математика 341-2008

Пример 4. (Интегрирование дробно-рациональной функции). Найти интеграл

Метод интегрирования дробно-рациональной функции заключается в разложении данной дроби на сумму многочлена и элементарных дробей и последующем интегрированием каждого слагаемого этого разложения. Рассмотрим эти два этапа решения на нашем примере.

Решение. 1). Подынтегральная функция имеет вид

f (x) P(x) , где P(x) и Q(x) суть многочлены степени 5 и 4,

Q(x)

соответственно:

P(x) =x5+2x4-x2+3; Q(x)= (x-1)2(x2+1).

Однако прежде чем искать разложение дроби f (x) P(x) на

Q(x)

сумму элементарных дробей, следует выделить из данной дроби целую часть (т.е. некоторый многочлен) и правильную дробь т.е. такую дробь, в которой степень числителя меньше степени знаменателя. С этой целью преобразуем знаменатель Q(x) = x4 - 2x3+ 2x 2- 2x +1, после чего разделим многочлен P(x) на многочлен Q(x). Таким образом, получим

Последняя дробь уже является правильной, поскольку степень числителя R(x)= 6x3-7x2+7x-1 меньше степени знаменателя. Многочлен Q(x) имеет корень x=1 кратности два, а также пару комплексно-сопряженных корней x=+i, x=-i поэтому разложение дроби R(x)/Q(x) следует искать в виде :

21

где числа А,В,С,D могут быть определены при помощи метода неопределенных коэффициентов. Приведем дроби, стоящие в правой части формулы (2) , к общему знаменателю:

после чего приравняем числители в тождестве (3):

6x3-7x2+7x-1 =A(x2+1)+B (x-1)(x2+1)+(Cx+D) (x-1)2.

Положив в тожестве (4) х =1, найдем А=5/2. Остальные коэффициенты разложения (2) можно определить, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х в левой и правой частях тождества (4). В результате такого сравнения получим систему линейных уравнений относительно

откуда, возвращаясь к формуле (1), получаем новое выражение для подынтегральной функции, а именно:

22

2).После проделанных преобразований нахождение исходного интеграла сводится к нахождению суммы либо табличных интегралов, либо интегралов, легко приводящихся к табличным. Из формулы (5) последовательно получаем:

Для нахождения последнего интеграла в формуле (6) проведем еще ряд несложных преобразований:

где С - произвольная постоянная.

Замечание 1. В случае, когда заданная подынтегральная функция представляет собой правильную дробь, производить деление числителя на знаменатель не нужно, а следует сразу переходить к разложению этой дроби на сумму элементарных дробей.

Замечание 2. При разложении правильной дроби на сумму элементарных дробей с помощью метода неопределенных

23

коэффициентов необходимо иметь в виду следующее . Если многочлен, стоящий в знаменателе исходной дроби, имеет вещественный корень х0 кратности к 1, то этому корню должна отвечать ( в разложении на элементарные дроби ) группа членов, состоящая в точности из к слагаемых следующего вида:

При этом не исключено, что после применения метода неопределенных коэффициентов какие-то из чисел Аi (i=1,2,...,k) могут оказаться равными нулю.

Пример 5. (Интегрирование иррациональных функций). Найти интеграл

dx

I 2x 1(1 32x 1) .

Дальше можно применять уже известный метод интегрирования дробно-рациональных функций, однако в данном случае удобно применить следующий искусственный прием, который быстро приводит к цели:

Пример 6. (Интегрирование тригонометрических функций). Найти интеграл

24

I= sin2x cos3xdx.

Решение. Выполним подстановку t=sinx , тогда dt=cosxdx , следовательно:

=t3/3 - t5/5 + c = 13 sin3x - 15 sin 5x +c.

Пример 7. Найти интеграл I = sin4xdx.

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение, применив формулу понижения порядка, известную из тригонометрии:

=14 (1-2cos2x + (1+cos4x)/2)dx =

=83 x- 14 sin2x + 321 sin4x +c.

Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=5− x2; y=x+3.

Решение. Сделаем чертеж (рис.1). Найдем абсциссы точек пересечения линий: y=5-x2 ,y=x+3. Для этого приравня-

ем правые части уравнений

5-x2=x+3.

Решая полученное уравнение, найдем

x1=-2, x2=1.

Bоспользуемся формулой площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=y(x), x=a, x=b, y=0:

25

=a sin 6 (a>0).

Решение. Для построения графика линии, заданной в

26

гих значениях n с точностью до целого числа полных оборо-

Ограниченная этим графиком фигура называется шестилепестковой розой. Отметим, что линия = a sin k является графиком k-лепестковой розы, первый лепесток которой со-

наибольшего возрастания функции z ( т.е. grad z ) в точке А и скорость ее изменения в этом направлении; 2) производную

функции z в точке А по направлению вектора а ; 3) экстремум функции z = f (x,y).

Решение. 1) Градиент функции z имеет вид

27

28

Разделяя переменные, приходим к уравнению сtg у dy = tg x dx. Интегрируем:

(Постоянная интегрирования обозначена ln c ). Отсюда находим sin y =c/cos x или sin y cos x =c - общее решение уравнения.

Пример 12. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

(1+ х 2 )dy +ydx=0.

dy

Решение. Преобразуем уравнение к виду = –

у

неизвестная функция, после чего уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.

u х = 1+ u. Решаем полученное уравнение с разделяющимися

29

ренциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию.

ния двух функций y = u(x) v(x), вычисляя производную, полу-

30