Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика 341-2008

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

916.44 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

д)

4.a)

в)

д)

5.a)

в)

д)

(x 2 2)4 x 2 dx;

x2 37 x3 dx;

x2e3xdx;

3 x 1dx;

6 x5

ex dx; e2 x 9

x arcsin xdx;

(x 1 1)3x 1 dx;

е)

б)

г)

е)

б)

г)

е)

sin 2	x	cos2	x	dx.

2		2

x 7

x2 x 1 dx;

9x 13

(x 2)2 (x2 1) dx;

sin4 (x / 2)dx.

x 3

x2 6x 10 dx;

6x 7

(x 3)2 (x2 2) dx;sin 2 x cos3 xdx.

6. a)

dx;

б)

2x 1

dx; ..

x(4 ln

4x2 4x 2

в)

x2 cos 3xdx;

г)

12x 14

dx;

д)

x 1

dx;

е) (sin 3x cos 3x)3 dx.

7. a)

arctg2 3x

dx;

б)

4x 3

dx;

2x 6

1 9x

в)

arctgxdx;

г)

2x 4

dx;

д) (6x 2 2)3 x 2 dx;

1			2 1
8. a)		sin			dx;
	x2			x

в) x ln(x 1)dx;

д) x 2 1dx; x 2 1

9. a) ln tg 2x dx; cos2 2x

в) xarctgxdx;

д) x 1dx;

6 x5

10. a) cos(ln x) dx; x

е) sin5 xdx.

б)

dx;

2 3x 2x2

г)

4x 4

dx;

x(x 1) (x

е) sin3

cos2

dx.

б)

dx;

г)

dx;

x(x 1)(x

е) (sin 2x cos 2x)3 dx.

б)		1	dx;


	2	x x2
	2	x x2

в)

д)

11. a)

в)

x2e2xdx;

г)

16x

dx;

x(x 2)(x

dx; е)

sin 2 x cos2 xdx.

x 2( x 2

x 2)

e3x

dx;

б)

x 2

dx;

6 x

2 2x x2

arccos xdx;

г)

dx;

x(x

2)(x

д)	x 1	1	dx;	е) sin 4 x cos3 xdx.
д)			dx;	е) sin 4 x cos3 xdx.
	x 1	1

12.a)

в)

д)

13.a)

в)

д)

sin(1 5x) 1

x ln2 xdx;

	3 2x 3
	2x 3 1dx;

1 tg 5x dx; cos2 5x

x arccos xdx;

cos(1 5x) dx;

б)

x2 1

dx;

4 x

г)

22x 12

dx;

3x)(x

е) cos5 (x / 2)dx.

б)

11x 2

dx;

2 x x

г)

11x 3

dx;

3x)(x

	1				dx; е)	sin 4 xdx.


x 2(	x	2	3
x 2(	x	2		x 2)

14. a) x 3 x2 dx;

в) x3exdx;


д)	3 x		x 1	dx;


		6 x5

e( x 2 )

15. a) x3 dx;

в) (x 1) ln(x2 2x)dx;

д) x 1(1 6 x 1) dx;

б)

dx;

5x x

г)

2x 6

dx;

е) sin3 x cos2 xdx.

б)

x 2

dx;

3x x2

г)

5x 15

dx;

3)(x

е) (sin

cos

)3 dx.

16. a)

dx;

5 x

в)

arctg

xdx;

д)

dx;

x (

17. a)

dx;

x2 arcsin x

в)

x3 sin(x2 )dx;

д)

x 2

dx;

18. a)

cos 7x

dx;

(1 sin 7x)

в)

x arcsin( x2 )dx;

д)

x 1

dx;

19. a)

dx;

в) (x 1)ex 2 2x2dx;

д) x 1dx;

4 x3

1 x

б) 7 4x x2 dx;

5x 20

г) (x2 3x 4)(x2 1) dx;

е) cos4 xdx.

3x 1

б) 1 x x2 dx;

10x 40

г) (x2 3x 4)(x2 4) dx;

е) sin5 (x / 2)dx.

x 3

б) 3 4x 4x2 dx;

15x 25

г) x2 (x2 4x 5) dx;

е) sin3 x cos4 xdx.

б)		7x 1				dx;

	6x		2	x 1

г)				x 2				dx;

	(x	2		x)(x	2
							2)

е) cos4 (x / 2)dx.

20. a)

arccos x x

dx;

б)

dx;

1 x2

5 7x 3x2

в)

x ln(x2 2)dx;

г)

dx;

(x2 x)(x2

д)

x 1

dx;

е) sin 2

cos3

dx.

x 1

Задача 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы: а) в декартовой системе координат, б) в полярной системе координат. В обеих задачах сделать

чертеж
1.	а) у= х2;	у= 2х+3;	б) =a sin 2 .
2.	а) у = 2х2;	у =х/2;	б) =a cos .
3.	а) у = 4х - х2;	у=х;	б) =a cos 4 .

4. 324. а) у = х2 -2х+1; у=-х+3;			б) =a cos 2 .
5.	а) у = х2;	у=3х+4;	б) =a (1- cos ).
6.	а) у = 4х - х2;	у=х+2;	б) =a cos 6 .
	а) у = х2/2+2;	у = х2;
7.			б) =a cos2
8.	а) у = 2х - х2;	у=-х;	б) = sin 3 .
9.	а) у = 2х - х2;	у=х-2;	б) =2 sin 4 .
10.	а) у = х2;	у=-2х+3;	б) = sin 6 .

11.

а) у =- х2/2;

у=х-3/2;

б)

=3 (1+ cos ).

12.

а) у =4х2;

у=-х;

б)

+ sin .

13.

а) у =3х2-2;

у = х2;

б)

+ cos .

а) у = х2-х-3;

14.

у=х;

б)

=1+

2 cos .

а) у = х2;

15.

у=-3х+4;

б) =1+

2 sin .

16.

а) у =2х2-1;

у = х2;

б) =a ( sin + cos ).

17.

а) у = 4 - х2;

у=2х+1;

б) =a ( cos - sin ).

а) у = х2-2х-4;

у=х;

б)

+ cos .

а) у = 3х - х2;

у=2х;

б)

+ sin .

а) у = х2;

у=-2х+3;

б)

=2 (1+ sin ).

Задача 3

Даны: функция z = f (x,y), точка А и вектор а . Требует-

ся

найти: 1)

направление наибольшего возрастания функ-

ции

z (т.е.

grad z) в

точке А и

скорость

ее

изменения в

этом направлении; 2)

производную функции

в точке А по

направлению вектора

а ; 3) экстремум функции

z = f (x,y).

z = х2 – у 2 + 2 xy – 4x,

A(1,2),

а = i +3 j .

z = 5 х2 – у 2 + 2 xy,

A(2,2),

а = 3 i – 4 j .

z = х2 + 2 xy – 4 x + 8 y,

A(3,1),

а = 2 i – 4 j .

z = х2 – у 2 + 2 xy – 2 x + 2 y,

A(1, –2),

а = 3 i + 4 j .

z = х2

– у 2 – 2 xy + 4x + 1,

A(2, –1),

а = 5 i – 12 j .

z = 4 х2

у 2 + 4 x + 2 y + 6,

A(2,3),

а = i +2 j .

z = 5 х2

у 2 – 3 xy + 4,

A(0,2),

а = 4 i + 3 j .

z = 4 х2

+ 9 у 2 – 4 x – 6 y + 3,

A(–1, –1),

а = 12 i +5 j .

z = 2 х2 + 5 у 2 – 4 xy – 8 x + 6,

A(3,2),

а = i + j .

z = 5 х2 + 5 у 2 + 8xy – 18x – 18 y, A(1,3),

10.

а = 2 i – j .

z = 2 xy – 3 х2 – 3 у 2 + 4x + 4 y + 4, A(1,0),

11.

а = i – j .

z = х2 – у 2 + 2xy + 4x,

12.

A(4,1),

а = 2 i +2 j .

z = ху – х2 – 2 у 2 + x + 10 y,

13.

A(2,2),

а = i +2 j .

z = 3 х2

+ 3ху + у 2 – 6x – 2 y + 1 , A(4,3),

14.

а = 3 i – 4 j .

z = х2 +

у 2 + 3xy – x – 4y + 1,

15.

A(5,4),

а = 3 i +5 j .

z = х2 +

у 2 – xy + x + y + 2,

16.

A(4,6),

а = i +3 j .

z = х2 + 2ху – у 2 + 6x – 10 y + 1,

17.

A(2,1),

а = 3 i +3 j .

z = 3 х2

+ 3 у 2 + 5 xy + x – y + 5,

18.

A(5,2),

а = i + j .

z = 4 – 5 х2 – у 2 – 4 xy – 4 x – 2 y, A(1,6),

19.

а = 2 i + 6 j .

z = 3ху – х2 – 3 у 2 – 6 x + 9y – 4,

20.

A(2,8),

а = 2 i + 4 j .

Задача 4

Найти общее решение дифференциального уравнения

первого порядка.

8x 5y

5x 2 y ;

11.

x tg x

;

0 ;

y ln x 0 ;

12.

3х

0 ;

13.

) y

2ху ;

4xуy y

;

14.

;

15. у

x 12 ;

хy 1 0 ;

16.

2х у ;

y tgx cos x

;

17.

(2x 1) y

4x 2y ;

y x cos x

;

18.

y е

0 ;

2xy

1 x

0 ;

19.

1 x ;

1 x2

10. xy

y х 1 0 ;

20.

x 1

(x 1) е .

Задача 5

Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям.

8у 16х

у(0) 0;

2у

у (0) 5.

4у 3cos х;

у(0) 1;

у (0)

2у 3е

2х

;

у(0) 2;

у (0)

2у

2х

у(0) 1;

у (0)

2у

у 2х 4;

у(0) 1;

у (0)

4у 4sin 2х;

у(0) 2;

у (0) 7.

3cos х sin x;

у(0) 0;

у (0)

6у

6х

4х 3;

ó(0) 3;

у (0)

3х

;

у(0) 2;

3у

3е

у (0)

10.

4у

5у

5х

у(0) 0;

у (0)

11.

2у cos х 3sin x;

у(0) 1;

у (0)

12.

4 у (3х 1)е

;

у(0) 0;

у (0) -4.

13.

у 6sin 2х;

у( ) -1;

у ( ) -4.

14.

5у

10х 3;

у(0) 2;

у (0)

15.

2у 1 2х;

у(0) 3;

у (0)

16.

2у

6х

у(0) 1;

у (0)

17.

3у 8е

;

у(0) 2;

4у

у (0)

18.

16у 7 cos 3х;

у(0) 1;

у (0)

19.

9у 2е

3х

;

у(0) 1;

-3.

6 у

у (0)

20.

2у

у х 2;

у(0) 1;

у (0) 2.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2

Пример 1.(Интегрирование с помощью замены перемен-

ной.)

Найти неопределенный интеграл x e x 2 dx .

Решение.

Сделаем замену

переменной x2 t , тогда

2x dx dt,

x dx

1 dt.

Подставляя в подынтегральное выра-

жение, получим

x e

c 2 e

Пример 2. Найти интеграл

x 2

dx .

2x 5

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, выделив в числителе производную знаменателя. Для этого числи-

тель представим в виде x 2 (2x 2) 12 1. Тогда

x 2

2(x 1)

2x 5

В первом интеграле сделаем замену переменной

x2 2x 5 t , 2(x 1)dx dt . Получим
1		2(x 1)		dx	1	1	dt	1	ln t	1	ln x	2	2x 5	c .

2	x	2	2x 5		2	t		2		2

Для вычисления второго интеграла выделим в знаменателе полный квадрат

x 2 2x 5 x 2 2x 1 4 (x 1)2 22

		1			dx	1			d (x 1)	1		x 1		C.
										1
										2 arctg
	(x	1)	2	4		(x 1)	2			2 arctg		2
	(x	1)		4		(x 1)		4				2
Окончательно получим
		x 2			dx 1 ln( x2		2x 5) 1 arctg				x 1		C.
x 2					dx 1 ln( x2		2x 5) 1 arctg						C.
		2x 5			2			2		2
		2x 5						2		2

Пример 3. (Интегрирование по частям). Найти неопределенный интеграл

I = x2cosxdx

Решение. Полагаем u=x2; dv=cosxdx, v=sinx, du=2xdx..

В силу формулы интегрирования по частям udv=uv - vdu,

имеем

I =х2sinx - sinx 2xdx.

Применяя к последнему интегралу еще раз формулу интегри-

рования по частям, получим (теперь уже		u=x, dv=sinxdx)
I =x2sinx -2 (-x cosx +	cosxdx) = x2 sinx+2x cosx - 2 sinx +c.
Замечание. В интегралах вида		xm ln x dx;	xm arctgx
dx за функцию u(x)	следует принимать ln x ,		arctg x со-
ответственно.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.2015116.22 Кб37макроэкономика.doc
#
31.05.201514.2 Mб26Мантуров_Матвеев_ Курс высшей математики_1986.djvu
#
31.05.2015295.94 Кб34маркетинг учебник.docx
#
31.05.20152.48 Mб19Маслоу.doc
#
14.04.2019192.53 Кб10Массовые коммуникации и медиапланирование.docx
#
31.05.2015916.44 Кб21математика 341-2008.pdf
#
31.05.2015849.2 Кб20Математика(КР-3)-3семестр.pdf
#
31.05.20157.29 Mб25Математика.doc
#
31.05.201534.3 Кб13материалка.doc
#
31.05.20153.78 Mб14матмод.rtf
#
26.03.201622.34 Кб79Мед.техника.docx