Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

математика 341-2008

.pdf
Скачиваний:
16
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
916.44 Кб
Скачать

д)

4.a)

в)

д)

5.a)

в)

д)

1

(x 2 2)4 x 2 dx;

x2 37 x3 dx;

x2e3xdx;

3 x 1dx;

6 x5

ex dx; e2 x 9

x arcsin xdx;

1

(x 1 1)3x 1 dx;

е)

б)

г)

е)

б)

г)

е)

sin 2

x

cos2

x

dx.

 

 

2

2

 

x 7

x2 x 1 dx;

9x 13

(x 2)2 (x2 1) dx;

sin4 (x / 2)dx.

x 3

x2 6x 10 dx;

6x 7

(x 3)2 (x2 2) dx;sin 2 x cos3 xdx.

6. a)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

dx;

б)

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

dx; ..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(4 ln

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x)

 

 

 

4x2 4x 2

в)

x2 cos 3xdx;

г)

 

 

 

12x 14

 

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

3)

2

(x

2

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д)

 

 

 

x 1

dx;

 

 

е) (sin 3x cos 3x)3 dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. a)

 

arctg2 3x

dx;

б)

 

 

 

4x 3

 

 

dx;

2

 

x

2

2x 6

 

 

 

1 9x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

arctgxdx;

 

 

г)

 

 

 

2x 4

 

 

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

(x

2

2x

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

1

д) (6x 2 2)3 x 2 dx;

1

 

2 1

 

8. a)

 

sin

 

 

dx;

x2

 

x

в) x ln(x 1)dx;

д) x 2 1dx; x 2 1

9. a) ln tg 2x dx; cos2 2x

в) xarctgxdx;

д) x 1dx;

6 x5

10. a) cos(ln x) dx; x

е) sin5 xdx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

1

 

 

 

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3x 2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

 

 

 

4x 4

 

 

 

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(x 1) (x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

е) sin3

x

 

cos2

x

 

 

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

x2

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(x 1)(x

2

 

1)

 

 

 

 

 

 

е) (sin 2x cos 2x)3 dx.

б)

 

 

1

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x x2

 

 

 

 

в)

д)

11. a)

в)

x2e2xdx;

 

 

 

 

г)

 

16x

 

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(x 2)(x

2

 

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

dx; е)

sin 2 x cos2 xdx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2( x 2

 

3

 

 

 

 

 

 

x 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e3x

dx;

 

 

б)

 

 

 

x 2

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

6 x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2x x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos xdx;

 

 

 

г)

 

 

 

 

5x

 

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(x

2)(x

2

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

д)

 

x 1

1

dx;

е) sin 4 x cos3 xdx.

 

 

 

 

 

x 1

1

 

12.a)

в)

д)

13.a)

в)

д)

sin(1 5x) 1

x ln2 xdx;

 

3 2x 3

2x 3 1dx;

1 tg 5x dx; cos2 5x

x arccos xdx;

cos(1 5x) dx;

 

 

б)

x2 1

dx;

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

4 x

 

 

 

 

 

г)

 

 

 

 

22x 12

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

3x)(x

2

4)

 

 

 

 

 

е) cos5 (x / 2)dx.

 

б)

 

11x 2

dx;

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2 x x

 

 

 

 

 

 

г)

 

 

 

 

11x 3

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

3x)(x

2

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

dx; е)

sin 4 xdx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2(

x

2

3

 

 

 

 

x 2)

 

14. a) x 3 x2 dx;

в) x3exdx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д)

3 x

x 1

dx;

 

 

 

 

 

 

 

6 x5

e( x 2 )

15. a) x3 dx;

в) (x 1) ln(x2 2x)dx;

1

д) x 1(1 6 x 1) dx;

б)

 

 

 

 

 

x

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

5x x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

 

 

 

 

 

2x 6

 

 

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

2x

3)

2

(x

2

 

1)

 

 

 

 

 

 

е) sin3 x cos2 xdx.

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3x x2

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

 

 

 

 

 

 

5x 15

 

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

2x

3)(x

2

 

 

 

 

 

 

 

4)

е) (sin

x

cos

x

)3 dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

13

16. a)

 

 

 

 

 

x2

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д)

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (

 

 

x

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17. a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x2 arcsin x

в)

x3 sin(x2 )dx;

 

 

 

 

д)

 

 

 

 

 

 

3

 

 

x 2

 

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

3

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18. a)

 

 

 

 

 

cos 7x

 

 

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 sin 7x)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

x arcsin( x2 )dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д)

 

 

 

 

6

 

x 1

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19. a)

 

 

 

x2

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) (x 1)ex 2 2x2dx;

д) x 1dx;

4 x3

14

1 x

б) 7 4x x2 dx;

5x 20

г) (x2 3x 4)(x2 1) dx;

е) cos4 xdx.

3x 1

б) 1 x x2 dx;

10x 40

г) (x2 3x 4)(x2 4) dx;

е) sin5 (x / 2)dx.

x 3

б) 3 4x 4x2 dx;

15x 25

г) x2 (x2 4x 5) dx;

е) sin3 x cos4 xdx.

б)

 

7x 1

 

dx;

 

 

 

 

 

6x

2

x 1

 

 

 

 

 

г)

 

 

 

x 2

 

 

dx;

 

 

 

 

 

(x

2

x)(x

2

 

 

 

 

 

 

2)

е) cos4 (x / 2)dx.

20. a)

arccos x x

dx;

б)

 

 

 

x

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

5 7x 3x2

 

 

 

 

в)

x ln(x2 2)dx;

г)

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 x)(x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д)

 

 

 

x 1

dx;

е) sin 2

 

x

cos3

 

x

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

1

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы: а) в декартовой системе координат, б) в полярной системе координат. В обеих задачах сделать

чертеж

 

 

 

1.

а) у= х2;

у= 2х+3;

б) =a sin 2 .

2.

а) у = 2х2;

у =х/2;

б) =a cos .

3.

а) у = 4х - х2;

у=х;

б) =a cos 4 .

4. 324. а) у = х2 -2х+1; у=-х+3;

б) =a cos 2 .

5.

а) у = х2;

у=3х+4;

б) =a (1- cos ).

6.

а) у = 4х - х2;

у=х+2;

б) =a cos 6 .

 

а) у = х2/2+2;

у = х2;

 

 

 

7.

б) =a cos2

8.

а) у = 2х - х2;

у=-х;

б) = sin 3 .

9.

а) у = 2х - х2;

у=х-2;

б) =2 sin 4 .

10.

а) у = х2;

у=-2х+3;

б) = sin 6 .

15

 

11.

а) у =- х2/2;

 

 

у=х-3/2;

 

б)

=3 (1+ cos ).

 

12.

а) у =4х2;

 

 

у=-х;

 

б)

=

 

1

 

+ sin .

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

а) у =3х2-2;

 

 

у = х2;

 

б)

=

1

 

+ cos .

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) у = х2-х-3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

 

 

у=х;

 

б)

=1+

 

 

 

 

2 cos .

 

 

а) у = х2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

 

 

у=-3х+4;

б) =1+

 

 

2 sin .

 

16.

а) у =2х2-1;

 

 

у = х2;

б) =a ( sin + cos ).

 

17.

а) у = 4 - х2;

 

 

у=2х+1;

б) =a ( cos - sin ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

а) у = х2-2х-4;

 

 

у=х;

б)

=

 

 

3

 

+ cos .

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

а) у = 3х - х2;

 

у=2х;

б)

=

 

 

 

2

 

 

+ sin .

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

а) у = х2;

 

у=-2х+3;

б)

=2 (1+ sin ).

 

 

 

 

 

 

Задача 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Даны: функция z = f (x,y), точка А и вектор а . Требует-

ся

найти: 1)

направление наибольшего возрастания функ-

ции

z (т.е.

grad z) в

 

точке А и

скорость

 

 

ее

 

 

изменения в

этом направлении; 2)

производную функции

 

 

 

 

 

z

 

в точке А по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

направлению вектора

 

а ; 3) экстремум функции

 

z = f (x,y).

 

z = х2 – у 2 + 2 xy – 4x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

A(1,2),

 

а = i +3 j .

 

z = 5 х2 – у 2 + 2 xy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

A(2,2),

 

 

 

 

а = 3 i – 4 j .

 

z = х2 + 2 xy – 4 x + 8 y,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

A(3,1),

 

 

 

 

 

 

а = 2 i – 4 j .

 

z = х2 – у 2 + 2 xy – 2 x + 2 y,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

A(1, 2),

 

 

 

 

 

 

 

а = 3 i + 4 j .

16

 

z = х2

– у 2 2 xy + 4x + 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

A(2, 1),

 

а = 5 i – 12 j .

 

z = 4 х2

 

у 2 + 4 x + 2 y + 6,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

+

A(2,3),

 

 

а = i +2 j .

 

z = 5 х2

 

у 2 3 xy + 4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

+

A(0,2),

 

а = 4 i + 3 j .

 

z = 4 х2

+ 9 у 2 4 x – 6 y + 3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

A(1, 1),

 

а = 12 i +5 j .

 

z = 2 х2 + 5 у 2 4 xy – 8 x + 6,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

A(3,2),

а = i + j .

 

z = 5 х2 + 5 у 2 + 8xy – 18x – 18 y, A(1,3),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

 

а = 2 i – j .

 

z = 2 xy – 3 х2 3 у 2 + 4x + 4 y + 4, A(1,0),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

 

а = i – j .

 

z = х2 – у 2 + 2xy + 4x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

A(4,1),

 

а = 2 i +2 j .

 

z = ху – х2 2 у 2 + x + 10 y,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

A(2,2),

 

 

а = i +2 j .

 

z = 3 х2

+ 3ху + у 2 6x – 2 y + 1 , A(4,3),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

 

 

 

а = 3 i – 4 j .

 

z = х2 +

у 2 + 3xy – x – 4y + 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

A(5,4),

 

а = 3 i +5 j .

 

z = х2 +

у 2 – xy + x + y + 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

A(4,6),

 

 

 

а = i +3 j .

 

z = х2 + 2ху – у 2 + 6x – 10 y + 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

A(2,1),

 

 

 

а = 3 i +3 j .

 

z = 3 х2

+ 3 у 2 + 5 xy + x – y + 5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

A(5,2),

 

 

а = i + j .

 

z = 4 5 х2 – у 2 4 xy – 4 x – 2 y, A(1,6),

 

 

 

 

 

 

 

 

19.

 

 

а = 2 i + 6 j .

 

z = 3ху – х2 3 у 2 6 x + 9y – 4,

 

 

 

 

 

20.

A(2,8),

 

а = 2 i + 4 j .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти общее решение дифференциального уравнения

первого порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x 5y

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

у

5x 2 y ;

 

 

11.

у

x tg x

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

2

y

2

 

0 ;

 

 

 

y ln x 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

xy

 

 

12.

xy

x

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

2

3х

2

0 ;

13.

(x

2

у

2

) y

 

 

2ху ;

 

4xуy y

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

xy

 

y

 

 

xy

 

;

 

14.

 

 

 

y

 

2x

2

y

2

;

 

 

 

 

xy

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

8y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

xy

 

x

 

,

15. у

x2

 

 

x 12 ;

 

 

 

 

 

 

 

6.

x

2

 

 

 

хy 1 0 ;

 

 

16.

y

 

2х у ;

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

y

y tgx cos x

 

;

17.

(2x 1) y

4x 2y ;

 

 

 

 

8.

xy

 

y x cos x

;

 

18.

 

 

 

y е

x

0 ;

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2xy

 

 

 

 

2

 

9.

 

 

 

 

1 x

0 ;

19.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

1 x2

y

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

x

10. xy

y х 1 0 ;

20.

 

 

x 1

(x 1) е .

 

y

Задача 5

Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям.

1.

у

 

 

 

 

 

8у 16х

2

2;

у(0) 0;

 

 

 

 

 

2у

 

 

 

у (0) 5.

2

у

 

4у 3cos х;

 

 

 

у(0) 1;

 

 

2

 

 

 

 

 

 

у (0)

3.

у

 

 

 

2у 3е

2х

;

 

у(0) 2;

 

 

5.

 

 

у

 

 

 

 

 

у (0)

4.

у

 

2у

 

2х

 

1;

 

 

 

у(0) 1;

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

у (0)

5.

у

 

2у

 

у 2х 4;

у(0) 1;

 

 

1.

 

 

 

 

у (0)

6.

у

 

4у 4sin 2х;

 

 

 

у(0) 2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у (0) 7.

7.

у

 

у

 

 

3cos х sin x;

у(0) 0;

 

 

1.

 

 

 

 

 

у (0)

8.

у

 

 

 

6у

6х

2

4х 3;

ó(0) 3;

 

 

5.

 

 

у

 

 

 

у (0)

9.

у

 

 

 

 

 

 

3х

;

 

 

 

 

 

у(0) 2;

 

 

4.

 

 

3у

 

3е

 

 

 

 

 

 

 

у (0)

10.

у

 

4у

 

5у

5х

4;

у(0) 0;

 

 

3.

 

 

 

 

у (0)

11.

у

 

 

 

2у cos х 3sin x;

у(0) 1;

 

 

2.

 

 

у

 

 

у (0)

12.

у

 

4 у (3х 1)е

х

;

у(0) 0;

 

 

 

 

 

 

 

у (0) -4.

13.

у

 

у 6sin 2х;

 

 

 

 

у( ) -1;

 

 

 

 

 

 

 

 

у ( ) -4.

14.

у

 

5у

 

10х 3;

 

 

у(0) 2;

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

у (0)

18

15.

у

 

у

 

 

2у 1 2х;

у(0) 3;

 

5.

 

 

 

 

у (0)

16.

у

 

2у

 

6х

2

6х

2;

у(0) 1;

 

1.

 

 

 

 

 

у (0)

17.

 

 

 

 

 

3у 8е

х

;

 

 

у(0) 2;

 

 

0.

у

 

 

4у

 

 

 

 

 

у (0)

 

18.

у

 

16у 7 cos 3х;

 

 

у(0) 1;

 

 

4

 

 

 

 

у (0)

19.

 

 

 

 

 

9у 2е

3х

;

у(0) 1;

 

 

-3.

у

 

 

6 у

 

 

 

 

 

у (0)

20.

у

 

2у

 

у х 2;

 

 

у(0) 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у (0) 2.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2

Пример 1.(Интегрирование с помощью замены перемен-

ной.)

Найти неопределенный интеграл x e x 2 dx .

Решение.

Сделаем замену

 

переменной x2 t , тогда

2x dx dt,

x dx

1 dt.

Подставляя в подынтегральное выра-

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

жение, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x e

x

2

1

e

t

1

 

t

 

 

 

1

x2

c.

 

dx

 

 

 

dt

 

e

 

c 2 e

 

 

2

 

2

 

 

Пример 2. Найти интеграл

 

 

x 2

 

 

dx .

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2x 5

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, выделив в числителе производную знаменателя. Для этого числи-

тель представим в виде x 2 (2x 2) 12 1. Тогда

 

 

 

x 2

 

dx

1

 

 

2(x 1)

dx

 

 

1

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

2x

5

2

x

2

2x 5

x

2

2x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В первом интеграле сделаем замену переменной

19

x2 2x 5 t , 2(x 1)dx dt . Получим

 

 

 

1

 

 

2(x 1)

dx

1

 

1

dt

1

ln t

1

ln x

2

2x 5

c .

 

 

 

 

 

2

x

2

2x 5

2

t

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для вычисления второго интеграла выделим в знаменателе полный квадрат

x 2 2x 5 x 2 2x 1 4 (x 1)2 22

 

 

1

 

 

dx

1

 

 

d (x 1)

1

 

x 1

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 arctg

 

 

 

(x

1)

2

4

(x 1)

2

 

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

Окончательно получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

dx 1 ln( x2

2x 5) 1 arctg

x 1

C.

x 2

 

 

 

 

2x 5

2

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3. (Интегрирование по частям). Найти неопределенный интеграл

I = x2cosxdx

Решение. Полагаем u=x2; dv=cosxdx, v=sinx, du=2xdx..

В силу формулы интегрирования по частям udv=uv - vdu,

имеем

I =х2sinx - sinx 2xdx.

Применяя к последнему интегралу еще раз формулу интегри-

рования по частям, получим (теперь уже

u=x, dv=sinxdx)

I =x2sinx -2 (-x cosx +

cosxdx) = x2 sinx+2x cosx - 2 sinx +c.

Замечание. В интегралах вида

xm ln x dx;

xm arctgx

dx за функцию u(x)

следует принимать ln x ,

arctg x со-

ответственно.

 

 

 

20

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]