РТЦС-методичка

б) Для оценки спектрального состава АМ-сигнала учтем, что совокупности усеченных косинусоидальных импульсов с мак-

симальным мгновенным значением Sи = 0,3 В соответствует

[1, с. 227-229; 2, с. 177-180] ряд Фурье

ты Берга [2, с. 179]; θ - параметр, называемый углом отсечки и в рассматриваемом случае равный 90º; Ω - частота первой гармоники информационного сигнала равная 104 рад/с.

В результате, напряжение на выходе модулятора можно представить в виде

--22--

Таким образом, спектр модулированного сигнала при нетональной амплитудной модуляции содержит больше гармоник чем при тональной (см. рис. 8). По сравнению со спектром информационного сигнала он всегда вдвое шире, так как в процессе модуляции составляющие информационного сигнала преобразуются по частоте и каждая гармоника порождает одну верхнюю и одну нижнюю спектральную составляющую выходного амплитудно-модулированного колебания. Отличие начальных фаз несущей и боковых спектральных составляющих порождается в рассматриваемом случае тем, что спектр фаз информационного сигнала имеет на всех частотах одно и то же значение π.

Рис. 8. Гармонический спектр информационного сигнала и итогового АМ-колебания

Задача 2. Какие сигналы воздействуют на вход идеального амплитудного модулятора, если при крутизне характеристики kАМ = 4 на его выходе наблюдается радиосигнал, показанный на рис. 12 ?

-0,5

s0 -1,5

Рис. 9 Сигнал на выходе амплитудного модулятора.

Решение

а) В соответствии с рис. 12 амплитуда сигнала на выходе мо-

дулятора сохраняет постоянное значение S0 = 0,5 В до момента времени t = 0 и после момента t = 0,45 мкс. Это дает основание считать, что информационный сигнал воздействует на управляющий вход модулятора лишь на интервале времени

0 ≤ t ≤ 0,45 мкс, а до и после указанного интервала sи(t) ≡ 0.

б) Из сопоставления фазы колебания в точках t = 0 и t = 0,3 мкс следует, что на этом интервале укладывается ровно три периода высокочастотного заполнения, поэтому частота несущей колебания составляет f0 = 1/T0 = 1 / 10-7 = 10 МГц. Значение sАМ(0), помеченное на рис. 12 как s0, отделяет от ближайшей вершины, соответствующей точке t*, интервал в 3/8 периода высокочастотного колебания, что соответствует поправке по фазе на +3π/4. Таким образом, без учета модуляции показанному на рис. 12 колебанию можно было бы поставить в соответствие аналитическое выражение

sн(t) = S0 · cos(2π·f0·t + ψ0) = 0,5 · cos(2π·107·t + 3π/4). (3.2.1)

--25--

Для более полного усвоения учебного материала разберите также решения задач 3.1, 3.2, 3.4, приведенные в задачнике

[5, с. 35-38].

Задача контрольной работы (№3):

На управляющий вход идеального амплитудного модулятора с крутизной kАМ = 3 воздействует периодический инфор-

мационный сигнал sп(t), найденный при решении задачи из предыдущего раздела (см. задачу 2 контрольной работы).

На другой вход модулятора поступает несущее колебание sн(t) = 12 · cos( 2π105t + π/4 ), В. Для формируемого на вы-

ходе модулятора АМ-колебания

нарисовать качественно (с указанием координат нескольких контрольных точек) временную диаграмму;

определить коэффициент модуляции;

построить гармонический спектр амплитуд и спектр фаз.

--26--

Раздел 4. Характеристики сигналов с угловой модуляцией

4.1. Краткое теоретическое введение

Идеальным частотным модулятором называется устройство,

преобразующее высокочастотный сигнал sн(t) = S0 · cos(ω0·t + ψ0) в модулированное по частоте колебание sЧМ(t) = S0 · cos(ω(t)·t+ψ0) по правилу

где sи(t) - управляющий информационный сигнал; kЧМ - параметр, называемый крутизной характериcтики частотного модулятора. Основным параметром частотно-модулированного

колебания является девиация частоты Ωд, характеризующая наибольшее абсолютное отклонение частоты ω(t) от ее значе-

ния ω0 в режиме молчания, т.е. при sи(t) ≡ 0

Идеальный фазовый модулятор отличается от модулятора частотного тем, что пропорционально информационному сигналу изменяется не частота, но фаза выходного колебания. В результате образуется фазомодулированный сигнал sФМ(t) =

= S0 · cos( ω0 · t + φ(t) + ψ0 ), у которого набег фазы φ(t) (по-

правка к начальной фазе несущего колебания) определяется выражением

где sи(t) - информационный сигнал; kФМ - крутизна характеристики модулятора.

Основным параметром фазомодулированного колебания является индекс модуляции m, равный наибольшему абсолютному значению набега фазы

--27--

Поскольку мгновенная частота колебания ω(t) и его полная фаза Ψ(t) связаны жесткой зависимостью ω(t) = (t), то отличие между частотной и фазовой модуляцией оказывается на практике не слишком значительным. Аименно, если рассмотреть пару сигналов связанных соотношением s1(t) = kФМ/kЧМ· s2(t) и

подать сигнал s1(t) на частотный модулятор с крутизной kЧМ, а сигнал s2(t) на фазовый модулятор с крутизной kФМ, то выходные модулированные колебания окажутся идентичными. Таким образом, отличить частотно-модулированное колебания от модулированного по фазе можно лишь зная информационный (модулирующий) сигнал, поэтому оба рассмотренных выше случая объединяют под названием угловой модуляции. В частности, при гармоническом информационном сигнале колебание как на выходе частотного, так и на выходе фазового модулятора может быть представлено выражением

sУМ(t) = S0 · cos( ω0 · t + m · sin( Ω · t + φ0 ) + ψ0 ). (4.1.5)

Спектр колебаний с угловой модуляцией гораздо богаче как спектра информационного колебания, так и спектра ам- плитудно-модулированного колебания. В частности, колебанию (4.1.5) соответствует спектр симметричный относительно частоты ω0 несущего сигнала и содержащий формально бесконечное число спектральных составляющих. В соответствии с [1; с. 85-86; 2, с. 98-99; 3, с. 100-101] для составляющей на частоте несущего колебания ω0 амплитуда и фаза определяются соотношениями

где m - индекс модуляции, определяемый в случае частотной мо-

дуляции как m = Ωд / Ω; J0( m ) - функция Бесселя нулевого порядка первого рода действительного аргумента ( см., на-

пример, [4, с. 65-66, 320] ).

Прочие спектральные составляющие, называемые верхними и нижними боковыми, располагаются на частотах соответственно

ωn = ω0 + n·Ω и ω-n = ω0 - n·Ω и характеризуются амплитудами и начальными фазами

где Jn( m ) - функция Бесселя n-го порядка.

Функции Бесселя имеют колебательный характер и при фиксированном аргументе m в среднем затухают с ростом порядка n; в связи с этим при практических расчетах ограничиваются учетом лишь (m+1) верхней и (m+1) нижней составляющих спектра. В результате, эффективная ширина спектра при то-

Случаи нетональной угловой модуляции рассматриваются в [3, с. 103-108] и в одной из рассматриваемых ниже задач.

4.2. Типовые задачи

Задача 1. На идеальный частотный модулятор с крутизной kЧМ = 4·105 Гц / В поступает высокочастотное колебание sн(t) = = 2·cos( 2π106 · t ) (В) и информационный сигнал, представленный на рис. 14. Нарисовать качественно формируемое модулятором колебание, определить его индекс модуляции, девиацию частоты и спектральный состав.

0,3 sи(t), В

Рис. 11

Решение

а) Поскольку информационный сигнал имеет положительную полярность, то в процессе модуляции отклонение частоты

--29--

формируемого колебания от исходного значения ω0 будет наблюдаться лишь в сторону увеличения. Из-за скачкообразного

изменения сигнала sи(t) частота формируемого сигнала ω(t) будет также меняться скачкообразно, принимая то исходное

Сам же ЧМ-сигнал приобретает в результате вид, показанный на рис. 15.

Его девиация частоты в соответствии с определением (4.1.2), переписанным для циклической частоты f измеряемой в герцах,

б) Поскольку индекс модуляции является для ЧМ неосновным параметром [2, с. 94-96], то он зависит не только от крутизны модулятора и амплитуды информационного сигнала, но и от

его формы. А именно, на интервалах, на которых сигнал sи(t) отличен от нуля, полная фаза модулированного колебания из-

меняется по правилу Ψ(t) = ω0·t + Ωд·t + ψ0, и, следовательно, набег фазы линейно нарастает в течение Δt = 60 мкс. В результате

в) При определении спектрального состава колебания с угловой модуляцией следует иметь в виду, что получаемые колебания являются, как правило, квазипериодическими. Это запрещает использование соотношений типа (1.1.3), (1.1.5), предназначенных для работы со строго периодическими сигналами. Во-вторых, если при амплитудной модуляции каждая гармоника информационного сигнала независимо от прочих порождает ровно две спектральные составляющие на выходе модулятора и результат модуляции сложным сигналом можно получить как сумму частных спектров, порождаемых отдельными компонентами информационного сигнала, то при угловой модуляции такой подход оказывается некорректным. Добавление всего одной гармоники к спектру информационного сигнала не только влечет обогащение спектра модулированного колебания, но и перераспределение амплитуд всех наблюдавшихся ранее составляющих спектра. Таким образом, предложить универсальный способ расчета спектров ЧМ- и ФМсигналов, к сожалению, невозможно.

и косинусоидальное заполнение частоты ωв, обладает спек-

тральной плотностью [1, с. 80-81; 2, с. 65; 3, с. 60]