Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

математика 341-2008

.pdf
Скачиваний:
16
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
916.44 Кб
Скачать

Пример 4. (Интегрирование дробно-рациональной функции). Найти интеграл

I=

x5

2x4 x2 3

dx .

(x 1)

2

(x

2

1)

 

 

 

 

 

Метод интегрирования дробно-рациональной функции заключается в разложении данной дроби на сумму многочлена и элементарных дробей и последующем интегрированием каждого слагаемого этого разложения. Рассмотрим эти два этапа решения на нашем примере.

Решение. 1). Подынтегральная функция имеет вид

f (x) P(x) , где P(x) и Q(x) суть многочлены степени 5 и 4,

Q(x)

соответственно:

P(x) =x5+2x4-x2+3; Q(x)= (x-1)2(x2+1).

Однако прежде чем искать разложение дроби f (x) P(x) на

Q(x)

сумму элементарных дробей, следует выделить из данной дроби целую часть (т.е. некоторый многочлен) и правильную дробь т.е. такую дробь, в которой степень числителя меньше степени знаменателя. С этой целью преобразуем знаменатель Q(x) = x4 - 2x3+ 2x 2- 2x +1, после чего разделим многочлен P(x) на многочлен Q(x). Таким образом, получим

f (x)

P(x)

=x+4 +

6x3 7x2 7x 1

.

(1)

Q(x)

(x 1)2

(x2 1)

 

 

 

 

 

Последняя дробь уже является правильной, поскольку степень числителя R(x)= 6x3-7x2+7x-1 меньше степени знаменателя. Многочлен Q(x) имеет корень x=1 кратности два, а также пару комплексно-сопряженных корней x=+i, x=-i поэтому разложение дроби R(x)/Q(x) следует искать в виде :

6x3 7x2 7x 1

=

A

 

B

 

Cx D

,

(2)

(x 1)2

(x2 1)

 

 

 

 

 

(x 1)2

x 1

x2 1

 

 

 

 

 

21

где числа А,В,С,D могут быть определены при помощи метода неопределенных коэффициентов. Приведем дроби, стоящие в правой части формулы (2) , к общему знаменателю:

 

6x3 7x2 7x 1

=

 

 

 

 

(x 1)2 (x2 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(x3 1) B(x 1)(x2

1) (Cx D)(x 1)

2

,

(3)

 

(x 1)2

(x2 1)

 

 

 

 

 

после чего приравняем числители в тождестве (3):

6x3-7x2+7x-1 =A(x2+1)+B (x-1)(x2+1)+(Cx+D) (x-1)2.

Положив в тожестве (4) х =1, найдем А=5/2. Остальные коэффициенты разложения (2) можно определить, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х в левой и правой частях тождества (4). В результате такого сравнения получим систему линейных уравнений относительно

неизвестных В,С, D следующего вида

 

 

 

х3

В + С= 6

 

 

 

 

 

 

 

 

х2

5/2- В- 2С +D =-7

 

 

 

 

 

 

х1

B+C -2D =7

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

5/2 -B +D = -1

 

 

 

 

 

 

 

Из этой системы последовательно находим

 

D = -1/2; В =3; С = 3.

 

 

 

 

 

 

Таким образом, разложение (2) принимает вид:

 

 

6x3 7x2 7x 1

=

5

 

3

 

 

3x 1 / 2

,

 

 

(x 1)2 (x2 1)

 

 

 

 

 

 

 

2(x 1)2

x 1

x2 1

 

 

 

 

 

 

откуда, возвращаясь к формуле (1), получаем новое выражение для подынтегральной функции, а именно:

f (x)= x+4 +

5

 

3

 

 

3x 1 / 2

.

(5)

2(x 1)2

x 1

 

 

 

 

x2 1

 

22

2).После проделанных преобразований нахождение исходного интеграла сводится к нахождению суммы либо табличных интегралов, либо интегралов, легко приводящихся к табличным. Из формулы (5) последовательно получаем:

 

 

 

 

I=

f(x)dx=

xdx+ 4dx+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+5/2

 

dx

3

dx

 

 

 

 

3x 1 / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

(x 1)2

x 1

 

x2 1

 

 

=

 

x2

 

4x

5

 

(x 1) 2 d (x 1) 3

 

d (x 1)

 

 

3x 1 / 2

dx =

 

2

 

2

 

 

 

x 1

 

x2 1

=

 

x2

 

4x

 

5

 

(x 1) 3ln(x 1)

3x 1 / 2

dx

 

 

(6)

 

2

 

 

2

 

 

 

x

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения последнего интеграла в формуле (6) проведем еще ряд несложных преобразований:

 

 

 

3x 1 / 2

dx

 

 

3x

dx

 

1

 

 

 

 

dx

=

3

 

 

 

2xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

1

x

2

1

2

 

 

x

2

1

2

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

dx

 

 

3

ln(x2 1)

1

arctgx c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oкончательно получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I=

x2

 

4x

 

 

5

 

 

 

 

3ln(x 1)

3

ln(x2

1)

 

1

arctgx C ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

где С - произвольная постоянная.

Замечание 1. В случае, когда заданная подынтегральная функция представляет собой правильную дробь, производить деление числителя на знаменатель не нужно, а следует сразу переходить к разложению этой дроби на сумму элементарных дробей.

Замечание 2. При разложении правильной дроби на сумму элементарных дробей с помощью метода неопределенных

23

коэффициентов необходимо иметь в виду следующее . Если многочлен, стоящий в знаменателе исходной дроби, имеет вещественный корень х0 кратности к 1, то этому корню должна отвечать ( в разложении на элементарные дроби ) группа членов, состоящая в точности из к слагаемых следующего вида:

Ak

 

 

Ak 1

...+

A2

 

 

A1

 

 

+

 

 

 

+

 

.

(x x

)k

(x x )k 1

(x x

)2

(x x )

0

 

 

0

 

0

 

 

0

 

При этом не исключено, что после применения метода неопределенных коэффициентов какие-то из чисел Аi (i=1,2,...,k) могут оказаться равными нулю.

Пример 5. (Интегрирование иррациональных функций). Найти интеграл

dx

I 2x 1(1 32x 1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Легко видеть, что подстановка

6 2x 1 z

преобразует

подынтегральное выражение

к

дробно-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рациональному виду. В самом деле, если 6

 

2x 1 z ,

то 2x-

1=z6 , откуда dx=3z5dz, 3

 

 

z2 , 2

 

 

 

2x 1

2x 1 z3

. Поэто-

му

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3z5dz

 

= 3

z 2dz

 

 

 

 

 

 

 

 

z3 (z2 1)

(z 2 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дальше можно применять уже известный метод интегрирования дробно-рациональных функций, однако в данном случае удобно применить следующий искусственный прием, который быстро приводит к цели:

3

z2dz

= 3

(1 z2 ) 1

dz = 3

(1

1

)dz =

(z2 1)

(z2 1)

 

(z2 1)

 

 

 

 

 

 

=3z − 3arctg z+C = 3 6 2x 1 - 3arctg 6

 

2x 1 +c.

Пример 6. (Интегрирование тригонометрических функций). Найти интеграл

24

I= sin2x cos3xdx.

Решение. Выполним подстановку t=sinx , тогда dt=cosxdx , следовательно:

I=

=

 

sin2 x cos 2x cosx dx= sinx (1-sin2x) cosxdx=

 

t2 (1-t2)dt = (t2-t4)dt=

=t3/3 - t5/5 + c = 13 sin3x - 15 sin 5x +c.

Пример 7. Найти интеграл I = sin4xdx.

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение, применив формулу понижения порядка, известную из тригонометрии:

I=

sin4x dx=

(sin2x)2dx =

1

 

(1-cos2x)2dx=

4

 

 

 

 

 

 

 

=

1

(1-2 cos2x +cos22x)dx=

 

4

 

 

 

 

 

 

 

=14 (1-2cos2x + (1+cos4x)/2)dx =

=83 x- 14 sin2x + 321 sin4x +c.

Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=5− x2; y=x+3.

Решение. Сделаем чертеж (рис.1). Найдем абсциссы точек пересечения линий: y=5-x2 ,y=x+3. Для этого приравня-

ем правые части уравнений

5-x2=x+3.

Решая полученное уравнение, найдем

x1=-2, x2=1.

Bоспользуемся формулой площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=y(x), x=a, x=b, y=0:

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(x)dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

нашем

случае

площадь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

фигуры можно получить как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разность площадей

S1

и S2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

двух

криволинейных

трапе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ций,

ограниченных

линиями

 

 

 

 

- 2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y=5−x2

и

y=x+3,

соответ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ственно. В результате полу-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

1

 

 

S=S1−S2=

 

(5-x2) dx −

 

 

(x+3) dx=

(2 -x−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−x2) dx = (2x -x2/2- x3/3)

1 2 =

 

 

 

 

 

 

= (2 -1/2 -1/3) - (- 4 -1/2+8/3) = 4,5 (кв.ед)

 

 

Пример 9.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной

линией

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=a sin 6 (a>0).

Решение. Для построения графика линии, заданной в

полярной системе координат

( ,

)

уравнением вида

 

= ( ),

необходимо вна-

у

чале установить при каких

 

значениях

полярного угла

 

 

выполняется

неравен-

х

ство (

) 0 , обуслов-

 

ленное тем, что полярный

O

радиус , являясь расстоя-

 

 

 

 

 

нием от начала координат,

 

всегда неотрицателен.

Рис. 2

 

В

нашем

случае

sin6 0, откуда

 

 

 

26

2 n 6 2 n+

или n/3

n/3+ /6 Здесь до-

статочно ограничиться значениями

n=0,1,2,3,4,5, т.к. при дру-

гих значениях n с точностью до целого числа полных оборо-

тов полярного луча для

будет получаться то же самое.

Задаваясь значениями

i (i=1,2...) и вычисляя соответству-

ющие i= ( i)

можно построить график линии (рис. 2)

Ограниченная этим графиком фигура называется шестилепестковой розой. Отметим, что линия = a sin k является графиком k-лепестковой розы, первый лепесток которой со-

ответствует

 

 

[0, /k]. В случае

=a cosk ,

т.е. =a

sink( + /2k)

мы имеем дело с той же

k-лепестковой ро-

зой, только повернутой на угол /2k

по часовой стрелке. Для

нахождения

площади

 

фигуры,

ограниченной

линией

= ( )и двумя лучами

 

= ,

=

, ( < )

исполь-

зуется формула

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S=

 

 

 

2( )d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В нашем случае достаточно вычислить площадь одного

лепестка (0 /6

) и ушестерить ее. Поэтому

 

S=6 a2sin26 d =

 

 

 

/6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=3a2

(1-cos12 )/2d =3/2a2( -sin12 /12)

= a2/4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 10. Даны: функция z = х2 + ху + у 2 , точка

 

 

 

 

 

A(1,2), и вектор

а = 2 i

j . Требуется найти: 1) направление

наибольшего возрастания функции z ( т.е. grad z ) в точке А и скорость ее изменения в этом направлении; 2) производную

функции z в точке А по направлению вектора а ; 3) экстремум функции z = f (x,y).

Решение. 1) Градиент функции z имеет вид

 

 

 

 

j .

grad z = = zx i + z y

27

Вычислим частные производные в точке А. Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = 2х + у;

 

z

 

 

 

 

= 4;

 

 

 

= 2у + х;

 

 

 

 

z

= 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

grad z = 4 i + 5 j ,

 

а скорость изменения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции в этом направлении равна grad z =

 

42 52

 

 

 

 

 

 

41.

 

2) Производная по направлению вектора определяется по фор-

муле

z

z

cos z

sin , где угол, образованный векто-

 

 

а

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ром

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

осью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОХ.

 

Тогда

 

cos

ах

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

a2

 

 

 

 

4 1

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя значения производных в точке

А, найденные ра-

нее, получим

 

 

z

 

3

 

2

 

5

 

1

 

 

11

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

5

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Найдем точки возможного экстремума. Для этого ре-

шим систему уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z'x

 

 

0,

 

 

2x

 

 

y 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

2 y 0

 

 

 

 

 

 

 

 

z' y

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

решения которой

 

 

x = 0,

y = 0. Следовательно, точка

O(0,0) –

точка возможного экстремума.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z"

 

 

2,

 

 

 

 

 

 

 

z"

 

 

1,

 

 

z"

 

2,

z"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

yy

 

 

z"

(z" )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

Так как

3 0, z"

2 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx

 

yy

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

O(0,0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то в точке

O(0,0)

данная функция имеет минимум.

 

 

 

 

Пример 11.

 

 

Найти общее решение дифференциального-

уравнения

 

у = tg x tgy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

Решение. Полагая у

 

=

dy

, получим

dy

= tg x tg y .

 

dx

dx

Разделяя переменные, приходим к уравнению сtg у dy = tg x dx. Интегрируем:

 

сtg у dy= tg x dx, или ln

 

sin y

 

= ln

 

cos x

 

+ln c.

 

 

 

 

(Постоянная интегрирования обозначена ln c ). Отсюда находим sin y =c/cos x или sin y cos x =c - общее решение уравнения.

Пример 12. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

(1+ х 2 )dy +ydx=0.

dy

Решение. Преобразуем уравнение к виду =

у

 

 

. Интегрируя получим

 

dy

=

 

 

dx

, или ln

 

у

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x 2

у

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

arctg x +

c. Общее

решение

можно

 

записать

в

 

виде

 

y

ес arctgx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 13. Найти общее решение однородного

диффе-

ренциального уравнения

х у = х +2 у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Однородное

дифференциальное

уравнение

первого порядка можно привести к виду

у

 

= f

(

х

 

 

 

 

 

 

у ). Чтобы

решить уравнение проводят замену

y x u , где

 

u(x) – новая

неизвестная функция, после чего уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.

 

Преобразуя

исходное уравнение, получим у =

х 2 y

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

у

=1

2 х

- однородное уравнение. Полагаем

y x u ,

 

тогда

у = u + x u . Уравнение запишется

x u +u =1

+ 2u или

u х = 1+ u. Решаем полученное уравнение с разделяющимися

29

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

du

 

 

 

dx

переменными

 

 

 

x

=1 + u или

 

 

 

=

 

 

 

 

 

, интегрируем

 

dx

1 u

 

 

 

 

x

 

 

 

du

=

dx

, получим ln

 

1 u

 

= ln

 

x

 

+ ln

 

с

 

. Откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

1

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+u =cx

или

 

u= cx

- 1. Возвращаясь к старому переменно-

му у по формуле u= y

x

, получим обще решение у сх 2 х .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 14. Найти частное решение линейного диффе-

ренциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию.

 

 

 

2 y

3

 

 

 

 

= (х 1) , у (0) = 1.

у

х 1

 

Решение.

Решение уравнения ищем в виде произведе-

ния двух функций y = u(x) v(x), вычисляя производную, полу-

чим

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= u (x)v(x) v (x)u(x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После подстановки в уравнение, запишем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2uv

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u v v u

 

 

 

 

== (х 1)

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х 1) = (х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u v u(v

 

 

1)

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выберем функцию

v(x)

 

такой, чтобы выполнялось усло-

 

 

 

 

 

 

 

 

2v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вие

v

х 1

=0. Разделяя переменные в этом уравнении,

 

 

находим

 

dv

 

2v

или

 

dv

 

 

2dx

 

. После интегрирования

 

 

 

х 1

 

 

х 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обеих частей равенства, получим

 

 

ln

 

v

 

 

=

 

 

2 ln

 

x 1

 

+ с, т.к.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

достаточно найти хотя бы

 

 

одно решение

отличное от нуля,

то положим

с = 0.

Тогда

 

 

v(x)

= (х 1)2 . Подставляя найден-

ное значение

 

v(x)

в исходное уравнение и учитывая, что

 

 

 

2v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

du

v

 

 

 

 

=0,

 

запишем

u (х 1)

 

 

= (х 1)

 

 

или

 

 

x 1,

 

х 1

 

 

 

 

 

 

dx

30

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]