attachments_26-06-2014_11-15-16 / Лекц 14 Пар 11 Свёртка обобщ функ
.pdf
§11. Свёртка обобщённых функций
Напомним вначале, что свёрткой обычных (не обобщѐнных!) локально интегрируемых в n функций f x и g x называется функция
f g x |
f y g x y dy |
(79) |
n |
|
|
Таким образом, свѐртка обычных функций – это интеграл, зависящий от параметра (от x). Он существует далеко не всегда. Например, если
f (x) g(x) 1, то, согласно (79), f g x dy , и интеграл в правой части
n
расходится при всех x. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
Определение 11.1. Свёрткой обобщенных функций f x и g x из |
||||
|
D |
2n называется обобщѐнная функция, заданная правилом |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
f g, lim f y , g x , k x, y x y , |
(80) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
где k x, y D |
2n , k = 1, 2,…– основные функции, причѐм на шаре |
||||||||
|
x |
|
2 |
|
y |
|
2 k 2 функция k тождественно равна 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Замечание. Обратите внимание, что функция (x + y) не финитная (по- |
||||
чему?), а значит и не основная. Функция же k x, y x y |
является основ- |
||||||||
ной. Всюду далее такие последовательности функций k x, y |
мы будем назы- |
||||||||
вать исправляющими. Заметим, что предел в формуле (80), а значит и свѐртка, может и не существовать.
Теорема 11.2. Если свертка f g обобщенных функций f и g существует,
то она тоже является обобщенной функцией, т.е. линейным непрерывным функционалом на пространстве основных функций.
Доказательство. Рассмотрим для каждого k отображение |
||
hk : D n , hk , f y , g x , k x, y x y . |
||
По определению 11.1 можно написать |
|
|
f g, lim hk , , или |
f g lim hk . |
|
k |
k |
|
Нетрудно видеть, что все отображения hk линейны. Покажем, что они не- |
||
прерывны. Зафиксируем k |
|
D n |
, и пусть s 0 . Тогда для всех s носи- |
||
|
|
s |
тели основных функций ks (x, y) k x, y s x y содержатся в компакте supp k x, y . Их частные производные имеют вид конечных сумм
k |
|
( ) |
|
( ) |
( ) |
(x y) . |
s |
|
C k |
s |
|||
|
|
|
|
, |
|
|
( ) |
равномерно на supp k x, y сходятся к нулю. Зна- |
|||
Но, все производные s |
||||
чит, так себя ведут и производные ks |
( ) |
D 2n |
||
|
. Это означает, что ks 0 . |
|||
|
|
|
|
s |
Далее, так как прямое произведение |
f g непрерывно на D |
2n , то |
||
f g, ks |
hk , s 0 , что и доказывает непрерывность hk. Итак, все hk |
|
s |
являются обобщѐнными функциями. Для завершения доказательства осталось |
|||||||||||||||
применить теорему 8.7 о полноте пространства D |
n . |
■ |
|||||||||||||
|
|
|
Условия существования свёртки. |
|
|||||||||||
|
Теорема 11.3. Пусть (а) f(x), g(x) – регулярные обобщѐнные функции из |
||||||||||||||
D |
n . Пусть также (б) |
функция h(x) |
|
f(y) g(x y) |
|
dy локально интегриру- |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
ема в |
n . Тогда свѐртка обобщѐнных функций f(x), g(x) существует, регулярна |
||||||||||||||
и выражается формулой (79): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
f g x f y g x y dy . |
(81) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство. Пусть D |
n и компакт K supp . В определении свѐрт- |
||||||||||||||
ки 11.1 возьмѐм исправляющую последовательность k (x, y), k |
, так, чтобы |
||||||||||||||
(x, y) 1 |
на произведении P(k) B (k) B |
y |
(k) шаров радиуса k, и |
||||||||||||
k |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
k (x, y) 0 |
вне P(k+1). Тогда f g, lim |
f y , g x , k (x, y) (x y) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
lim |
|
f y g(x) k (x, y) x y dxdy |
|
||||||||||
|
|
k |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
lim |
|
f y g(z y) k (z y, y) z dzdy |
|
||||||||||
|
|
k |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f y g(z y) k (z y, y) z dydz |
(I) |
||||||||||
|
|
k 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проверим, что в (I) выполнены условия теоремы о предельном переходе под знаком интеграла. Во-первых,
f y g(z y) k (z y, y) z f y g(z y) z
k
поточечно на множестве K |
n , поскольку (z y, y) 1 при |
|
|
z y |
|
2 |
|
y |
|
2 k 2 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Во-вторых, |
|
k (z y, y) z |
|
M , и поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
f y g(z y) k (z y, y) z dydz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
f y g(z y) k (z y, y) z |
|
dzdy |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
By (k 1,0) Bz (k 1, y)
M |
|
|
|
|
f y g(z y) |
|
dzdy M |
|
|
f y |
|
|
|
|
|
g(z y) |
|
dzdy |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
By (k 1,0) Bz (k 1, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
By (k 1,0) |
Bz (k 1, y) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
f y |
|
|
|
|
g(x) |
|
dxdy |
|
|
|
f y |
|
dy |
|
|
|
g(x) |
|
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
By (k 1,0) |
|
|
|
|
|
Bx (k 1, 0) |
|
|
|
|
|
By (k 1,0) |
|
|
|
|
Bx (k 1, 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Мы показали, что все интегралы под знаком предела существуют. В-третьих, поскольку можно предполагать, что 0 k (x, y) 1, то при
всех k имеем |
|
k (z y, y) f ( y) g(z y) z |
|
|
|
|
f ( y) g(z y) z |
|
. При этом |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
f y g(z y) z |
|
dydz |
|
z |
|
|
|
|
f y g(z y) |
|
dydz |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2n |
|
|
|
|
|
K |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
То есть, все подынтегральные функции имеют общую интегрируемую мажоранту. Все три условия в совокупности обеспечивают возможность предельного перехода в (I) под знаком интеграла: (I) =
|
|
lim |
k (z y, y) f |
|
|
k |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
z f |
|
|
|
|
n |
n |
y g(z y) z dydz |
f y g(z y) z dydz |
2n |
|
|
|
|
f y g(z |
y g(z y)dydz |
|||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
f y g(x y)dy , x . |
||
|
|
|
|
|
n |
|
|
y)dy , z
Сравнивая теперь исходный пункт наших преобразований с конечным ре-
зультатом, получаем f g x |
f y g x y dy |
|
|||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
, причем одна из них, скажем g, имеет |
|
Теорема 11.4. Пусть f , g D |
|
||||
компактный носитель. Тогда свертка |
f g существует, и верна формула |
||||
|
f g, f (x) g( y), ( y) (x y) |
(82) |
|||
где ( y) D |
n − любая основная функция, такая что ( y) 1 на suppg( y) . |
||||
Доказательство. Рассмотрим множество supp (x y) . Ясно, что если
x + y = const, то ( x + y) = const. По условию, suppg( y) − компакт, поэтому его можно включить в достаточно большой шар: suppg( y) U (0,a) y : y a .
По 11.1, f g, lim f y , g x , k x, y x y . Возьмем шар
k
B(0,k) в 2n , содержащий пересечение supp (x y) (x, y) : y a (см. рис.). При достаточно большом k справедливо тождество:
k (x, y) ( y) (x y) ( y) (x y)
Следовательно, f g, lim f (x) ( y) g( y) , k x, y x y
k
|
|
|
lim |
f (x), ( y) g( y), k x, y x y |
||
|
|
|
k |
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
y |
||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y a |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( y) k x, y |
lim |
f (x), g( y), |
|||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
x y f (x) g( y),( y) x y .■
1) |
|
|
|
|
|
( ) |
равномерно на supp k x, y сходятся к 0? |
|||
Почему все производные s |
||||||||||
|
(11.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
Почему |
|
f y |
|
dy |
|
|
g(x) |
|
dx ? (11.3) |
|
|
|
|
|||||||
|
By (k 1,0) |
|
|
|
Bx (k 1, 0) |
|||||
3) Что означают записи B(0,k), B(0,k)? (11.4)