attachments_26-06-2014_11-15-16 / Лекц 13 Пар 10 Осн св прям пр
.pdf
|
|
|
|
|
§10 (продолжение) |
|
|
||
|
Установим теперь основные свойства прямого произведения. |
|
|||||||
|
1. Коммутативность: |
f x g y g y f x . |
|
||||||
|
Равенство элементов в пространстве D подразумевает, что для любой основной |
||||||||
|
функции (x, y) D |
n m справедливо равенство |
|
||||||
|
|
f (x) g( y), (x, y) g( y) f (x), (x, y) . |
(75) |
||||||
|
Докажем сначала равенство (75) для частного случая основных функций вида |
||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x, y) ui (x) vi ( y) . |
|
|
(76) |
||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
l |
g( y),vi ( y) |
|
f (x) g( y), ui (x) vi ( y) f (x), g( y), ui (x) vi ( y) |
|
f (x),ui (x) |
||||||
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
f (x),u (x) g( y),v ( y) |
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
g( y), f (x),u (x) v ( y) g( y), |
|
f (x),u (x) v ( y) |
|
||||||
|
i |
i |
i |
i |
|
i |
i |
|
|
|||
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
g( y), f (x),ui (x) vi ( y) |
g( y), f (x), ui (x) vi ( y) |
f (x) |
g( y), ui (x) vi ( y) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
||
|
Следовательно, (75) выполнено. |
|
|
|
|
|
■ |
|
||||
|
Предложение 10.4. Основные функции вида (76) образуют всюду |
|
||||||||||
|
плотное множество в D |
|
n m . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Доказательство. Зафиксируем произвольную функцию |
|
||||||||||
|
(x, y) D |
n m . Аппроксимируем ее функциями вида (76). Носитель |
|
|||||||||
|
supp K |
n m компактен. Для простоты, но не уменьшая общности |
|
|||||||||
|
рассуждения, можно считать, что K P P |
, где P [ a, a]n , P [ a, a]m . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
x |
|
y |
|
|
Пусть b > a и P Q [ b,b]n , P Q |
y |
[ b,b]m . Пусть функция (x, y) |
|
||||||||
|
|
x |
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
задана на всем евклидовом пространстве, а ненулевые значения принимает только на K Px Py . По теореме Вейерштрасса любую непрерывную
функцию, заданную на компакте можно равномерно аппроксимировать многочленами. Нам понадобится усиленная форма этой теоремы: можно равномерно аппроксимировать не только саму функцию, но одновременно все ее производные вплоть до некоторого конечного порядка. Фиксируем k и рассмотрим мультииндекс , k . Тогда по (усиленной) теореме
Вейерштрасса существует последовательность многочленов qs (x, y), |
s , |
||||||
такая, что |
( ) (x, y) q |
( ) (x, y) |
1 |
(x, y) Q |
Q |
y |
(*) |
|
s |
|
s |
x |
|
|
Многочлены не являются основными функциями, поэтому преобразуем их следующим образом. По теореме о существовании «шляпы» 5.5, существуют
такие основные функции ξ(x), η(y), что (x) 1, x Px , ,0, x Qx.
Тогда для каждого s функция s (x, y) (x) ( y) qs
1, y P ,
( y) y0, y Qy.
(x, y) уже основная.
|
|
Px |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Qx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Убедимся, что функции s (x, y) |
|
|
аппроксимируют функцию (x, y) . На |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
множестве Px Py (x) 1 ( y) , то есть s (x, y) qs (x, y) . Вне множества |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Qx Qy s (x, y) (x, y) 0 . В точках множества Qx Qy \ Px Py выполнено |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x, y) 0 , поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( )(x, y) s( )(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )(x) ( )( y) qs( )(x, y) |
|||||||||||||||||
|
|
|
(x) ( y) qs (x, y) ( ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
, |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(**) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для всех мультииндексов , |
|
|
|
|
|
|
|
, существуют конечные максимумы |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) (x) ( ) ( y) |
|
|
(***) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, (x, y) Qx Qy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
С учѐтом (***) можем записать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(**) C |
qs( ) (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Каждое слагаемое C |
q ( ) (x, y) |
|
последней суммы равномерно сходится к |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
нулю на множестве Qx Qy \ Px Py (см. формулу (*)). Следовательно, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( )(x, y) ( )(x, y) |
на Q Q |
y |
\ P P , а значит и на множестве Q Q |
y |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеют вид (76). |
|
|
|
■ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Итак, s , и функции s |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x g y и |
||||||
|
|
Предложение 10.4 означает, что непрерывные отображения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
g y f x совпадают на всюду плотном подмножестве пространства |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D |
n m . Значит, они равны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ |
|
|
|||||||||||||||||||
2. |
Ассоциативность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
f x g y h z , x, y, z f x g y , h z , x, y, z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f x , g y , h z , x, y, z f (x), g( y) h(z), (x, y, z) |
|
■ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f x g y h(z) , (x, y, z) |
|
|
|
|
|
|
Пример 10.5. Пусть x |
n , |
x x , |
, x |
, тогда |
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
(x) x1 |
xn |
|
(77) |
|
|||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
||
x1 |
xn , (x) x1 , x2 , |
xn , x1, |
, xn |
|
|||||
x1 , x2 , |
xn 1 , x1, |
, xn 1,0 |
(0, |
,0) (0) (x), (x) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ |
3. Раздельная непрерывность: если |
|
D |
, то |
|
|||||
fn f |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
fn g f g . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
fn, f , для (x) D |
n . |
|||
Сходимость fn |
D |
|
|
|
|||||
f означает, что |
|||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Для произвольной (x, y) D |
n m |
имеем |
|
|
|
fn (x) g( y), (x, y) fn (x), g( y), (x, y) f (x), g( y), (x, y) f (x) g( y), (x, y)
■
4. Полезная формула. Функция 1( y) 1 локально интегрируема на m .
def
Положим: f (x), (x, y) f (x) 1( y), (x, y) . Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) 1( y), (x, y) |
|
|
|
f (x), 1( y), (x, y) |
|
|
f ( |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1( y) f (x), (x, y) |
|
|
1( y), |
|
f (x), (x, y) |
|
|
|
|
x), |
|
(x, y)dy . |
|
|
|
m |
|
|
f (x), (x, y) dy
m
Но прямое произведение коммутативно, следовательно получаем формулу
|
|
|
|
|
f (x), (x, y) dy f (x), |
(x, y)dy . |
(78) |
||
|
|
|
|
|
m |
|
m |
|
|
|
|
|