Изображение синусоидальных функций времени векторами и комплексными числами

Расчет цепей переменного тока существенно упрощается, если синусоидально изменяющиеся токи, напряжения и ЭДС заменить их изображениями на комплексной плоскости. Комплексные изображения позволяют совместить простоту и наглядность векторных диаграмм с возможностью проведения точных аналитических расчетов.

Плоскость комплексных чисел изображают с помощью оси действительных чисел (+1) и оси мнимых чисел (+j). Вектор располагают относительно оси действительных чисел под углом ψ_a, равным начальной фазе синусоидальной функции. Положительные углы отсчитываются от оси (+1) против движения часовой стрелки, а отрицательные - по направлению движения. Длина вектора в выбранном масштабе равна её амплитудному значению (рис. 3.3).

Любому вектору , расположенному на комплексной плоскости, однозначно соответствует комплексное число, которое может быть записано в трех формах:

показательной - ;

тригонометрической - ;

алгебраической - ,

где - действительная часть комплексного числа;- мнимая часть комплексного числа.

Для перехода от алгебраической формы записи к показательной модуль комплексного числа находят с помощью теоремы Пифагора (рис. 3.3), а аргумент – путем определения тангенса соответствующего угла:

.

, если A´>0.

, если A´<0.

Пример 1.

Алгебраическая форма удобна при сложении и вычитании комплексных величин, а показательная при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня.

Мнимая единица называетсяоператором поворота на угол π/2 = 90⁰.

Умножение на j = e ^jπ/2 сводится к повороту вектора против хода часовой стрелки на 90⁰, а умножение на –j = e ^-jπ/2 – к повороту вектора по ходу часовой стрелки на 90⁰.

Комплексное действующее значение меньше комплексного амплитудного значения в раз:

.

Аналогично записывают комплексные значения тока, напряжений и ЭДС.

Например, мгновенное значение синусоидального тока заменяют комплексным амплитудным значением

или комплексным действующим значением

.

Пример2. От синусоидального тока

I_m ω ψ_i

удобно перейти к комплексному амплитудному значению

или комплексному действующему значению

В алгебраической форме:

Пример 3. При записи мгновенного значения напряжения переходим от алгебраической формы записи =18+j24, В к показательной форме:

Тогда мгновенное значение напряжения:

Идеальные элементы r, l, с в цепи синусоидального тока

Резистивный элемент. Резистивный элемент как элемент схемы соответствует элементу цепи – резистору с сопротивлением R, если последний идеализирован, то есть этот элемент учитывает необратимые потери электрической энергии и пренебрегает энергиями электрического и магнитного полей (рис. 3.4).

При синусоидальном токе, протекающем по резистивному элементу i=I_m sin(ωt+ψ_i), напряжение на его зажимах и ток связаны законом Ома:

u_R = R i= R I_m sin(ωt +ψ_i) = U _Rm sin(ωt +ψ_u).

Амплитудные и действующие значения тока и напряжения на резистивном элементе также связаны законом Ома:

U_Rm=RI_m,U_R=RI.

Из полученного выражения для мгновенного значения напряжения видно, что начальные фазы напряжения и тока одинаковы, то есть напряжение и ток резистивного элемента совпадают по фазе. Угол сдвига фаз φ=ψ_u - ψ_i=0.

На рис. 3.5, а представлены их волновые диаграммы. Начальная фаза тока принята отрицательной, ψ_i <0.

а) б)

Рис. 3.5

Если синусоидальные функции времени i(t) и u(t) заменить изображающими их комплексными величинами, то закон Ома в комплексной форме запишется следующим образом:

,

где - ,комплексные амплитуды.

Или для действующих комплексных величин

Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, представлены на векторной диаграмме рис. 3.5, б. Векторы тока и напряжения на резистивном элементе совпадают по направлению(ψ_u = ψ_i).

Мгновенная мощность, резистивного элемента

Волновая диаграмма мгновенной мощности представлена на рис. 3.5, а. Из графика хорошо видно, что вся энергия, поступившая в резистивный элемент, расходуется в нем и не возвращается генератору.

Среднее значение мгновенной мощности за время, равное периоду синусоидального тока, называется активной мощностью:

а сопротивление R – активным сопротивлением.

Индуктивный элемент. Идеальный индуктивный элемент с индуктивностью L (рис. 3.6) учитывает энергию магнитного поля и явление самоиндукции. В этом случае пренебрегают потерями электромагнитной энергии и наличием энергии электрического поля.

Напряжение на зажимах индуктивного элемента при протекании синусоидального тока i=I_m sin(ωt+ψ_i) будет определяться:

где -реактивное индуктивное сопротивлениесинусоидальному току;

- амплитудное значение напряжения на индуктивном элементе;

- начальная фаза напряжения, то есть напряжение на индуктивном элементе опережает свой ток на четверть периода.Угол сдвига фаз φ=ψ_u - ψ_i=π/2.

На рисунке 3.7, а представлена волновая диаграмма тока и напряжения индуктивного элемента.

При переходе к действующим значениям имеем U_L=X_LI.

В комплексной форме записи:

Для действующих комплексных значений

,

здесь - реактивное индуктивное сопротивление в комплексной форме записи.

а) б)

Рис. 3.7

На рис. 3.7, б построена векторная диаграмма для амплитудных комплексных значений тока и напряжения. Вектор напряжения на индуктивном элементе опережает вектор тока на угол π/2. На векторной диаграмме угол сдвига фаз φ показывают стрелкой от вектора тока к вектору напряжения (положительные углы отсчитываются против движения часовой стрелки, а отрицательные - по направлению движения).

Мгновенная мощностьиндуктивного элемента может быть определена:

, где ψ_u =ψ_i +π/2.

Из полученного выражения видно, что мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону с частотой, превышающей частоту тока в два раза. График мгновенной мощности индуктивного элемента показан на рис. 3.7, а. Среднее значение мгновенной мощности за период равно нулю.

В те промежутки времени, когда направления напряжения u и тока iсовпадают, мощностьpимеет положительные значения, это означает - индуктивный элемент потребляет электрическую энергию от источника, запасая в магнитном поле.энергия магнитного поля увеличивается, ток возрастает.

Когда направления напряжения и тока не совпадают, мощность имеет отрицательное значение. Это соответствует возврату электрической энергии к источнику и уменьшению тока в индуктивном элементе (рис. 3.7, а).

Интенсивность этого обмена характеризуют амплитудным значением мгновенной мощности, которое называют реактивной индуктивной мощностьюи обозначают Q_L:

Q_L = U_LI = I² X_L, (ВАр).

Емкостный элемент. Идеальный ёмкостный элемент с ёмкостью C (рис. 3.8) учитывает только энергию электрического поля , пренебрегая необратимым расходом энергии в диэлектрике и наличием энергии магнитного поля.

При подключении емкостного элемента к источнику синусоидального напряжения u_C = U _Cm sin(ωt +ψ_u) изменяющая разность потенциалов будет вызывать перераспределение заряда и, следовательно, в цепи возникает ток

В приведённых выражениях:

- амплитудное значение тока;

- начальная фаза тока. Это означает: ток емкостного элемента опережает свое напряжение на четверть периода. Угол сдвига фаз φ = ψ_u - ψ_i=-π/2.

На рис. 3.9, а представлена волновая диаграмма тока и напряжения емкостного элемента.

а) б)

Рис. 3.9

При переходе к действующим значениям имеем:

или

где -реактивное емкостное сопротивление.

Перейдем к записи закона Ома в комплексной форме:

Для действующих комплексных значений

здесь - емкостное реактивное сопротивление в комплексной форме записи.

На рис. 3.9, б построена векторная диаграмма для амплитудных комплексных значений тока и напряжения. Вектор тока опережает вектор напряжения на угол π/2.

Мгновенная мощностьемкостного элемента может быть определена:

Из полученного выражения видно, что мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону с частотой, превышающей частоту тока в два раза. График мгновенной мощности индуктивного элемента показан на рис. 3.9, а. Среднее значение мгновенной мощности за период равно нулю.

В те промежутки времени, когда направления напряжения и тока совпадают, мощность положительна, т.е. емкостной элемент потребляет энергию от источника, запасая ее в электрическом поле. Энергия электрического поля увеличивается, напряжение нарастает.

Когда направления напряжения и тока не совпадают, мощность имеет отрицательное значение. Это соответствует возврату электрической энергии к источнику и уменьшению напряжения на емкостном элементе (рис. 3.9, а).

Интенсивность этого обмена характеризуют амплитудным значением мгновенной мощности, которое называют реактивной мощностью и обозначают Q_С:

Q_С = U_СI=I² X_С, (ВАр).

Как видно из волновых диаграмм (рис. 3.7, а, 3.9, а), в каждый момент времени индуктивная и емкостная мгновенные мощности находятся в противофазе. При расчете суммарной реактивной мощности значение реактивной индуктивной мощности берется положительным, а реактивной емкостной мощности – отрицательной.