и (87), для точки фигуры имеем

, , (88)

где – расстояние от точкидо мгновенного центра скоростей.

По направлению скорость в этом случае перпендикулярна отрезку. Для точки, аналогично,

, (89)

причем скорость перпендикулярна отрезку. Получаем:

, (90)

, (91)

Следовательно, если мгновенный центр скоростей известен, то скорости точек плоской фигуры при ее движении в своей плоскости вычисляют так же, как и в случае вращения фигуры в рассматриваемый момент вокруг своего мгновенного центра скоростей с угловой скоростью .

Для нахождения скоростей точек тела при его плоском движении обычно предварительно находят мгновенный центр скоростей. Но можно применить формулу, выражающую зависимость между скоростями двух точек тела.

2.4.3. Ускорения точек плоской фигуры

Рассматривая плоское движение плоской фигуры как сложное, состоящее из переносного поступательного вместе с полюсом и относительного вращательного вокруг, по теореме о сложении ускорений для точкиимеем

. (92)

Так как переносное движение является поступательным вместе с точкой фигуры, то переносное ускорение

Относительное ускорение точкиот вращения вокруг полюсаобозначим. После этого формула (92) принимает вид

. (93)

т. е. ускорение какой-либо точки плоской фигуры при плоском движении равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения этой точки от вращательного движения плоской фигуры вокруг полюса.

Ускорение от относительного вращательного движения вокруг полюса, как и в случае вращения тела вокруг неподвижной оси, состоит из касательной и нормальной составляющих и:

, (94)

причем

, (95)

, (96)

. (97)

Касательное относительное ускорение направлено по перпендикуляру к отрезкув сторону дуговой стрелки углового ускорения(рис. 38,а). Нормальное относительное ускорениесоответственно направлено по линииот точкик полюсу. Наконец, полное относительное ускорениесоставляет с отрезкомугол, тангенс которого можно определить по формуле

. (98)

а) б)

Рис. 38

Из формулы (98) следует, что угол для всех точек плоской фигуры одинаков. Приуголот ускоренияк отрезкунадо откладывать против часовой стрелки. Приего надо откладывать по часовой стрелке, т. е. во всех случаях, независимо от направления вращения фигуры, уголвсегда надо откладывать в направлении дуговой стрелки углового ускорения. В соответствии с (93) и (94) можно построить в выбранном масштабе многоугольник ускорений для точки(рис. 38,б).

.