РТЦС-методичка
.pdf--71--
б) Так как согласованный фильтр - это линейное устройство и его импульсная характеристика известна, то наиболее простым способом расчета отклика такого фильтра на любой сигнал является интеграл Дюамеля
|
s1 x gсф t x dx . |
|
s2(t) = |
(10.2.2) |
|
|
|
|
Для уточнения пределов интегрирования проанализируем графики функций, входящих в интеграл Дюамеля, в отдельности для случаев 0 ≤t ≤τ (см. рис. 38,а) и τ ≤ t ≤ 2τ (см. рис. 38,б). В
соответствии с первым из них при 0 ≤ t ≤ τ интеграл принимает вид
|
|
|
|
t |
U0 sin 2 x/ A U0 |
sin 2 (t x)/ dx = |
||||
|
s2(t) = |
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
A U |
2 |
t |
cos 2 t/ cos 2 (2x t)/ dx = |
||||||
= |
|
0 |
|
|||||||
|
|
|||||||||
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A U |
2 |
|
|
|
A U |
2 |
|
|
|
= |
|
0 |
· t · cos( 2π · t / τ ) - |
|
0 |
· |
|
· sin( 2π · t / τ ). |
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|||
Если заменить пределы интегрирования на показанные на рис. 38,б и повторить расчет для моментов времени из интервала τ ≤ t ≤ 2τ, то нетрудно убедиться, что аналитическое выражение, определяющее искомый сигнал, можно записать в виде
|
|
AU |
2 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
t |
|
cos |
2 |
|
|
|
-sinc |
2 |
|
|
, |
|
при 0 t |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
s2(t) = |
AU2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
(2 t) cos |
2 |
|
t sinc |
2 |
, при t 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где входящая как слагаемое функция sinc( x ) = sin( x ) / x .
Соответствующая найденному выражению реакция фильтра показана на рис. 39. Обратите внимание, что отклик достигает
--72--
максимума в момент окончания входного сигнала и этот мак-
симум равен A·Эs, где Эs - энергия обрабатываемого сигнала.
gсф(t-x)
|
s1(x) |
|
t-τ 0 |
t |
τ x |
-U0 |
|
|
gсф(t-x)
s1(x)
0 t-τ |
τ t x |
-U0
а) |
б) |
Рис. 38. Компоненты интеграла Дюамеля из задачи 1
s2(t)
U2
A 0 2
0 
τ 
2τ t
Рис. 39. Отклик согласованного фильтра на сигнал s1(t)
Задача 2. Существует ли сигнал, с которым согласован фильтр, имеющий комплексный коэффициент передачи
|
1 |
|
|
K |
|
? |
(10.2.3) |
j
Решение
а) Ограничение, связанное с вопросами согласованной фильтрации, может относиться лишь к практической реализуемости
--73--
фильтра, однако любому фильтру можно поставить в соответствие сигнал, с которым этот фильтр согласован
sсогл( t ) = gсф( t0 - t ) / A, |
(10.2.4) |
где t0 и A - произвольные по величине константы.
б) Импульсная характеристика анализируемого фильтра, определяемая обратным преобразованием Фурье от (10.2.3), в соответствии с [1, с. 50; 2, с. 58; 3, с. 48] имеет вид
gсф( t ) = exp( -αt ) , t ≥ 0.
Таким образом, согласованными с данным фильтром являются любые сигналы, удовлетворяющие соотношению
sсогл( t ) = exp( α · (t-t0) ) / A, t ≤ t0.
Несколько возможных вариантов подобных сигналов показаны на рис. 40.
sсогл(t) |
1/A1 |
|
1/A2 |
|
|
|
1/A3 |
|
0 |
t01 t02 t03 |
t |
Рис. 40. Сигналы, согласованные с фильтром из задачи 2
Для более полного усвоения материала разберите решения задач 13.1, 13.3-13.6, приведенные в задачнике [5, с. 206-210].
Задача контрольной работы (№10):
Для заданного ниже сигнала s1(t)
найти импульсную характеристикусогласованного фильтра;
рассчитать отклик согласованного фильтра на сигнал s1(t);
определить обеспечиваемое отношение сигнал/шум при спектральной плотности мощности помехи N0 = 10-4 В2/Гц.
--74--
Вариант |
Сигнал |
|
|
4 |
|
1 |
|
s1(t) = 4·cos(200π·t), В |
|
0 |
5 t, мс |
||
-5 |
-4
|
s1(t) = 10·exp(103·t), В |
10 |
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
t, с |
2 |
|
s1(t), В |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
20 |
30 |
|
|
|
t, мс |
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
||||||||||||||||
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
|
|
2 |
|
s1(t), В |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-10 |
|
|
|
|
|
|
0 |
10 |
|
|
t, мс |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
s1(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-20 |
-4 |
|
|
0 |
|
|
20 |
t, мс |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
7
8
9
10
|
|
--75-- |
|
|
8 |
|
|
s1(t), В |
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
20 t, мс |
|||
|
|
|||
|
||||
|
|
|
1 s1(t), В |
|
-15 -5 |
5 |
|
15 t, мс |
||
12 |
|
|
s1(t), В |
|
|
|
|
|
|||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
t, мс |
||
|
|||||
3 |
|
|
s1(t), В |
|
|
0 |
40 t, мс |
1,5 |
s1(t), В |
0 |
15 t, мс |
--76--
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Радио и связь, 1986. - 512 с.
2.Радиотехнические цепи и сигналы / Под ред. К. А. Самойло - М.: Радио и связь, 1982. - 528 с.
3.Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высшая школа, 1988. - 448 с.
4.Токарев Б. В. Радиотехнические сигналы и их описание: Учеб. пособие / Б. В. Токарев, А. Б. Токарев; Воронеж, Воронеж. гос. техн. ун-т, 1997. - 79 с.
5.Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи: Учеб. пособие для вузов/ Под ред. И. С. Гоноровского. - М: Радио и связь, 1989. - 248 с.