математика 341-2008

ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра «Прикладная математика»

341 - 2008

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к контрольной работе № 2 по математике

для студентов специальностей 150202 «Оборудование и технология сварочного

производства» 210201 «Проектирование и технология

радиоэлектронных средств» 110302 «Электрификация и автоматизация

сельского хозяйства» заочной формы обучения с сокращенной программой

divFdV FndS

V S

Воронеж 2008

УДК 517.2. (07)

Методические указания к контрольным работам № 2 по математике для студентов специальностей 150202 «Оборудование и технология сварочного производства», 210201 «Проектирование и технология радиоэлектронных средств», 110302 «Электрификация и автоматизация сельского хозяйства» заочной формы обучения с сокращенной программой / ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. В.Н. Дурова, М.И. Зайцева, В.И.Кузнецова, О.А. Соколова. Воронеж, 2008. 39 с.

Методические указания предназначены для студентовзаочников инженерно-технических специальностей и содержат рекомендации к работе над курсом высшей математики, программу курса с указанием литературы, примеры решения задач и двадцать вариантов контрольных заданий.

Ил. 2. Библиогр.: 5 назв.

Рецензент д-р техн. наук М.Л. Лапшина Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат.

наук, проф. В.Д. Репников Печатается по решению редакционно-издательского со-

вета Воронежского государственного технического университета

©ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2008

2

ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ

К ИЗУЧЕНИЮ КУРСА МАТЕМАТИКИ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом. Курс высшей математики разбит на темы и пункты, в которых указана литература, рекомендуемая для изучения теоретического материала, а также задачники с большим количеством разобранных задач.

Правильная организация процесса обучения является самым важным условием успешной проработки и усвоения учебного материала и, как правило, достаточна для своевременной защиты контрольных работ, а также сдачи зачетов и экзаменов. В связи с вышесказанным настоятельно советуется студентамзаочникам начинать изучение тем с проработки теоретического материала из соответствующих разделов рекомендованных учебников. При изучении теоретического материала по учебнику полезно конспектировать основные определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.д.

Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. В рекомендованных пособиях имеется большое количество подробно решенных задач, с которыми студентам необходимо ознакомиться при изучении соответствующего материала.

После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества задач рекомендуется воспроизвести по памяти определения, формулы, формулировки теорем. Хорошим подспорьем для объективной оценки степени освоения учебного материала является перечень вопросов для самопроверки, приведенный на страницах 5-7.

Только после этого можно приступать к выполнению контрольных работ. На данном этапе полезно ознакомиться с примерными вариантами решения задач контрольной работы, приведенными в методических указаниях.

Зачет контрольной работы преподавателем осуществляется при выполнении следующих требований:

3

правильном и подробном решении задач в контрольной работе,

умении достаточно быстро и без помощи пособий решать задачи, аналогичные задачам, предложенным в контрольной работе,

твердом знании основных формул и определений, перечисленных в вопросах для самопроверки.

Если в процессе изучения теоретического материала или

при решении задач у студентов возникают вопросы, справиться с которыми самостоятельно не удается, то за помощью можно обратиться к преподавателю на консультации.

Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом.

Выбор варианта контрольной работы студентом производится по двум последним цифрам номера студенческого билета в соответствии со следующей таблицей.

4

ПРОГРАММА КУРСА “МАТЕМАТИКА” ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ (ВТОРОЙ СЕМЕСТР)

Комплексные числа

1. Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи [ 1, гл. 7, § 1].

2. Действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня [ 1, гл. 7, §§ 2,3 ].

Неопределенный интеграл

3. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подста-

новкой [ 1, гл. 10, §§ 1 - 4, 6 ].

4. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой [ 1, гл. 10, §§ 1 - 4, 6 ].

5. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простые дроби. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций. Интегрирование некоторых иррациональных выражений [ 1, гл. 10, §§ 5, 7 - 10, 12 ].

Определенный интеграл

6. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла [1,

гл.11,§§1- 3 ].

7. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница [ 1, гл. 11, §§ 4 ].

8. Вычисление определенного интеграла интегрированием по частям и подстановкой. Приближенное вычисление

5

определенного интеграла по формулам прямоугольников, тра-

пеций, Симпсона [ 1, гл. 11, §§ 5 , 6, 8 ].

9. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверх-

ностей вращения [ 1, гл. 11, §§ 1, 3, 5, 6 ].

Несобственный интеграл

10. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченных функций Основные свойства [ 1, гл. 11, § 7 ].

Функции нескольких переменных

11.Функции нескольких переменных. Предел функции. Непрерывность. [2, гл. 8, §§ 1-4 ].

12.Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных. [2, гл.8, §§ 5-7 ].

13.Частные производные высших порядков. [2, гл. 8, §12 ].

14.Производная по направлению. Градиент. [2, гл. 8,

§§14,15 ].

15.Экстремум функции нескольких переменных.

Необходимое и достаточное условие. [2, гл. 8, § 17 ].

Дифференциальные уравнения

16.Дифференциальные уравнения первого порядка (основные определения и понятия). Уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные. [2,

гл. 13, §§ 1-7 ].

17.Дифференциальные уравнения второго порядка. Общие свойства решения. Уравнения, допускающие понижение порядка. [2, гл. 13, §§ 16-18 ].

18.Линейные дифференциальные уравнения второго по-

рядка с постоянными коэффициентами. [2, гл. 13, §§ 20,21 ]. 19. Линейные неоднородные дифференциальные

уравнения второго порядка с постоянными коэффициен-

тами. [2, гл. 13, §§23-24 ].

6

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

При выполнении контрольных работ требуется строгое соблюдение указанных ниже правил.

1.Контрольная работа выполняется в тетради в клетку чернилами любого цвета кроме красного. Необходимо оставлять поля для замечаний рецензента.

2.На обложке контрольной работы должны быть написаны фамилия и инициалы студента, шифр, название дисциплины, номер и вариант контрольной работы, адрес студента. В конце работы ставится дата ее выполнения и подпись студента

3.В работу включаются все задачи, указанные в задании, и строго по положенному варианту.

4.Решения задач располагаются в порядке возрастания их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.

5.Условия задач приводятся полностью. Решения излагаются подробно и аккуратно, объясняются все действия.

6.После получения проверенной работы исправляются все отмеченные рецензентом ошибки и выполняются все рекомендации рецензента.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2

1.Дайте определение комплексного числа. Запишите комплексное число в алгебраической и тригонометрической формах.

2.Определите сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел.

3.Как производится возведение комплексного числа в натуральную степень и извлечение корня n – й степени.

4.Дайте определение первообразной и неопределенного интеграла.

5.Сформулируйте свойства неопределенного интеграла

инапишите таблицу основных интегралов.

7

6.Запишите формулы замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

7.Запишите простейшие рациональные дроби и изложите

правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие.

8.Изложите методы интегрирования иррациональных выражений.

9.Изложите методы интегрирования тригонометрических выражений.

10.Что называется определенным интегралом и каковы его свойства ?

11.Запишите формулу Ньютона - Лейбница для вычисления определенного интеграла.

12.Как производится интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле ?

13.Дайте определение несобственным интегралам.

14.Запишите формулы для вычисления площади криволинейной трапеции, длины дуги кривой и объема тела вращения.

15.Что называется функцией двух переменных, ее областью определения? Дайте геометрическое толкование этих понятий.

16.Что называется функцией трех переменных, ее областью определения? Как можно геометрически истолковать область определения функции трех переменных?

17.Что называется пределом функции двух переменных в точке? В каком случае эта функция называется непрерывной в точке, в области?

18.Как определяются частные производные? Сформулируйте правила нахождения частных производных функции нескольких переменных.

19.Когда функция z =f (x,у) называется дифференцируемой в данной точке?

8

20.Дайте определение частных производных высших порядков. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных производных функции двух переменных.

21.Что называется производной от функции z =f (x,у) в

данной точке М0 по направлению вектора s ? Выведите формулу для ее вычисления.

22.Что называется градиентом скалярной функции в данной точке?

23.Что называется максимумом (минимумом) функции

двух переменных? Выведите необходимые и сформулируйте достаточные условия экстремума функции двух переменных.

24.Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка и его общего и частного решения. Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка и укажите ее геометрический смысл.

25.Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, укажите метод его решения.

26.Дайте определение однородного и линейного дифференциальных уравнений. Изложите методы нахождения их общего и частного решений.

27.Выведите формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

28.Докажите теорему об общем решении неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

29.Изложите правило для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГТОВКИ

КВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2

Кзадаче № 1: [3 ] №№ 1340-1349, 1392-1397, 1412-1414, 1428-1431, 1453-1456, 1494-1497.

9

Кзадаче № 4 : [ 4 ] №№ 515-525, 550-560, 603-612.

Кзадаче № 5: [ 4 ] №№ 703-709,. 721-726, 728, 729.

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Контрольная работа № 2. «Интегральное исчислениие. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения»

Задача № 1

Найти неопределенные интегралы. В первом примере (п.а)) результат проверить дифференцированием.

10