9.1. Теоретическое введение
Ударом называют явление конечного изменения скоростей твердых тел за весьма малый промежуток времени, происходящее при столкновениях. В процессе деформации тел при ударе возникают мгновенные (ударные) силы, величина которых весьма значительна. Мгновенные силы соударяющихся тел являются внутренними силами. Их импульсы за время продолжительности удара во много раз больше импульсов за то же время всех внешних сил, приложенных к системе тел. Поэтому в процессе удара влиянием внешних сил можно пренебречь и считать, что выполняются законы сохранения импульса и момента импульса.
Общая нормаль к поверхности соударяющихся тел в точке их соприкосновения называется линией удара. Удар называется прямым, если скорости центров масс соударяющихся тел перед ударом параллельны линии удара. Удар называется центральным, если при ударе центры масс сталкивающихся тел лежат на линии удара. Удар двух любых шаров всегда будет центральным.
Рассмотрим прямой центральный удар двух поступательно движущихся тел. Пусть скорости тел до удара υ1 и υ2, а после удара скорости u1 и u2 и направлены вдоль прямой – оси ОХ, проходящей через центры инерции тел (рис.9.1).
В проекциях на эту ось по закону сохранения импульса можно записать:
где m1 и m2 – массы тел.
Величины υ1 и υ2, u1 и u2 – положительны или отрицательны в зависимости от того, как направлен соответствующий вектор скорости (вдоль положительного направления оси ОХ или в противоположную сторону).
Для характеристики упругости (пластичности) ударяющихся тел, вводят коэффициент восстановления k, равный модулю отношения разностей скоростей тел в конце и в начале удара:
.
(9.1)
Последний
результат следует из того, что до удара
должно быть
(иначе удара не произойдет), а после
удара будет
,
в силу непроницаемости тел. Решая систему
неравенств:
,
получим:
,
.
(9.2)
Уменьшение кинетической энергии тел в результате удара равно
.
(9.3)
Из выражения(9.3) видно, что ΔТ≤0, т.е. кинетическая энергия тел либо уменьшается при ударе, либо остается неизменной. Часть механической энергии при 0 < k < 1 преобразуется во внутреннюю энергию системы. Если ударные силы потенциальны, то удар называется абсолютно упругим, или просто упругим. При этом k =1 и скорости тел после удара будут равны:
,
и
(9.4)
Удар называется неупругим (абсолютно неупругим), если после него тела движутся с одинаковой скоростью, т.е u1=u2=u и k =0. В этом случае скорость тел в неподвижной системе равна
.
( 9.5)
Во всех остальных случаях удар называется не вполне упругим и 0<k<1.
9.2. Описание установки и методика измерений
В данной работе изучается прямой центральный удар двух шаров, подвешенных в виде маятников, причем один из них занимает правое положение (шар1), другой – левое (шар2), рис. 9.2,а.
В опытах первый шар массой m1 отклоняется на некоторый угол α0 и фиксируется в этом состоянии электромагнитом. После отключения электромагнита происходит соударение первого шара с покоящимся вторым шаром массы m2.
При столкновении шаров некоторая часть их механической энергии теряется, переходя во внутреннюю энергию, а другая часть механической энергии в соответствии с законом сохранения импульса перераспределяется между шарами.
а) б)
α0 l α2 α1
m2 m1 h0 h2 h12
2 1 2 1
Рис.9.2.
h1
а) исходное положение шаров 1 и 2; б) положение шаров при максимальном их отклонении после удара.
Пусть после соударения максимальные углы отклонения подвешенных шаров от вертикали соответственно равны α1 и α2 (см. рис.9.2,б). Потерянная кинетическая энергия при столкновении шаров равна:
,
где h0=l1(1-cosα0), h1=l1(cosα1), h2=l2(1-cosα2).
В условиях опыта l1=l2=l. Применяя формулу (9.5) и учитывая, что υ2=0 (скорость второго шара перед ударом) и m1υ12/2=m1gh0, можно написать:
Отсюда для коэффициента восстановления получим:
,
(9.6)
где p = m1/m2 , или
(9.7)
По найденному коэффициенту восстановления можно судить о характере удара.