1.2. Ламинарное движение жидкости в специальных

технических системах

При выполнении различных технологических операций в технологии машиностроения, например, при электрохимической обработке деталей, в качестве рабочего тела используют разнообразные капельные жидкости, движущиеся в каналах сложной формы. Причем, течение в подобного рода трубопроводах и зазорах, как правило, устанавливается ламинарным, о чем свидетельствует величина числа Рейнольдса, подсчитываемая по уравнению (1.2).

Метод решения задач ламинарного движения заключается в составлении дифференциального уравнения движения элемента жидкости, преобразовании этого уравнения с помощью подстановки выражения закона жидкостного трения Ньютона и интегрировании его при заданных граничных условиях задачи.

1.2.1. Примеры решения типовых задач.

В качестве примера рассмотрим случай ламинарного осевого течения жидкости под действием перепада давлений в кольцевом зазоре, образованном двумя соосно расположенными цилиндрическими поверхностями (рис. 6).

Рис. 6. Схема течения в кольцевом зазоре

Чтобы найти закон распределения скоростей по сечению зазора, выделим бесконечно малый кольцевой элемент, рассмотрим действующие на него силы и составим уравнение его движения. В результате будем иметь

(1.12)

Обозначая и пренебрегая членом2lddl, имеющим более высокий порядок малости по сравнению с остальными членами, получим после несложных преобразований следующее дифференциальное уравнение

рrdr + ld(r) = 0, (1.13)

интегрируя которое (с учетом того, что  = du/dr), получим

(1.14)

Постоянные инаходят из граничных условий, которые требуют, чтобы при u = 0 и при u = 0. Поэтому закон распределения скоростей по поперечному сечению кольцевого зазора будет иметь вид

(1.15)

Произведя далее интегрирование скорости по сечению зазора, получим выражение для расхода жидкости

(1.16)

При выражение (1.16) переходит в формулу Пуазейля для труб круглого поперечного сечения

(1.17)

При установившемся ламинарном течении в трубе с некруглым поперечным сечением решение задачи оказывается более сложным. Опуская промежуточные выкладки, приведем только окончательные формулы для определения расхода для труб с различной формой поперечного сечения:

1) для трубы эллиптического поперечного сечения

(1.18)

где a и b - полуоси эллипса;

2) для трубы, имеющей поперечное сечение в форме равностороннего треугольника со стороной а

(1.19)

3) для трубы прямоугольного поперечного сечения

(1.20)

где - функция, значения которой приведены в табл. 1;

a и b - половины сторон прямоугольника.

Таблица 1

Значения функции в зависимости от параметровa и b

(a/b)	1,0	1,2	1,5	2,0	3,0	5,0	10,0
f(a/b)	2,25	2,20	2,08	1,83	1,40	0,93	0,50

Если имеет место плоское ламинарное течение в зазоре между неподвижными параллельными пластинами (рис. 7), то из рассмотрения равномерного движения выделенного элемента жидкости приходим к следующему дифференциальному уравнению

(1.21)

где р - перепад давлений на длине зазора l.

Рис.7. Схема течения в плоскопараллельном зазоре

Интеграл этого уравнения с учетом граничного условия (равенства нулю скорости на стенках) дает

(1.22)

где b - зазор между пластинами.

Закон распределения скоростей по высоте зазора - параболический (в пространстве - параболический цилиндр), средняя скорость

(1.23)

Из последней формулы легко получить выражение для расхода жидкости в зазоре между пластинами

(1.24)

где В - ширина зазора.

Вязкость жидкости изменяется с давлением и температурой. Эти зависимости выражаются формулами

при t = = const, (1.25)

при , (1.26)

где - вязкость при давлениии температуре;

и - опытные коэффициенты, различные для различных жидкостей.