attachments_26-06-2014_11-15-16 / Лекц 11 Пар 9 Диф обобщ фун
.pdf
§9 Дифференцирование обобщённых функций.
Дифференцирование в обобщѐнном смысле, как мы увидим ниже, осуществимо в гораздо большем числе случаев, чем дифференцирование классическое. Интуитивно понятно, что это расширяет круг разрешимых краевых задач, поскольку расширяется класс дифференцируемых функций.
Понятие обобщѐнной производной, как и введѐнные нами ранее операции замены переменных и умножения обобщѐнной функции на мультипликатор, определяются «за счѐт» основных функций.
Определение 9.1. Пусть – мультииндекс, f – обобщѐнная функция
(безразлично, из D (G) , или из S ( n ) ). Еѐ обобщённой производной f( )
порядка называется обобщѐнная функция, задаваемая правилом
f ( ) , ( 1) |
|
|
|
f , ( ) . |
(68) |
|
|
||||
|
|
Пример 9.2. (x) (x) .
Доказательство.
|
(68) |
|
|
|
|
(x), (x) |
(x), (x) |
(x) |
|||
(x)dx |
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
(0) (x), ( x) . ■
0
Очевидно, что обобщѐнное дифференцирование линейно: |
|
Предложение 9.3. Если f, g – обобщѐнные функции, a, b – числа, – |
|
мультииндекс, то a f b g ( ) a f ( ) b g( ) . |
■ |
Предложение 9.4. (Формула Лейбница) Пусть f – обобщѐнная функция, a
– мультипликатор, – мультииндекс, такой, что 1. Тогда
f (x) a(x) ( ) f ( )(x) a(x) f (x) a( )(x) .
Доказательство. Подчеркнѐм ещѐ раз, что имеет вид = (0,…0,1,0,…0).
a f ( ), a f , ( ) f , a ( ) f , a ( ) a( )
f , a ( ) f ,a( ) f ( ) ,a a( ) f , a f ( ) a( ) f , . ■
Определение 9.5. Функцию f : |
n |
назовѐм кусочногладкой |
|||||||||
функцией порядка k, если пространство |
n можно так разбить на области, |
||||||||||
n G1 |
Gm , что f Ck |
|
для всех i = 1,…,m. |
||||||||
Gi |
|||||||||||
|
, (x), signx, |
sin x |
|
|
|
|
|||||
Пример 9.6. Функции |
x |
x |
|
– кусочно-гладкие (на ). |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. При n > 1 границы областей Gi обычно предполагаются кусочно-гладкими поверхностями (или кривыми).
Теорема 9.7. (О дифференцировании кусочно-гладкой функции) Пусть
n = 2 или n = 3. Пусть |
n G |
S G |
, где S – общая кусочно-гладкая граница |
|
1 |
2 |
|
областей G1 и G2. Пусть f C1 Gi для i = 1, 2. Тогда обобщѐнная (в смысле
|
n |
) ) частная производная fx от функции f по координате x равна |
|
|||
D ( |
|
|
||||
|
|
fx fx |
r |
f |
cos x,n S , |
(69) |
|
|
|
S |
|
|
|
где [f]S – скачок функции f на границе S.
Доказательство. Рассмотрим случай n = 2. Каждая кусочно-гладкая функция локально
интегрируема. Поэтому, применяя сначала (68), |
|
n |
|
G 2 |
||
|
|
|
||||
а затем (63), можем записать ( D( 2 ) ): |
|
|
|
|||
|
supp |
|
||||
fx, f , x |
f xdxdy |
|
|
|
||
G1 |
|
|
S |
|||
S |
2 |
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
f xdxdy |
f xdxdy . |
|
S1 |
|
|
|
|
|
|
|||
G1 |
G2 |
|
|
|
|
|
Последнее равенство верно, так как мера Лебега линии S равна 0. Но отдельно в областях G1 и G2 функция f имеет классическую производную по x. Из формулы Лейбница теперь следует
|
f xdxdy |
fx dxdy f x dxdy . |
(*) |
G1 |
G1 |
G1 |
|
Пусть D – некоторый круг, содержащий компактный носитель supp , S1 – граница области D G1 (см. рис.). Значит, S1 – замкнутая кусочно-гладкая
кривая. Вне области D G1 |
подынтегральные функции в (*) равны 0. Поэтому |
|
f x dxdy |
f x dxdy . |
|
G1 |
G1 D |
|
Для последнего интеграла справедлива формула Грина. Приведѐм соответствующую теорему.
Теорема. (Формула Грина) Если функции P, Q непрерывно
дифференцируемы в замкнутой области 2 , ограниченной замкнутым контуром , то
|
|
|
|
|
|
Qx Py dxdy Pdx Qdy . |
(70) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая G1 D, |
S1, |
|
P 0, |
Q f x , а также, при (x, y) S1, |
|||||||
полагая |
f (x, y) |
|
lim |
|
|
|
, по формуле (70) получим: |
|
|||
|
|
f x , y |
|
||||||||
|
1 |
|
x , y |
G |
D |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x , y |
x, y |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x dxdy |
f1dy f1dy f1 cos x, n1 dS . |
|
G1 D |
S1 |
S |
S |
Здесь n1 – единичный вектор внешней нормали к S1 (см. красный n на |
||||||||
рисунке). Кроме того, мы воспользовались тем, что в элементарном |
|
|||||||
прямоугольном треугольнике с катетом dy и гипотенузой dS выполнено |
||||||||
|
|
|
dy cos y, dS cos x,n dS (см. рис. 2). |
|
||||
y |
|
|
Следовательно, (*) принимает вид |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
f xdxdy |
fx dxdy f1 cos x, n1 dS . (**) |
|
|
|
|
x |
|
G1 |
G1 |
S |
|
|
|
|
|
Аналогично, учитывая, что cos x, n1 cos x,n1 , |
||||
|
|
|
n |
|
||||
S |
|
|
получим |
|
|
|
||
Рис. 2 |
|
|
f xdxdy |
fx dxdy f2 cos x, n1 dS .(***) |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
G2 |
G2 |
S |
|
Складывая равенства (**) и (***), получим |
|
|||||||
|
|
fx, |
|
fxdxdy f2 f1 cos x, n1 dS |
|
|||
|
|
|
G1 G2 |
|
S |
|
|
|
|
fxdxdy f S cos x,n1 dS fx r f S cos x,n1 S , . |
|||||||
|
2 |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заключаем, что fx fx r f S cos x,n1 S . |
■ |
|||||||
Замечание. 1) Ясно, что аналогично выводится формула для fy.
2) При n = 3 доказательство дословно такое же, но для перехода от
интеграла по ограниченной области к интегралу по замкнутой границе вместо формулы Грина (70) используется формула Гаусса–Остроградского
|
Px Qy Rz dxdydz P cos x, |
|
Q cos y, |
|
R cos z, |
|
d . |
(71) |
|||||||||
n |
n |
n |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) При n = 1 получим сразу по формуле интегрирования по частям: |
|
|||||||||||||||
|
fx fx r f x0 (x x0 ) |
(72) |
|||||||||||||||
(Доказательство – упражнение) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4) Формула (72) легко обобщается на случай m точек разрыва |
|
|||||||||||||||
классической производной fx: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
x |
f |
x |
r |
f |
xi |
(x x ) . |
(73) |
||||||||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
i |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||