математика 341-2008
.pdfоткуда после интегрирования получим u(х) |
1 |
(х 1)2 |
c . |
|
2 |
||||
|
|
|
Окончательно общее решение запишется y = u(x) v(x) 12 (х 1)4 c(х 1)2 .
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному
условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у (0) = 1. у (0) |
1 |
c = 1. Откуда |
|
с |
1 |
, тогда частное |
||||
2 |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
решение запишется |
у |
1 |
(х 1)4 |
|
1 |
(х 1)2 . |
||||
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
Пусть имеем уравнение
y py qy f (x) , |
(1) |
где p и q - действительные числа.
Для уравнения с постоянными коэффициентами в некоторых
случаях частное решение можно найти, не прибегая к интегри-
рованию.
1. Пусть правая часть уравнения (1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т.е.
имеет вид f x P (x)e x , |
где P (x) - многочлен n –й степе- |
n |
n |
ни. Тогда возможны случаи: |
|
а) Число не является корнем характеристического урав-
нения k 2 pk q 0. В этом случае частное решение нужно ис-
кать в виде
31
y Q |
(x)e x (A xn A xn 1 |
.. A )e x . |
(2) |
|
n |
0 |
1 |
n |
|
где Qn (x) - многочлен степени n с неизвестными коэффициен-
тами. Подставляя выписанное решение в уравнение (1) и при-
равнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему n+1 уравнений для определения неизвестных коэффициентов A0 , A1 , A2 ,..., An .
б) Число есть корень характеристического уравнения кратности r. Частное решение нужно искать в виде
y xr Qn (x)e x .
Пример 15. Найти общее решение уравнения. y 9 y (x 2 1)e3x .
Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
k 2 9 0, |
k |
1,2 |
3i. |
|
|
|
Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения
y C1 cos3x C2 sin 3x .
Правая часть данного неоднородного уравнения (x 2 1)e3x имеет вид P2 (x)e3x . Так как коэффициент 3 в показателе степени не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме y Q2 (x)e3x , т.е. поло-
жим y ( Ax2 Bx C)e3x . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь
[9( Ax2 Bx C) 6(2Ax B) 2A 9( Ax2 Bx C)]e3x (x 2 1)e3x .
32
Сокращая на e3x и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим
|
18A 1, 12A 18B 0 , |
|
2A 6B 18C 1, |
||||||||||||
откуда |
A 1/ 18, |
B 1/ 27., |
|
C 5 / 81. |
Следовательно, |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
5 |
|
|
3x |
|
|
частное решение будет y |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
e |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
18 |
|
|
|
27 |
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
x |
5 |
3x |
|
|||
Общее решение y C1 cos3x C2 sin 3x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
e |
|
. |
|||||||
18 |
|
27 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
||||||
Пример 16. Найти общее решение уравнения. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
y 7 y 6 y (x 2)e x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Общее решение будет иметь вид y y y . |
|
|||||||||||||||||
Общее решение соответствующего однородного уравнения |
|
|||||||||||||||||
|
|
C e6x C |
|
e x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правая часть данного неоднородного уравнения (x 2)e x имеет вид P1 (x)e1x . Так как коэффициент 1 в показателе степени является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме y x(Ax B)ex . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь
[(Ax2 Bx) (4Ax 2B) 2A 7( Ax2 Bx) 7(2Ax B) 6( Ax2 Bx)]ex
(x 2)ex .
или ( 10Ax 5B 2A)ex (x 2)ex.
Сокращая на e x и приравнивая коэффициенты при одинако-
вых степенях х, получим
10A 1, |
5B 2A 2 , |
откуда |
A 1/ 10, |
B 9 / 25. |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
9 |
|
x |
|
|
Следовательно, частное решение будет y x |
|
|
|
x |
|
e |
|
. |
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
25 |
|
|
|
33
|
y C1e |
6 x |
C2e |
x |
|
|
1 |
|
x |
9 |
|
x |
|
|
Общее решение |
|
|
+ x |
|
|
|
|
e |
|
. |
||||
|
|
10 |
25 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Пусть правая часть уравнения имеет вид |
|
f (x) e x (P(x) cos x Q(x)sin x) , |
где |
P(x), Q(x) - многочлены от х. Тогда форма частного |
решения определяется следующим образом:
а) если + i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (1) следует искать в виде y e x (U (x) cos x V (x)sin x) ,
где |
U(x), |
V (x) - многочлены, степень которых равна |
наивысшей степени многочленов P(x), Q(x) ; |
||
|
б) если |
+ i является корнем характеристического |
уравнения, то частное решение уравнения (1) следует искать в виде y xe x [U (x) cos x V (x)sin x].
Пример 17. Найти общее решение линейного неоднород-
ного уравнения
y 4 y cos2x.
Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .
Найдем общее решение соответствующего однородного урав-
нения Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
k 2 4 0, |
k |
1 |
2i, |
k |
2 |
2i. |
|
|
|
|
|
Общее решение соответствующего однородного уравнения y C1 cos2x C2 sin 2x. .
34
Правая часть данного неоднородного уравнения cos2x , оче-
видно, что i =2 i является корнем характеристического урав-
нения, частное решение будем искать в форме y x(Acos x B sin x),
где А и В – неизвестные коэффициенты.
Найдем производные y :
y 2x( Asin 2x B cos 2x) ( Acos 2x B sin 2x), y 4x( Acos 2x B sin 2x) 4( Asin 2x B cos 2x).
Подставляя выражения |
y и производных в |
заданное |
|||||||
уравнение и приравнивая коэффициенты при |
cos2x |
и sin 2x , |
|||||||
получим два уравнения для определения А и В: |
|
||||||||
4B 1, |
4A 0 . |
|
|
|
|||||
Откуда |
A 0, |
B 1/ 4. Следовательно, |
частное реше- |
||||||
ние y |
1 |
x sin x . Общее решение будет иметь вид |
|
||||||
|
|
||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y C |
cos2x C |
|
sin 2x + |
1 |
x sin x . |
|
|
||
2 |
|
|
|
||||||
1 |
|
4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 18. Найти общее решение линейного неоднород-
ного уравнения
y y 3e2x cos x.
Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .
Найдем общее решение соответствующего однородного урав-
нения. Составим характеристическое уравнение и найдем его
корни
k 2 1 0, |
k |
1 |
1, |
k |
2 |
1. |
|
|
|
|
|
35
Общее решение соответствующего однородного уравнения
y C1e x C2 e x . .
Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид
f(x) e x (M cos x N sin x) ,
вданном случае 2, 1, M 3, N 0 .Так как число
+ i =2 + i не является корнем характеристического урав-
нения, то частное решение будем искать в форме
y e2 x (Acos x B sin x),
Найдем производные y :
y 2e2x (Acos x B sin x) e2x ( Asin x B cos x),
y 4e2 x ( Acos x B sin x) 4e2 x ( Asin x B cos x)e2 x ( Acos x B sin x).
Подставим выражения y и производных в заданное уравнение,
получим после приведения подобных членов
(2A 4B)e2x cos x ( 4A 2B)e2x sin x 3e2x cos x.
Сократим на e 2 x |
и |
приравняем коэффициенты при cos x и |
||||||||
sin x , получим два уравнения для определения А и В: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2A 4B 3, |
4A 2B 0 , |
|||
откуда |
|
|
|
A 3 / 10, |
B 3 / 5. Запишем частное решение |
|||||
y e |
2 x |
|
3 |
|
cos x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x .Общее решение будет иметь вид |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
10 |
|
5 |
|
|
|
36
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
y C e x C |
2 |
e x e 2 x |
|
|
cos x |
|
|
sin x . |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
10 |
|
|
5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 19. Найти частное решение линейного неодно- |
|||||||||||
родного |
уравнения, |
удовлетворяющее |
начальным условиям. |
||||||||
y(0) 1, |
y (0) 2. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y 2 y cos x 3sin x.
Решение. Найдем вначале общее решение, которое будет иметь вид y y y . Чтобы найти общее решение соответству-
ющего однородного уравнения y , составим характеристиче-
ское уравнение и найдем его корни
k 2 k 2 0, |
k |
1 |
1, |
k |
2 |
2. |
|
|
|
|
|
Общее решение соответствующего однородного уравнения
y C1e x C2 e 2x . .
Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид f (x) e x (M cos x N sin x) ,
в данном случае 0, 1, i i, M 1, N 3 . Так как
число + i = i не является корнем характеристического
уравнения, то частное решение будем искать в форме
y (Acos x B sin x),
y Asin x B cos x, y Acos x B sin x.
37
Подставим выражения y и производных в заданное уравнение,
получим после приведения подобных членов
(B 3A) cos x ( A 3B) sin x cos x 3sin x.
Приравняем коэффициенты при |
cos x |
и |
sin x , получим два |
||||||||||
уравнения для определения А и В: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
B 3A 1, |
|
3B A 3. , |
|
|||||
откуда |
|
|
A 0, |
B 1. |
Следовательно, |
частное реше- |
|||||||
ние y sin x .Общее решение |
будет иметь вид |
||||||||||||
|
|
|
|
y C e x |
C |
2 |
e 2x |
sin x . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем С1, |
С2, используя начальные условия |
|||||||||||
C e0 |
C |
2 |
e0 |
sin 0 1; |
|
|
|
C1 C2 |
1; |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2C2 1 2. |
|
||||
C1e0 2C2 e0 |
cos0 2, |
|
C1 |
|
Отсюда С1=1, С2=0. y e x sin x .
38
Приложение
Таблица интегралов
|
xa1 |
1. xadx a 1 c a 1 . |
|
2. dx ln x c x 0 . |
|
x |
|
3. axdx |
ax c a 0;a 1 . |
|
ln a |
4.exdx ex c .
5.sin xdx cos x c .
6.cos xdx sin x c .
7. |
|
|
dx |
|
|
tgx c . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
cos |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8. |
|
|
|
dx |
|
|
ctgx c . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
sin |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin x c |
|
|
||||||||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 x2 |
|
arccos x |
c |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgx c |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x 2 |
|
arcctgx |
c |
|
|
|||||||||||||||||||||
11. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
ln |
x |
|
x 2 a 2 |
c . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
12. |
|
|
|
x 2 a 2 |
|
|
a x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
1 |
ln |
|
|
c . |
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
2a |
a x |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
13. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
x / a t |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
a 2 x 2 |
a 1 x 2 / a 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin t c |
|
|
arcsin |
x |
c |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos t c |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
|
c |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
arctg |
x |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a 2 |
x 2 |
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcctg |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления/ Н.С. Пискунов. М.: Интеграл-Пресс, 2003. Т.1.
2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. пособие для втузов. В 2-х т. / Н.С. Пискунов. М.: Интеграл-Пресс, 2002. Т.2.
3.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для студентов втузов /П.Е. Данко, А.Г. Попов Т.Я. Кожевникова. М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2003. Ч.1
4.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для студентов втузов /П.Е. Данко, А.Г. Попов Т.Я. Кожевникова. М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2003. Ч.2.
5.Задачи и упражнения по математическому анализу / под ред. Б.П. Демидовича. М.: «Наука», 1978.
40