РТЦС-методичка
.pdf
Gц ( ) = A ц 2
--31--
|
( |
в |
) |
ц |
|
|
|
· sinc |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
ц |
|
|
|
|
в |
|
|
, |
|
sinc |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
где sinc(x) = sin(x) / x.
Правая часть радиоимпульса, имеющая длительность τ=20 мкс и заполнение частоты ω0, обладает спектральной плотностью
|
|
|
0,5(Тп ) |
|
|
|
|
j t |
|
A |
0,5(Тп ) |
j( 0)t |
|
j( 0)t |
||||||||||||||
G ( )= |
|
|
A cos( t)e |
|
dt= |
|
|
|
|
|
e |
|
|
e |
dt= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
бок |
|
0,5(Т ) |
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
0,5(Т ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
j0,5Т ( ) ej0,5 ( 0) |
e j0,5 ( 0) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= A e |
|
П |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2j ( 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
j0,5Т ( ) e |
j0,5 ( ) |
|
j0,5 ( ) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
e |
|
0 |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
П |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2j ( 0) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Учитывая, что 0,5·Тп·ω0 = 0,5·10-4·2π·106 = 100·π |
|
величина крат- |
||||||||||||||||||||||||||
ная 2π |
и, |
следовательно, как фазовая поправка не оказывает |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
влияния на результат, перепишем Gбок ( ) в виде |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
j0,5Т |
|
|
( ) |
|
|
j0,5Т |
|
|
|
( ) |
||||||||||
|
( )= |
|
|
e |
|
П |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
e |
П |
|
|
|
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
G |
бок |
|
|
|
|
sinc |
|
|
|
|
|
|
|
|
sinc |
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При периодическом повторении радиоимпульсов sимп(t) в соответствии с (2.1.3) суммарная непрерывная по частоте спектральная плотность преобразуется в дискретный комплексный спектр Фурье
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
= |
|
G |
G |
|
|
|
2 |
|
|
n ЧМ |
|
Тп |
|
ц |
|
бок |
|
n |
|
|
|
|
Тп |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
И, наконец, используя соотношения (1.1.6), связывающие между собой коэффициенты Фурье для комплексного (двухстороннего)
--32--
и гармонического (одностороннего) спектров, получаем окончательно
SЧМ n = A 1
|
|
|
Тп |
|
|
2 n |
|
|
||
|
sinc |
|
|
|
+ |
|||||
Т |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Т |
п |
в |
|||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
|
|
|
2 n |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
+ A |
|
|
( 1) |
|
sin c |
|
|
|
|
|
0 . |
Т |
|
|
2 |
Т |
|
||||||
|
п |
|
|
|
|
|
п |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Примечание: Сомножитель (-1)n во втором слагаемом соот-
ветствует экспоненте e |
j 0,5Т |
П |
|
( ) при частоте |
|
|
из Gбок |
спектральной составляющей ω = 2πn / Тп.
Соответствующий полученному выражению гармонический спектр представлен на рис. 17. Как и следовало ожидать из предыдущих рассуждений, в его состав входят две группы спектральных составляющих, концентрирующихся в окрест-
ности частот ω0 и ωв, которые в анализируемом случае скачкообразно сменяют друг друга на выходе модулятора. Разница в интенсивности и ширине этих групп спектральных состав-
ляющих появляется из-за того, что сигнал на частоте ωв излучается в четыре раза дольше, чем на частоте ω0. Интервал же по частоте между соседними спектральными составляющими Δf = 10 кГц, естественно, остается для обеих групп одним и тем же, так как определяется не длительностью отдельных состояний, а периодом информационного сигнала.
Обратите внимание на то, что девиация частоты не совпа-
дает с шириной спектра сигнала Fд < Шf !
|
|
|
|
|
|
|
|
|
--33-- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
A· |
1 |
|
|
|
|
·sinc |
|
п |
|
|
f |
f |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
SЧМ n , В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Тп |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A· |
|
|
·sinc |
|
|
|
f |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0,4 |
|
п |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f, МГц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
… 0,99 1 1,01 |
|
|
|
|
… |
1,11 |
1,12 |
1,13 |
||||||||||||||
Рис. 14. Гармонический спектр колебания на выходе частотного модулятора при информационном сигнале в виде последовательности прямоугольных импульсов.
Задача 2. На управляющий вход идеального частотного модулятора с крутизной kЧМ = 104 рад/(В·с) и на управляющий вход идеального фазового модулятора с крутизной kФМ = 5 рад/В подан один и тот же информационный сигнал
sи(t) = 0,7·cos(104·t), В. Спектр которого из формируемых радиосигналов шире? Исказятся ли формируемые колебания, если их пропустить через идеальный полосовой фильтр, настроенный на несущую частоту радиосигнала и обладающий
полосой пропускания Пf = 6 кГц?
Решение
а) Поскольку для гармонического сигнала максимальное мгновенное значение совпадает с амплитудой, то девиация частоты (4.1.2) на выходе частотного модулятора будет составлять
Ωд = kЧМ · Sи = 104 · 0,7 = 7 · 103 рад/c.
Практическая ширина спектра ЧМ-колебания определяется при этом (см. (4.1.8) )
--34--
Шω ЧМ = 2 · ( Ωд + Ω ) = 2 · ( 7 · 103 + 104 ) = 34 · 103 рад/c.
б) При фазовой модуляции основным параметром является индекс модуляции, определяемый согласно (4.1.4) соотношением
m = kФМ ·max |
s |
и(t) |
= kФМ · Sи = 5 · 0,7 = 3,5 рад. |
t |
|
|
|
Ширина спектра формируемого ФМ-колебания составляет |
|||
Шω ФМ = 2 · ( m + 1 ) · Ω = 2 · ( 3,5 + 1 ) · 104 = 90 · 103 рад/c.
в) Из сопоставления полученных величин Шω ЧМ и Шω ФМ следует, что в данном случае радиосигнал на выходе фазового модулятора является более широкополосным.
г) При анализе опасности возникновения искажений колебаний при их прохождении через идеальный фильтр важно заме-
тить, что величины Шω ЧМ и Шω ФМ и заданная в условии полоса пропускания фильтра отличаются по единицам измерения, а значит прежде чем дать заключение, необходимо преобразовать все сравниваемые величины либо к герцам, либо к радианам в секунду.
Поскольку Шf ЧМ = Шω ЧМ / 2π ≈ 5,4 кГц < Пf ,
то спектр ЧМ-колебания практически полностью умещается в полосе пропускания фильтра и возникающими искажениями можно пренебречь.
Шf ФМ = Шω ФМ / 2π ≈ 14,3 кГц > Пf ,
поэтому при прохождении через фильтр заметная часть спектральных составляющих ФМ-колебания будет подавлена и, следовательно, пренебрегать возникающими искажениями нельзя.
Для лучшего усвоения материалов данного раздела полезно разобрать также решения задач 3.10-3.12, 3.15, приведен-
ные в [5, с. 40-44].
--35--
Задача контрольной работы (№4):
На управляющий вход некоторого модулятора поступает сиг-
нал (в вольтах) sи(t) = 0,2 · sin(104t + 60˚), а на его выходе наблюдается напряжение, определяемое одним из приведенных в таблице ниже аналитических выражений. Необходимо
определить тип модулятора (частотный или фазовый), крутизну его характеристики и аналитическое выражение модулируемого колебания, воздействующего на другой вход модулятора;
найти индекс модуляции, девиацию частоты и ширину спектра, а также рассчитать и построить гармонический спектры амплитуд и фаз формируемого радиосигнала.
Таблица индивидуальных вариантов к задаче 4
Вари- |
Аналитическое выражение |
ант |
|
|
|
1 |
12·cos( 106t + 4·sin( 104t + 60˚ ) ) |
|
|
2 |
6·cos(106t + 2·sin( 104t + 60˚ ) + 30˚) |
|
|
3 |
4·cos( 106t + sin( 104t + 60˚ ) + 45˚ ) |
|
|
4 |
2·cos(106t + 0,5·sin( 104t+60˚ ) + 60˚) |
|
|
5 |
cos( 106t + 0,4·sin( 104t + 60˚ ) + 90˚ ) |
|
|
6 |
12·cos( 106t + 4·cos( 104t + 60˚ ) ) |
|
|
7 |
6·cos(106t + 2·cos( 104t + 60˚ ) + 30˚) |
|
|
8 |
4·cos( 106t + cos( 104t + 60˚ ) + 45˚ ) |
|
|
9 |
2·cos(106t + 0,5·cos( 104t+60˚ ) + 60˚) |
|
|
10 |
cos( 106t + 0,4·cos( 104t + 60˚ ) + 90˚ ) |
|
|
--36--
Раздел 5. Энергетические характеристики сигналов
5.1. Краткое теоретическое введение
В теории сигналов под энергией понимают величину,
|
s2 (t) dt, |
|
Эs = |
(5.1.1) |
характеризующую удельную физическую энергию, приходящуюся на 1 Ом сопротивления нагрузки, если сигнал имеет размерность тока, или на 1 См проводимости нагрузки, если сигнал является напряжением. Единицей измерения энергии сигнала служит для токов - А2·c, а для напряжений - В2·c.
В соответствии с равенством Парсеваля для непериодических видеоимпульсов справедливо следующее соотношение, определяющее энергию сигнала по его спектральной плотно-
сти [1, с. 36; 2, с. 54]
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Эs = |
|
Gs |
(f) |
df = |
|
|
|
Gs |
( ) |
d . |
(5.1.2) |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для периодических сигналов равенство Парсеваля постулирует возможность расчета средней мощности сигналов как по их временному, так и по спектральному описанию и имеет вид [1, с. 27; 2, с. 48]
1 |
|
t0 Тп |
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ps = |
|
|
|
|
s |
|
(t)dt = s |
|
|
|
S |
n |
= |
c |
n |
|
(5.1.3) |
Т |
|
|
2 |
||||||||||||||
|
п |
|
t |
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношение (5.1.3) позволяет существенно упростить оценку энергетических показателей модулированных радиосигналов.
Одним из основных недостатков АМ-сигнала является изменение во времени его средней (за период высокочастотного колебания) мощности между значениями
|
Pmin = P0 · (1-M)2 и Pmax = P0 · (1+M)2 , |
(5.1.4) |
где |
P0 = S02 / 2 |
(5.1.5) |
--37-- - средняя мощность немодулированного сигнала, соответст-
вующая также режиму молчания. Это приводит к необходимости проектировать аппаратуру обработки в расчете на макси-
мальную мощность Pmax, а использовать при заметно меньшей средней (за период информационного сигнала) мощности
Pср = P0 · (1+0,5·M2). (5.1.6)
При формировании сигналов с угловой модуляцией (в отличие от амплитудной) появление новых составляющих спектра происходит не за счет увеличения общей мощности колебания, а за счет перераспределения фиксированной мощности между всеми гармониками сигнала. В результате, независимо от индекса модуляции (девиации частоты) и формы информационного сигнала ЧМ- и ФМ-сигналы характеризуются неиз-
менной средней мощностью Pср = P0.
5.2. Типовые задачи
Задача 1. Определить энергию видеоимпульса, комплексная спектральная плотность которого определяется выражени-
|
|
2 |
10 |
4 |
||
ем Gs |
( ) = |
|
|
|
|
, А/Гц. |
10 |
|
|
||||
|
|
8 2 |
||||
Решение
а) Судя по размерности спектральной плотности анализируемый сигнал является некоторым импульсом тока. Его форма неизвестна, поэтому воспользоваться непосредственно стандартным временным способом расчета энергии невозможно. Более того, для получения аналитического выражения сигнала, соответствующего функции Gs( ) , оказывается необходи-
мым переходить к преобразованию Лапласа или использовать таблицы интегралов из справочников по математике. Однако, если (как следует из условия) необходимо определить лишь энергию сигнала, то реальной потребности в указанных дейст-
--38--
виях нет; ведь энергию можно найти и по спектральному представлению сигнала в соответствии с равенством Парсеваля (5.1.2). Действительно,
|
1 |
|
|
|
2 104 |
2 |
4 10 8 |
|
1 |
|
|
2 |
||
Э = |
|
|
|
|
|
d = |
|
|
|
|
|
|
|
d . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
s |
2 |
|
108 2 |
|
2 |
|
|
4 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 10 |
|
|
|
|
Вводя новую переменную x, изменяющуюся от -π/2 до +π/2, используя замену ω/104 = tg(x) и учитывая, что при этом dω =
104
= cos2 x dx , записываем энергию Эs в виде
Эs = |
4 10 8 |
|
/ 2 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
/ 2 |
1 tg2 |
x |
|
cos2 (x) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 10 |
4 |
|
/2 |
2 10 |
4 |
|
/2 |
= |
|
|
cos2 x dx= |
|
|
1 cos 2x dx= 10-4 А2·с. |
||
2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
/2 |
|
/2 |
|||
Примечание: для проверки полученного результата проанализируйте самостоятельно спектральные и энергетические ха-
рактеристики видеоимпульса i(t) = 1 e 104 t , A.
Задача 2. На идеальный амплитудный модулятор воздейст-
вует информационный сигнал sи(t) = 0,2 · sin(103·t+π/4), В. Средняя за период высокочастотного колебания мощность на выходе модулятора изменяется от 11 до 99 В2. Определить какая физическая мощность передается в среднем (за большой промежуток времени) модулятором в нагрузку, если активное сопротивление нагрузки составляет 5,5 кОм?
Решение
а) Поскольку информационный сигнал имеет гармоническую форму, средняя за период высокочастотного колебания мощ-
--39--
ность АМ-колебания варьируется в определяемых (5.1.4) пределах. В результате приходим к системе уравнений
|
P |
(1 M) |
2 |
11 |
|
|
|
||||
|
0 |
(1 M)2 |
|
||
P |
99 |
||||
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
где M - коэффициент амплитудной модуляции. Поделив нижнее уравнение на верхнее, имеем
(1+M)2 / (1-M)2 = 9
или, иначе,
2·M2 - 5·M + 2 = 0.
Решая полученное квадратное уравнение, находим M = 0,5 (второй корень М = 2 анализировать не будем, так как он соответствует случаю перемодуляции, которую следует на практике избегать из-за искажения передаваемой информации). Подставляя найденный коэффициент модуляции в любое из уравнений, получаем P0 = 44 В2.
Средняя за протяженный интервал времени мощность АМсигнала совпадает с его средней мощностью за период информационного сигнала и может быть определена по формуле
PАМ ср = P0 · (1+0,5·M2) = 44· (1+0,5·0,52) = 49,5 В2.
б) Обратите внимание, что найденная в предыдущем пункте средняя мощность не является физической средней мощностью, о которой идет речь в условии. Как и в целом в теории сигналов, эта мощность, вычисленная без учета характеристик нагрузки, представляет собой удельную мощность, приходящуюся на каждый симменс проводимости нагрузки. Таким образом, для ответа на вопрос задачи необходимо выполнить последний шаг - пронормировать собственную мощность сигнала в В2 на сопротивление нагрузки, в которой этот сигнал наблюдается
Pср = PАМ ср / Rн = 49,5 В2 / 5500 Ом = 0,009 Вт = 9 мВт.
--40--
Задача контрольной работы (№5):
Определить неизвестный параметр A, входящий в приведенное ниже аналитическое выражение для анализируемого пе-
риодического сигнала sп(t), если известно, что его средняя мощность составляет Ps = 9 В2.
Вариант |
Аналитическое выражение |
|
1 |
1,5 A 1 2 t/Тп , |
при Тп/6 t Тп/2 |
|
|
при Тп/2 t Тп/6 |
|
0, |
|
2A, при 0 t Тп /2A, при Тп /2 t 0
3A, при 0 t Тп /2A, при Тп /2 t 0
41 + A· tg(2 103 t) · (1 + cos(4 103 t))
5A· sin(2 103 t) · cos(4 103 t)
62 A t/Тп, при 0 t Тп /22 A t/Тп, при Тп /2 t 0
7 |
A 1 4 t Тп , |
при 0 t Тп /2 |
|
|
|
|
A 1 4 t Тп , при Тп /2 t 0 |
|
8
5+ A· cos(105·t) · sin(104·t)
9A · cos2( 2 ·103·t – /3) - 5
10 |
A e |
|
16t Тп |
|
, при –Тп/2 ≤ t ≤ Тп/2 |
|
|