Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

attachments_26-06-2014_11-15-16 / Лекц 13 Пар 10 Осн св прям пр

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
338.89 Кб
Скачать

 

 

 

 

 

§10 (продолжение)

 

 

 

Установим теперь основные свойства прямого произведения.

 

 

1. Коммутативность:

f x g y g y f x .

 

 

Равенство элементов в пространстве D подразумевает, что для любой основной

 

функции (x, y) D

n m справедливо равенство

 

 

 

f (x) g( y), (x, y) g( y) f (x), (x, y) .

(75)

 

Докажем сначала равенство (75) для частного случая основных функций вида

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

(x, y) ui (x) vi ( y) .

 

 

(76)

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

l

 

 

 

l

 

 

l

g( y),vi ( y)

 

f (x) g( y), ui (x) vi ( y) f (x), g( y), ui (x) vi ( y)

 

f (x),ui (x)

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

f (x),u (x) g( y),v ( y)

l

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

g( y), f (x),u (x) v ( y) g( y),

 

f (x),u (x) v ( y)

 

 

i

i

i

i

 

i

i

 

 

 

i 1

 

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

l

 

 

 

l

 

g( y), f (x),ui (x) vi ( y)

g( y), f (x), ui (x) vi ( y)

f (x)

g( y), ui (x) vi ( y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

i 1

 

 

i 1

 

 

Следовательно, (75) выполнено.

 

 

 

 

 

 

 

Предложение 10.4. Основные функции вида (76) образуют всюду

 

 

плотное множество в D

 

n m .

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Зафиксируем произвольную функцию

 

 

(x, y) D

n m . Аппроксимируем ее функциями вида (76). Носитель

 

 

supp K

n m компактен. Для простоты, но не уменьшая общности

 

 

рассуждения, можно считать, что K P P

, где P [ a, a]n , P [ a, a]m .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

x

 

y

 

 

Пусть b > a и P Q [ b,b]n , P Q

y

[ b,b]m . Пусть функция (x, y)

 

 

 

x

x

 

y

 

 

 

 

 

 

задана на всем евклидовом пространстве, а ненулевые значения принимает только на K Px Py . По теореме Вейерштрасса любую непрерывную

функцию, заданную на компакте можно равномерно аппроксимировать многочленами. Нам понадобится усиленная форма этой теоремы: можно равномерно аппроксимировать не только саму функцию, но одновременно все ее производные вплоть до некоторого конечного порядка. Фиксируем k и рассмотрим мультииндекс , k . Тогда по (усиленной) теореме

Вейерштрасса существует последовательность многочленов qs (x, y),

s ,

такая, что

( ) (x, y) q

( ) (x, y)

1

(x, y) Q

Q

y

(*)

 

s

 

s

x

 

 

Многочлены не являются основными функциями, поэтому преобразуем их следующим образом. По теореме о существовании «шляпы» 5.5, существуют

такие основные функции ξ(x), η(y), что (x) 1, x Px , ,0, x Qx.

Тогда для каждого s функция s (x, y) (x) ( y) qs

1, y P ,

( y) y0, y Qy.

(x, y) уже основная.

 

 

Px

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Убедимся, что функции s (x, y)

 

 

аппроксимируют функцию (x, y) . На

 

 

 

множестве Px Py (x) 1 ( y) , то есть s (x, y) qs (x, y) . Вне множества

 

 

Qx Qy s (x, y) (x, y) 0 . В точках множества Qx Qy \ Px Py выполнено

 

(x, y) 0 , поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )(x, y) s( )(x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )(x) ( )( y) qs( )(x, y)

 

 

 

(x) ( y) qs (x, y) ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

,

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

(**)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для всех мультииндексов ,

 

 

 

 

 

 

 

, существуют конечные максимумы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) (x) ( ) ( y)

 

 

(***)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

, (x, y) Qx Qy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С учѐтом (***) можем записать, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(**) C

qs( ) (x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Каждое слагаемое C

q ( ) (x, y)

 

последней суммы равномерно сходится к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нулю на множестве Qx Qy \ Px Py (см. формулу (*)). Следовательно,

 

 

 

 

( )(x, y) ( )(x, y)

на Q Q

y

\ P P , а значит и на множестве Q Q

y

.

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеют вид (76).

 

 

 

 

 

 

Итак, s , и функции s

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x g y и

 

 

Предложение 10.4 означает, что непрерывные отображения

 

g y f x совпадают на всюду плотном подмножестве пространства

 

 

 

D

n m . Значит, они равны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Ассоциативность:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x g y h z , x, y, z f x g y , h z , x, y, z

 

 

 

 

f x , g y , h z , x, y, z f (x), g( y) h(z), (x, y, z)

 

 

 

 

 

 

 

 

f x g y h(z) , (x, y, z)

 

 

 

 

 

 

Пример 10.5. Пусть x

n ,

x x ,

, x

, тогда

 

 

 

 

 

 

 

1

n

 

 

 

 

 

(x) x1

xn

 

(77)

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

x1

xn , (x) x1 , x2 ,

xn , x1,

, xn

 

x1 , x2 ,

xn 1 , x1,

, xn 1,0

(0,

,0) (0) (x), (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Раздельная непрерывность: если

 

D

, то

 

fn f

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

fn g f g .

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

fn, f , для (x) D

n .

Сходимость fn

D

 

 

 

f означает, что

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

Для произвольной (x, y) D

n m

имеем

 

 

 

fn (x) g( y), (x, y) fn (x), g( y), (x, y) f (x), g( y), (x, y) f (x) g( y), (x, y)

4. Полезная формула. Функция 1( y) 1 локально интегрируема на m .

def

Положим: f (x), (x, y) f (x) 1( y), (x, y) . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) 1( y), (x, y)

 

 

 

f (x), 1( y), (x, y)

 

 

f (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С другой стороны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1( y) f (x), (x, y)

 

 

1( y),

 

f (x), (x, y)

 

 

 

 

x),

 

(x, y)dy .

 

 

m

 

 

f (x), (x, y) dy

m

Но прямое произведение коммутативно, следовательно получаем формулу

 

 

 

 

 

f (x), (x, y) dy f (x),

(x, y)dy .

(78)

 

 

 

 

 

m

 

m