Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

математика 341-2008

.pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
916.44 Кб
Скачать

откуда после интегрирования получим u(х)

1

(х 1)2

c .

2

 

 

 

Окончательно общее решение запишется y = u(x) v(x) 12 (х 1)4 c(х 1)2 .

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному

условию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у (0) = 1. у (0)

1

c = 1. Откуда

 

с

1

, тогда частное

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

решение запишется

у

1

(х 1)4

 

1

(х 1)2 .

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Пусть имеем уравнение

y py qy f (x) ,

(1)

где p и q - действительные числа.

Для уравнения с постоянными коэффициентами в некоторых

случаях частное решение можно найти, не прибегая к интегри-

рованию.

1. Пусть правая часть уравнения (1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т.е.

имеет вид f x P (x)e x ,

где P (x) - многочлен n й степе-

n

n

ни. Тогда возможны случаи:

 

а) Число не является корнем характеристического урав-

нения k 2 pk q 0. В этом случае частное решение нужно ис-

кать в виде

31

y Q

(x)e x (A xn A xn 1

.. A )e x .

(2)

n

0

1

n

 

где Qn (x) - многочлен степени n с неизвестными коэффициен-

тами. Подставляя выписанное решение в уравнение (1) и при-

равнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему n+1 уравнений для определения неизвестных коэффициентов A0 , A1 , A2 ,..., An .

б) Число есть корень характеристического уравнения кратности r. Частное решение нужно искать в виде

y xr Qn (x)e x .

Пример 15. Найти общее решение уравнения. y 9 y (x 2 1)e3x .

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

k 2 9 0,

k

1,2

3i.

 

 

 

Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения

y C1 cos3x C2 sin 3x .

Правая часть данного неоднородного уравнения (x 2 1)e3x имеет вид P2 (x)e3x . Так как коэффициент 3 в показателе степени не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме y Q2 (x)e3x , т.е. поло-

жим y ( Ax2 Bx C)e3x . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

[9( Ax2 Bx C) 6(2Ax B) 2A 9( Ax2 Bx C)]e3x (x 2 1)e3x .

32

Сокращая на e3x и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим

 

18A 1, 12A 18B 0 ,

 

2A 6B 18C 1,

откуда

A 1/ 18,

B 1/ 27.,

 

C 5 / 81.

Следовательно,

 

 

 

1

 

2

 

1

 

 

5

 

 

3x

 

частное решение будет y

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

e

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

27

 

 

81

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

1

 

x

5

3x

 

Общее решение y C1 cos3x C2 sin 3x

 

 

x

 

 

 

 

 

e

 

.

18

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

81

 

 

Пример 16. Найти общее решение уравнения.

 

 

 

 

 

 

y 7 y 6 y (x 2)e x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .

 

Общее решение соответствующего однородного уравнения

 

 

 

C e6x C

 

e x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правая часть данного неоднородного уравнения (x 2)e x имеет вид P1 (x)e1x . Так как коэффициент 1 в показателе степени является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме y x(Ax B)ex . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

[(Ax2 Bx) (4Ax 2B) 2A 7( Ax2 Bx) 7(2Ax B) 6( Ax2 Bx)]ex

(x 2)ex .

или ( 10Ax 5B 2A)ex (x 2)ex.

Сокращая на e x и приравнивая коэффициенты при одинако-

вых степенях х, получим

10A 1,

5B 2A 2 ,

откуда

A 1/ 10,

B 9 / 25.

 

 

 

 

 

1

 

 

9

 

x

 

Следовательно, частное решение будет y x

 

 

 

x

 

e

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

25

 

 

 

33

 

y C1e

6 x

C2e

x

 

 

1

 

x

9

 

x

 

Общее решение

 

 

+ x

 

 

 

 

e

 

.

 

 

10

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Пусть правая часть уравнения имеет вид

 

f (x) e x (P(x) cos x Q(x)sin x) ,

где

P(x), Q(x) - многочлены от х. Тогда форма частного

решения определяется следующим образом:

а) если + i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (1) следует искать в виде y e x (U (x) cos x V (x)sin x) ,

где

U(x),

V (x) - многочлены, степень которых равна

наивысшей степени многочленов P(x), Q(x) ;

 

б) если

+ i является корнем характеристического

уравнения, то частное решение уравнения (1) следует искать в виде y xe x [U (x) cos x V (x)sin x].

Пример 17. Найти общее решение линейного неоднород-

ного уравнения

y 4 y cos2x.

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .

Найдем общее решение соответствующего однородного урав-

нения Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

k 2 4 0,

k

1

2i,

k

2

2i.

 

 

 

 

 

Общее решение соответствующего однородного уравнения y C1 cos2x C2 sin 2x. .

34

Правая часть данного неоднородного уравнения cos2x , оче-

видно, что i =2 i является корнем характеристического урав-

нения, частное решение будем искать в форме y x(Acos x B sin x),

где А и В – неизвестные коэффициенты.

Найдем производные y :

y 2x( Asin 2x B cos 2x) ( Acos 2x B sin 2x), y 4x( Acos 2x B sin 2x) 4( Asin 2x B cos 2x).

Подставляя выражения

y и производных в

заданное

уравнение и приравнивая коэффициенты при

cos2x

и sin 2x ,

получим два уравнения для определения А и В:

 

4B 1,

4A 0 .

 

 

 

Откуда

A 0,

B 1/ 4. Следовательно,

частное реше-

ние y

1

x sin x . Общее решение будет иметь вид

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

y C

cos2x C

 

sin 2x +

1

x sin x .

 

 

2

 

 

 

1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 18. Найти общее решение линейного неоднород-

ного уравнения

y y 3e2x cos x.

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .

Найдем общее решение соответствующего однородного урав-

нения. Составим характеристическое уравнение и найдем его

корни

k 2 1 0,

k

1

1,

k

2

1.

 

 

 

 

 

35

Общее решение соответствующего однородного уравнения

y C1e x C2 e x . .

Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид

f(x) e x (M cos x N sin x) ,

вданном случае 2, 1, M 3, N 0 .Так как число

+ i =2 + i не является корнем характеристического урав-

нения, то частное решение будем искать в форме

y e2 x (Acos x B sin x),

Найдем производные y :

y 2e2x (Acos x B sin x) e2x ( Asin x B cos x),

y 4e2 x ( Acos x B sin x) 4e2 x ( Asin x B cos x)e2 x ( Acos x B sin x).

Подставим выражения y и производных в заданное уравнение,

получим после приведения подобных членов

(2A 4B)e2x cos x ( 4A 2B)e2x sin x 3e2x cos x.

Сократим на e 2 x

и

приравняем коэффициенты при cos x и

sin x , получим два уравнения для определения А и В:

 

 

 

 

 

 

2A 4B 3,

4A 2B 0 ,

откуда

 

 

 

A 3 / 10,

B 3 / 5. Запишем частное решение

y e

2 x

 

3

 

cos x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x .Общее решение будет иметь вид

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

5

 

 

 

36

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

y C e x C

2

e x e 2 x

 

 

cos x

 

 

sin x .

 

 

 

 

 

 

1

 

10

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 19. Найти частное решение линейного неодно-

родного

уравнения,

удовлетворяющее

начальным условиям.

y(0) 1,

y (0) 2. .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y 2 y cos x 3sin x.

Решение. Найдем вначале общее решение, которое будет иметь вид y y y . Чтобы найти общее решение соответству-

ющего однородного уравнения y , составим характеристиче-

ское уравнение и найдем его корни

k 2 k 2 0,

k

1

1,

k

2

2.

 

 

 

 

 

Общее решение соответствующего однородного уравнения

y C1e x C2 e 2x . .

Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид f (x) e x (M cos x N sin x) ,

в данном случае 0, 1, i i, M 1, N 3 . Так как

число + i = i не является корнем характеристического

уравнения, то частное решение будем искать в форме

y (Acos x B sin x),

y Asin x B cos x, y Acos x B sin x.

37

Подставим выражения y и производных в заданное уравнение,

получим после приведения подобных членов

(B 3A) cos x ( A 3B) sin x cos x 3sin x.

Приравняем коэффициенты при

cos x

и

sin x , получим два

уравнения для определения А и В:

 

 

 

 

 

 

 

B 3A 1,

 

3B A 3. ,

 

откуда

 

 

A 0,

B 1.

Следовательно,

частное реше-

ние y sin x .Общее решение

будет иметь вид

 

 

 

 

y C e x

C

2

e 2x

sin x .

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем С1,

С2, используя начальные условия

C e0

C

2

e0

sin 0 1;

 

 

 

C1 C2

1;

 

 

1

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2C2 1 2.

 

C1e0 2C2 e0

cos0 2,

 

C1

 

Отсюда С1=1, С2=0. y e x sin x .

38

Приложение

Таблица интегралов

 

xa1

1. xadx a 1 c a 1 .

2. dx ln x c x 0 .

x

 

3. axdx

ax c a 0;a 1 .

 

ln a

4.exdx ex c .

5.sin xdx cos x c .

6.cos xdx sin x c .

7.

 

 

dx

 

 

tgx c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

 

dx

 

 

ctgx c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin x c

 

 

9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

arccos x

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctgx c

 

 

 

 

 

 

 

10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

arcctgx

c

 

 

11.

 

 

 

 

dx

 

 

 

ln

x

 

x 2 a 2

c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

 

 

 

x 2 a 2

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

1

ln

 

 

c .

 

 

 

2

2

2a

a x

 

 

 

 

 

 

a

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39

13.

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

x / a t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2 x 2

a 1 x 2 / a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin t c

 

 

arcsin

x

c

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos t c

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

1

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

arctg

x

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2

x 2

 

1

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcctg

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления/ Н.С. Пискунов. М.: Интеграл-Пресс, 2003. Т.1.

2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. пособие для втузов. В 2-х т. / Н.С. Пискунов. М.: Интеграл-Пресс, 2002. Т.2.

3.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для студентов втузов /П.Е. Данко, А.Г. Попов Т.Я. Кожевникова. М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2003. Ч.1

4.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для студентов втузов /П.Е. Данко, А.Г. Попов Т.Я. Кожевникова. М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2003. Ч.2.

5.Задачи и упражнения по математическому анализу / под ред. Б.П. Демидовича. М.: «Наука», 1978.

40

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]