attachments_26-06-2014_11-15-16 / Лекц 15 Пар 11 Свёртка общ функ СВ-ВА

def

lim f y , g

x , k x, y x y

f g,

k

lim f

y g x

, k x, y x y lim g x f y , k x, y x y

k

k

lim g x , f y , k x, y x y g f , .

■

k

9 б) Линейность по каждому аргументу:

f1 f2 g f1 g f2 g .

9 в) x - нейтральный элемент (относительно свертки):

f f f .

Доказательство.

f y ,

x , k x, y x y

f , lim

k

lim f y , k 0, y

y

f y , y f , f ,

k

финитная

функция

так как supp k 0, y y;

y

2 k

supp y и, начиная с некоторого но-

k

мера, функция k 1 на этом множестве.

■

9 г). Сдвиг

f x h g x f g x h .

Доказательство.

def

f g x h , x f g x , x h

lim f x g y , k x, y x h y

k

lim f x h g

y , k x, y x y f x h g x , x .

■

k

9 д) Дифференцирование:

f g

f

g f

g

.

x

x

x

i

i

i

Доказательство.

x y

f g ,

f g,

lim

f x g y , k x, y

xi

xi

xi

k

k x, y x y x y

k x, y

lim f x g y ,

xi

xi

k

lim

f x g y , k x, y x y

xi

k

k x, y

lim f x g y ,

x, y x y

lim f x g y ,

x, y

x y

k

k

xi

k

k

f

x

f

lim

g y , k x, y x y

f g, f g,

g, .

xi

xi

k

Ясно, что данное утверждение можно распространить на производные

любого порядка.

9 е) Ассоциативность: вообще говоря, свертка не ассоциативна

Пример 9.4. 1 ' 1' 0 0 0

− нулевой элемент

в пространстве обобщенных функций. С другой стороны,

1

'

1

'

1

1 1. Но

1 0 в пространстве обобщенных

функций.

Теорема 9.5. Предположим, что f g

и f g h , т.е. существует пре-

дел:

lim f

x g

y h z , k x, y, z x y z .

(*)

k

для любой основной функции D и исправляющей последовательности

функций k x, y, z D

3n . Тогда

f g h f g h .

Доказательство. По условию, существует предел (*) для любой исправ-

ляющей последовательности k x, y, z D

3n . Возьмем ее в следующем ви-

k

k

де: k x, y, z k x, y k x y, z , где k 1 и k 1,

k , k D

2n . Тогда формула (*) принимает вид:

lim f

x g y h z , p x, y q x y, z x y z .

p

q

lim f

x g y h z , p x, y q x y, z x y z

p

q

f x g y h z , p x, y q x y, z x y z

lim lim

q p

lim

f g t , h z , q t, z

t z

q

lim f g t h z , q t, z t z f g h, .

q

Следовательно,

f g h f g h .

■

f g h f g h f g h .

■