attachments_26-06-2014_11-15-16 / Лекц 6 Пар 5 Основные функции
.pdf§5 Основные функции
|
Определение 5.1. Пусть G |
n – область. Функцию : G |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
назовём основной функцией (или пробной функцией) из D(G) , если |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) C (G) |
( – бесконечно дифференцируема в G), |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) носитель supp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x G : (x) 0 – компакт ( – финитна). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
П.1 Примеры основных функций. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Определение 5.2. Шапочкой (размера a > 0) называется функция |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
, ( x) C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
: |
n |
a |
a2 |
|
x |
|
2 |
, |
|
x |
|
a . |
(53) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Константу Ca выбирают так, чтобы |
|
a (x)dx 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для краткости обозначим показатель экспоненты в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(53) через a(x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a(x) |
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
. |
|
(54) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
a2 |
|
x |
|
2 |
|
a2 |
x12 |
xn2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Лемма 5.3. Каждая шапочка – основная функция из D( n ) . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Доказательство. Сразу из определения 5.2 следует, что носитель |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
supp – замкнутый шар радиуса a в |
|
|
|
n , и потому компактен. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем, что C |
( n ) . При |
|
x |
|
a это очевидно. Пусть |
|
|
x |
|
a . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная от a (x) по произвольной координате xi |
вектора x имеет вид: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a (x) x |
Ca ea( x) a(x) x |
2xiCa a2 ea( x) a(x) 2 . |
(55) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцируя повторно подобным образом, можно напрямую |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
убедиться, что любая производная |
( ) (x) от шапочки есть конечная сумма |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
слагаемых вида m (x) ea( x) |
a(x) k , где mk(x) – одночлен. Следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
все такие производные существуют и непрерывны при |
|
|
x |
|
a , так как |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знаменатели в дробях вида (54) не равны нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратимся к случаю |
|
x |
|
a . Ясно, что ( ) |
|
0, так как |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
x a 0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
a . Если же |
|
a 0 , то знаменатель дроби в a(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a (x) 0 при |
|
x |
x |
положителен и стремится к нулю. Значит, a(x) . Таким образом, ea( x) и
a(x) k – две бесконечно малые (при x a 0 ) величины, из которых первая более высокого порядка малости, чем вторая. Поэтому их отношение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ea( x) a(x) k |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Значит, и все слагаемые в ( ) |
(x) , имея вид m (x) ea( x) a(x) k , стремятся |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к нулю (заметим, что одночлены mk(x) ограничены при |
|
|
|
x |
|
a ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Итак, производная ( ) |
(x) существует при |
|
|
|
x |
|
a и равна нулю. ■ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соглашение. Вместо 1(x) |
будем писать просто (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Лемма 5.4. (О связи шапочек) a (x) a n a 1 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Доказательство. Достаточно установить данное равенство при |
|
x |
|
a . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
x |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ea( x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||||||||||||||
Сначала заметим, что |
Ja |
a (x)dx |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Сделаем в последнем интеграле замену переменных yi |
|
xi |
|
|
|
a , |
i 1, |
|
n. . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда dx a dy , |
|
|
dx an dy, |
|
x |
|
|
a |
|
|
y |
|
1. Получаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Ja |
e |
1 |
|
|
y |
andx an J1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Понятно, что |
C 1 J |
an J |
a |
|
an C . Поэтому (при |
|
|
x |
|
a ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x a C e 1 1 |
|
x a |
|
2 |
C e a2 a2 |
|
x |
|
2 an C e a2 a2 |
|
x |
|
2 an (x) |
. ■ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||||||
Теорема 5.5. (О существовании шляпы) Пусть A – ограниченное |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
множество в |
n , |
0 . Положим A x n : x, A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда для любого 0 найдётся основная функция D |
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следующими свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
1, |
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
3) 0 (x) 1, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n \ A3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) для любого мультииндекса , |
( ) (x) |
|
C( ) |
|
|
|
|
, где C( ) = const. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Заметим, что A |
|
|
|
U (x) , где U (x) – открытый |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шар радиуса с центром в точке x. Следовательно, A – открытое, и потому измеримое множество. Рассмотрим множество A2 и его характеристическую
функцию 2 . Искомой функцией будет
(x) |
|
|
2 |
( y) (x y)dy |
|
(x y)dy . |
(56) |
|
|
|
|
|
n |
A2 |
|
Теперь покажем, что выполняются пункты а) и б) определения 5.1. Интеграл в правой части (56)зависит от параметра x. По теореме о дифференцировании интеграла по параметру получаем:
( ) (x) |
|
( x ) (x y)dy . |
(57) |
|
|
|
A2
По лемме 5.3 шапочка имеет любые производные (a ) (x) ,
следовательно, интеграл (57) – от непрерывной (даже дифференцируемой) функции по ограниченному измеримому множеству. Поэтому он существует,
а значит, функция (x) имеет любые производные ( ) (x) , C |
( n ) . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Если x A |
, то U |
|
(x) A |
. Учитывая, что (x y) 0 при |
||
3 |
|
2 |
|
|
|
y U (x) , заключаем, что интеграл (56) равен 0. Это доказывает 2) и финитность (x).
Если x A , то U (x) A2 . Теперь 1) вытекает из равенства
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y)dy |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
( x y)dy |
|
(x |
|
|
(z)dz 1 . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Так как шапочка неотрицательна, то 3) следует из неравенств |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
(x y)dy |
|
(x y)dy 1. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наконец, |
( ) (x) |
|
|
( x ) (x y) |
dy |
|
|
|
( ) (z) |
|
|
dz (по лемме 5.4) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n (z / ) ( z ) |
dz zi ti , ti |
|
zi |
|
|
|
|
|
( t ) (t) |
dz |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
( ) (t) |
dz . Последний интеграл и есть константа C( ). |
■ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n – компакт, |
|
||
|
|
|
|
Теорема 5.6. (О разбиении единицы) Пусть K |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
U1, |
|
, Um – его открытое минимальное покрытие. Тогда существуют |
|||||||||||||||||||||||||||||||
бесконечно дифференцируемые функции e0, e1, |
|
, em со свойствами: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1) e1, , em – основные функции из D |
n и suppek Uk , k 1, |
m . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2) e0 (x) e1(x) |
|
em (x) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Возьмём произвольное j, 1 j m . Так как покрытие |
|||||||||||||||||||||||||
U1, |
|
, Um минимальное, то K j K \ Ui :i j . Кроме того, Kj – |
|||||||||||||||||||||||||||
компакт и K |
|
j |
U |
j |
. Следовательно, непрерывная функция f |
j |
: |
n , |
|||||||||||||||||||||
f j (x) min |
|
x y |
|
: y n \ U j |
достигает на компакте Kj некоторого |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
наименьшего значения j > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Возьмём теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
min j :1 j m и построим для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
всех компактов Kj их « /3-раздутия» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
j |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
/ 3 |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
K |
|
/ 3 |
|
U |
|
(x) : x K |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ясно, что V1, |
|
,Vm – открытое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
покрытие компакта K и V j V |
j U j . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
По теореме 5.5 существуют шляпы h |
j |
j |
/ 3 |
для компактов Kj. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Положим теперь e j h j |
h1 |
hm , |
e0 1 e1 |
em . Напрямую |
|||||||||||||||||||||||||
можно проверить, что эти функции отвечают условиям 1) и 2). |
■ |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Теорема 5.7. Пусть G |
n – ограниченная область, f |
: |
|
n – |
|||||||||||||||||||||
интегрируемая функция с носителем из G, > 0. Тогда функция |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
(x) |
|
f ( y) |
(x y)dy |
|
|
|
|
(58) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
основная из D |
n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Бесконечная дифференцируемость функции f доказывается применением теоремы о дифференцировании интеграла (58) по параметру, аналогично рассуждениям для шляпы (56).
Докажем, что f финитна. Имеем supp (x y) U |
|
(x), supp f ( y) G . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
||
Значит, если x «далеко» от G, в смысле min |
|
: y G |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
U (x) G и потому подынтегральное выражение в (58) равно 0 при всех
y |
n , и f |
(x) = 0. Итак, supp f |
|
( y) G |
U |
|
(x) : x G , что и означает |
|
|
|
|
|
|
||
финитность функции f . |
|
|
|
|
■ |