
- •Лекция № 1 Введение
- •1. Статика
- •1.1. Основные понятия статики
- •1.1.1. Момент силы Алгебраический момент силы относительно точки
- •Векторный момент силы относительно точки
- •Момент силы относительно оси
- •1.1.2. Пара сил Пара сил и алгебраический момент пары сил
- •1.2. Аксиомы статики
- •Лекция № 2
- •1.3. Простейшие теоремы статики
- •1.4. Приведение системы сил к простейшей системе. Условия равновесия
- •Равновесие пар сил
- •Условия равновесия произвольной системы сил в векторной форме
- •Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме
- •Условия равновесия пространственной системы сходящихся сил
- •Условия равновесия пространственной системы параллельных сил
- •Условия равновесия плоской системы сил
- •1.5. Центр тяжести твердого тела Центр параллельных сил
- •Способы нахождения центра тяжести
- •1.6. Распределенные силы
- •1.7. Трение Трение скольжения
- •Трение качения
- •1.8. Решение задач статики
- •Лекция № 3
- •2. Кинематика
- •2.1. Кинематика точки
- •2.1.1. Скорость и ускорение точки
- •2.1.2. Векторный способ задания движения точки
- •2.1.3. Координатный способ задания движения точки
- •2.1.4. Естественный способ задания движения точки
- •Частные случаи движения точки
- •Лекция № 4
- •2.2. Кинематика твердого тела
- •2.2.1. Поступательное движение твердого тела
- •2.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Частные случаи вращения твердого тела
- •Скорости и ускорения точек тела при вращении вокруг неподвижной оси
- •Векторы угловой скорости и углового ускорения
- •Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела
- •2.3. Сложное движение точки
- •Ускорение Кориолиса
- •Лекция № 5
- •2.4. Плоское (плоскопараллельное) движение твердого тела
- •2.4.1. Скорости точек плоской фигуры
- •2.4.2. Мгновенный центр скоростей
- •2.4.3. Ускорения точек плоской фигуры
- •2.4.4. Мгновенный центр ускорений
- •2.5. Решение задач кинематики
- •Лекция № 6
- •3. Динамика
- •3.1. Аксиомы динамики
- •3.2. Динамика материальной точки
- •3.2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •3.2.2. Две основные задачи динамики точки
- •Первая задача
- •Вторая задача
- •3.2.3. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
- •3.3. Геометрия масс
- •3.3.1. Центр масс
- •3.3.2. Моменты инерции Моменты инерции относительно точки и оси
- •Моменты инерции относительно осей координат
- •3.3.3. Теорема Штейнера
- •3.3.4. Моменты инерции однородных тел
- •3.4.1. Теорема о движении центра масс
- •3.4.2. Теорема об изменении количества движения Количество движения точки и системы
- •Теорема об изменении количества движения точки
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Законы сохранения количества движения
- •3.4.3. Теорема об изменении кинетического момента
- •Теорема об изменении кинетического момента точки
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Законы сохранения кинетических моментов
- •Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс
- •Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
- •Лекция № 8
- •3.4.4. Теорема об изменении кинетической энергии Работа силы
- •Примеры вычисления работы силы
- •Кинетическая энергия
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •3.5. Принцип Даламбера Принцип Даламбера для материальной точки
- •Принцип Даламбера для системы материальных точек
- •Силы инерции твердого тела в частных случаях его движения
- •Лекция № 9
- •3.6. Элементы аналитической механики
- •3.6.1. Классификация механических связей
- •3.6.2. Возможные перемещения
- •3.6.3. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи
- •3.6.4. Принцип возможных перемещений
- •3.6.5. Обобщенные координаты системы
- •3.6.6. Обобщенные силы
- •Вычисление обобщенной силы
- •Условия равновесия системы сил в терминах обобщенных сил
- •3.6.7. Общее уравнение динамики
- •Лекция № 10
- •3.6.8. Уравнения Лагранжа второго рода
- •3.7. Решение задач динамики
- •Контрольные Вопросы
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление Лекция № 1
- •Лекция № 3
- •Лекция № 4
- •Лекция № 5
- •Лекция № 6
- •Лекция № 7
2.1.3. Координатный способ задания движения точки
Движение точки в декартовых координатах считается заданным, если известны координаты точки как непрерывные, дважды дифференцируемые функции времени (рис. 24), т. е. заданы уравнения движения точки в декартовых координатах:
,
,
. (50)
Уравнения движения точки в декартовых координатах полностью определяют движение точки. Они позволяют найти положение точки, ее скорость и ускорение в любой момент времени.
Разложим радиус-вектор и скорость точки на составляющие, параллельные осям координат. Получим
,
, (51)
где
– координаты точки
;
– единичные векторы осей координат;
– проекции скорости на оси координат.
Учитывая (51), согласно определению скорости, имеем:
, (52)
Сравнивая (52) и (51), получаем для проекций скорости на декартовы оси координат следующие формулы:
,
,
. (53)
Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки. По проекциям определяют числовое значение (модуль) скорости и косинусы углов вектора скорости с осями координат:
(54)
Разложим ускорение точки на составляющие, параллельные осям декартовой системы координат. Получим
, (55)
где
– проекции ускорения на координатные
оси. Согласно определению ускорения и
формулам (52) и (51), имеем
.
(56)
Формулы для проекций ускорения на оси декартовой системы координат:
,
,
.
(57)
Проекция ускорения на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты движущейся точки.
Числовое значение ускорения и косинусы углов вектора ускорения с осями координат определяем по формулам
. (58)
Касательная и нормальная составляющие ускорения вычисляются по формулам:
,
. (59)
При
движение точки ускоренное, при
– замедленное.
2.1.4. Естественный способ задания движения точки
П
Рис. 25тсчета.
Для задания закона
движения точки по траектории необходимо
выбрать на траектории точку
,
принимаемую за начало отсчета расстояний
(рис. 25). Расстояния в одну сторону от
точки
по траектории считаются положительными
(например, вправо), в другую – отрицательными.
Кроме того, следует задать начало отсчета
времени. Обычно за
принимают момент времени, в который
движущаяся точка проходит через точку
,
или момент начала движения. Время до
этого события считается отрицательным,
а после него – положительным.
Если в момент
времени
движущаяся точка занимает положение
,
то закон движения точки по траектории
задается зависимостью от времени
расстояния
,
отсчитываемого от точки
до точки
,
т. е.
.
Эта функция должна быть непрерывной и
дважды дифференцируемой.
При естественном способе задания движения используется понятие естественных осей координат. Сначала в точке строится соприкасающаяся окружность, которая наиболее плотно смыкается с траекторией из всех возможных. Ее центр называют центром кривизны траектории. Плоскость, в которой лежит соприкасающаяся окружность, называется соприкасающейся плоскостью.
Построим в точке
кривой линииестественные
оси этой
кривой (рис. 26). Первой естественной осью
является касательная
.
Ее положительное направление совпадает
с направлением единичного вектора
касательной
,
направленного в сторону возрастающих
расстояний.
П
Рис. 26
располагаетсянормальная
плоскость кривой. Нормаль,
расположенная в соприкасающейся
плоскости, называется главной
нормалью
.
Она является линией пересечения
нормальной плоскости с соприкасающейся
плоскостью.
По главной нормали
внутрь вогнутости кривой направим
единичный вектор
.
Он определяет положительное направление
второй естественной оси.
Нормаль,
перпендикулярная главной нормали,
называется бинормалью.
Единичный вектор
,
направленный по бинормали так, чтобы
три вектора
,
и
образовывали правую систему осей
координат, определит положительное
направление третьей естественной оси.
Три взаимно
перпендикулярные оси
,
и
,
положительные направления которых
совпадают с направлениями единичных
векторов
,
и
,
называютсяестественными
осями кривой.
Эти оси образуют в точке М естественный
трехгранник.
При движении точки по кривой естественный
трехгранник движется вместе с точкой
как твердое тело, поворачиваясь вокруг
вершины, совпадающей с движущейся
точкой.
Используя определение скорости, имеем:
,
где
.
Вектор
направлен по касательной к траектории
как производная от вектора по скалярному
аргументу и является единичным вектором.
Модуль этого вектора равен единице, как
предел отношения длины хорды
к длине стягивающей ее дуги
при стремлении ее к нулю.
Единичный вектор
всегда направлен по касательной к
траектории в сторону возрастающих
(положительных) расстояний независимо
от направления движения точки.
Величина
называетсяалгебраической
скоростью точки.
Ее можно считать проекцией скорости на
положительное направление касательной
к траектории, совпадающее с направлением
единичного вектора
.
Естественное
задание движения точки полностью
определяет скорость точки по величине
и направлению. Алгебраическую скорость
находят дифференцированием по времени
закона изменения расстояний. Единичный
вектор
определяют по заданной траектории.
В соответствии с определением ускорения получаем
, (60)
так как
и
направлен внутрь вогнутости траектории
параллельно единичному вектору главной
нормали
.
Получено разложение ускорения точки по осям естественного трехгранника. Касательная, нормальная составляющие и полное ускорение равны
,
,
. (61)