
суперсимметряи_пособие
.pdf
Глава 3 Теория поля в суперпространстве.
В двух предыдущих главах наше рассмотрение было сосредоточено на изложении математических основ теории суперсимметрии и изучении свойств супералгебры Пуанкаре. В данной главе развитый аппарат будет применен для построения суперсимметричных моделей теории поля и изучения их специфи- ческих особенностей.
3.1Ковариантные производные. Киральные суперполя.
По аналогии с квантовой теорией поля в пространстве Минковского основными объектами, с которыми нам предстоит оперировать, являются суперпространство, набор суперполей и функционал действия, который определяет динамику теории.
Как уже обсуждалось ранее, разложение произвольного поля в ряд по грассмановым переменным приводит к набору компонентных полей, которые отождествляются с релятивистскими частицами. В общем случае данный набор является слишком широким, и построение суперсимметричных моделей, представляющих реальный физический интерес, можно провести, используя меньшее число компонентных полей.
Процедуру, позволяющую удалить часть компонентных полей из рассмотрения, называют наложением связей. Связь представляет собой ограничение на
¹
форму суперполя V (x; µ; µ) âèäà:
¹ |
(3.1) |
DV (x; µ; µ) = 0; |
|
|
¹ |
ãäå D некоторый дифференциальный оператор. Поскольку суперполе V (x; µ; µ) |
преобразуется при инфинитезимальном преобразовании суперсимметрии следу- |
||||||||
ющим образом: |
±V = (i² |
® |
|
® ¹ |
|
|
(3.2) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Q® ¡ i²¹ Q®)V; |
|
|
||||
где генераторы суперсимметрии определены соотношениями: |
|
|||||||
|
Q® = i@® + (¾ |
n ¹ |
|
¹ |
¹ |
n |
)®@n; |
(3.3) |
|
µ)®@n; |
Q® = ¡i@® ¡ (µ¾ |
|
наложение связей не нарушает суперсимметрию теории только, если оператор
¹
D (анти)коммутирует с суперзарядами Q® è Q®.
41

Принимая во внимание явный вид генераторов суперсиметрии, нетрудно построить операторы такого типа (fDA; QBg = 0, A = (®; ®)):
n ¹ |
¹ |
¹ |
n |
)®@n; |
(3.4) |
D® = @® + i(¾ µ)®@n; |
D® = ¡@® ¡ i(µ¾ |
которые называют ковариантными производными. Поскольку ковариантные производные играют важнейшую роль при построении суперсиметричных полевых теорий, полезно выписать их основные свойства.
Задача 3.1. Доказать соотношения:
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
)®®@n; |
|
|
|
|
fD®; D¯g = 0; |
|
¹ |
|
¹ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
fD®; D®g = ¡2i(¾ |
|
|
|
|
|
|
fD®; D¯_ g = 0; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
[D®; @n] = 0; |
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
; @n] = 0; |
|
|
|
|
D®D¯D° = 0; |
|
|
|
¹ ¹ |
¹ |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
[D® |
|
|
|
|
|
|
D®D _ |
D° = 0; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
2 |
¹ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
® |
; |
|
|
|
|
¹2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
¹® |
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
[D |
; D®] = ¡4i(¾ |
|
|
)®®@nD |
|
|
|
[D |
; D®] = 4i(¾ |
|
)®®@nD |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
® |
¹2 |
|
|
|
¹ |
|
|
2 |
|
¹® |
; |
|
|
|
|
2 |
|
¹ |
|
|
|
2 |
= 0; |
|
¹2 |
|
¹ |
2 |
= 0; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
D D |
|
D® = D®D |
D |
|
D |
D®D |
|
|
|
D |
D®D |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
¹2 |
D |
2 |
|
|
|
|
2 |
2; |
|
|
|
|
|
¹2 |
2 |
¹2 |
|
|
|
|
|
|
¹2 |
2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
D D |
|
= 16D |
|
|
|
|
D |
|
D |
|
D |
= 16D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
¹2 |
|
|
|
¹2 |
D |
2 |
|
|
|
|
|
|
® |
|
¹2 |
D® |
= 162; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
D D |
|
+ D |
|
¡ 2D |
D |
|
¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(D®V )¤ = (¡1) |
²(V ) ¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
V ) |
|
¹2 |
V ¤; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.5) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
D®V ¤; |
|
|
|
|
(D |
|
|
= D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
где введено обозначение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
® |
|
®¯ |
|
|
|
|
|
¹® |
|
|
|
|
|
|
_ |
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
® |
|
|
|
¹2 |
|
¹ ¹® |
|
n |
|
||||||||||
D |
= ² |
D¯; |
|
|
|
= ² |
®¯ |
|
_ ; |
|
|
|
D |
|
|
|
|
D®; |
|
|
|
@n = 2; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
D |
|
D |
|
|
|
|
= D |
|
|
|
D |
|
= D®D |
|
; @ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.6) |
|
и использованы тождества: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
¹ |
|
1 |
|
¹2 |
|
|
|
|
|
|
(3.7) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D®D¯ = |
2 |
²®¯D |
|
; |
|
|
|
D®D¯_ = ¡ |
2 |
²®¯_ |
D |
: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
è ¹ |
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Суперполя ©(x; µ; µ) |
|
|
©(x; µ; µ) удовлетворяющие уравнениям: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D®©(x; µ; µ) = 0; |
|
|
|
|
D®©(x; µ; µ) = 0; |
|
|
|
|
|
|
называют соответственно киральным и антикиральным. Принято также гово- |
||
рить, что компонентные поля, входящие в состав (анти)кирального поля, обра- |
||
зуют (анти)киральный мультиплет. |
|
|
Для того чтобы построить решение уравнений (3.8) и прояснить геометри- |
||
ческую природу (анти)киральных суперполей, рассмотрим суперпространство |
||
C4j2, параметризованное комплексными переменными (yn; µ®). В данном про- |
||
странстве можно реализовать преобразования суперсимметрии: |
|
|
y0n = yn + 2iµ¾n²¹+ i²¾n²;¹ |
µ0® = µ® + ²®: |
(3.9) |
Простейшими суперполями в C4j2 являются голоморфные суперполя:
¹ |
¹ |
¹ |
¹ |
@n©(y; y;¹ µ; µ) = 0; |
@®©(y; y;¹ µ; µ) = 0 |
и антиголоморфные суперполя:
¹ |
¹ |
@n©(y; y;¹ µ; µ) = 0; |
@®©(y; y;¹ µ; µ) = 0: |
(3.10)
(3.11)
42

В частности, компонентное разложение голоморфного суперполя имеет следующий простой вид:
©(y; µ) = A(y) + µ®Ã®(y) + µ2F (y): |
(3.12) |
Рассмотрим далее инвариант преобразований (3.9):
(y |
n |
n |
n ¹ |
(3.13) |
|
¡ y¹ ) ¡ 2iµ¾ |
µ: |
Важное наблюдение состоит в том, что суперинвариантную поверхность:
(y |
n |
n |
n ¹ |
(3.14) |
|
¡ y¹ ) ¡ 2iµ¾ µ = 0 |
â C4j2 можно отождествить с суперпространством R4j4. Действительно, данная
n 1 n n ®, ¹®), преобразоповерхность параметризуется переменными (x = 2 (y +y¹ ), µ µ
вания суперсимметрии для которых в точности совпадают с формулами (2.96), полученными в предыдущей главе.
В качестве последнего шага рассмотрим ограничение голоморфного суперполя ©(y; µ) на поверхность (3.14). Принимая во внимание тождества:
iµ¾ |
n ¹ |
|
¡iµ¾ |
n ¹ |
¹ |
|
¡iµ¾ |
n ¹ |
|
iµ¾ |
n ¹ |
|
µ@n ¹ |
µ@n |
e |
µ@n |
@®e |
µ@n |
= D® |
||||||
e |
|
@®e |
|
|
= ¡D®; |
|
|
|
|
и тот факт, что для точек поверхности выполнено соотношение:
|
|
|
y |
n |
= x |
n |
n ¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ iµ¾ µ; |
|
|
|||
находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
¹ |
¹ |
n ¹ |
|
|
|
|
n ¹ |
|
|
iµ¾ |
µ@n |
©(x; µ) = ¡e |
iµ¾ µ@n ¹ |
|||||||
D®©(x + iµ¾µ; µ) = D®e |
|
|
|
|
@®©(x; µ) = 0: |
(3.15)
(3.16)
(3.17)
Итак, ограничение голоморфного суперполя, определенного в C4j2, íà ñó- перинвариантную поверхность (3.14) дает киральное суперполе в R4j4.
|
¹ |
iµ¾ |
n ¹ |
|
|
µ@n |
©(x; µ) является |
||
Задача 3.2. Показать, что выражение ©(x + iµ¾µ; µ) = e |
|
|
||
общим решением уравнения ¹ |
¹ |
|
|
|
D®©(x; µ; µ) = 0. |
|
|
|
Для дальнейшего полезно®выписать2компонентное разложение кирального суперполя (©(x; µ) = A(x) + µ î(x) + µ F (x)):
¹ |
® |
2 |
n ¹ |
i 2 |
n ¹ 1 |
2 ¹2 |
|
||
©(x; µ; µ) = A(x)+µ |
î(x)+µ |
F (x)+iµ¾ µ@nA(x)¡ |
|
µ |
@nÃ(x)¾ µ + |
|
µ µ |
2A(x): |
|
2 |
4 |
(3.18) Комплексное сопряжение последнего выражения дает компонентное разложение антикирального суперполя:
¹ |
¹ |
¹ |
¹ ¹® |
¹2 ¹ |
n ¹ |
¹ |
i |
¹2 |
n |
¹ |
©(x; µ; µ) = A(x)+µ®Ã |
(x)+µ F |
(x)¡iµ¾ µ@nA(x)+ |
2 |
µ |
µ¾ |
@nÃ(x) |
||||
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
¹ |
|
которое является общим решением уравнения D®©(x; µ; µ) = 0.
|
1 |
2 |
¹2 |
¹ |
+ |
4 |
µ |
µ |
2A(x); |
|
|
|
|
(3.19) |
43

3.2Вариационный принцип в суперполевом подходе.
Напомним, как выглядит формулировка вариационного принципа в рамках релятивистской теории поля. На множестве полей fV g задается функционал
действия, инвариантный относительно группы Пуанкаре: |
|
S[V ] = Z d4xL(V; @V ): |
(3.20) |
Постулируется, что траектории физической системы доставляют экстремум функционалу действия:
±S[V ] = S[V + ±V ] ¡ S[V ] = Z |
d4x ±V |
±S |
= 0; ! |
|
±S |
= 0: |
(3.21) |
|
|
|
|||||
±V |
±V |
При практических вычислениях удобно пользоваться вариационной производ- |
||||
íîé: |
±V (x) |
|
|
|
|
= ±(4)(x ¡ x0): |
(3.22) |
||
|
|
|
||
|
±V (x0) |
Обобщение вариационного принципа на суперполевой случай выглядит ана- |
|||||
логичным образом. Функционал действия задается в виде интеграла по супер- |
|||||
пространству: |
d4x Z |
d2µ Z |
d2µ¹ L(©; D©) ´ Z |
|
|
S[©] = Z |
d8zL(©; D©); |
(3.23) |
при этом суперполевые уравнения движения и вариационная производная име- |
||||||
þò âèä: |
±S |
|
±©(z) |
|
|
|
|
= 0; |
= ±(8)(z ¡ z0): |
(3.24) |
|||
|
|
|
|
|||
|
±© |
±©(z0) |
В формуле (3.23) принято следующее обозначение для меры интегрирования по нечетным переменным:
2 |
1 |
|
®¯ |
|
2 ¹ |
|
1 |
|
¹® |
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹¯ |
|
(3.25) |
|||||
d µ = |
|
|
² |
|
dµ®dµ¯; |
d µ = |
|
² |
_ dµ |
dµ |
|
; |
||
4 |
|
4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
®¯ |
|
|
|
|
|||
которое согласовано с следующими формулами: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Z |
|
dµ® µ¯ = ±®¯; |
Z |
d2µ µ2 = 1; |
|
|
|
ZZ
¹® |
¹ |
_ |
= ± |
® |
_ ; |
d |
2 ¹ ¹2 |
= 1: |
(3.26) |
dµ |
µ |
|
µ µ |
||||||
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
± функция в суперпространстве R4j4 выбрана в виде:
|
|
|
|
± |
(8) |
|
0 |
) = ± |
(4) |
0 |
)± |
(2) |
0 |
)± |
(2) |
¹ ¹0 |
); |
(3.27) |
|
|
|
|
|
(z ¡ z |
|
(x ¡ x |
|
(µ ¡ µ |
|
(µ ¡ µ |
|
||||||
ãäå ± |
(2) |
(µ) = µ |
2 |
è ± |
(2) |
¹ |
¹2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(µ) = µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44

Полезно подчеркнуть, что в общем случае интеграл по полному суперпрост- |
||
|
¹ |
|
ранству от произвольного скалярного суперполя V (x; µ; µ) (см. разложение (2.101)) |
||
содержит только старшую компоненту суперполя: |
|
|
Z d4x Z d2µ Z d2µ¹ V (x; µ; µ¹) = Z |
d4xD(x): |
(3.28) |
Допуская, что компонентные поля, входящие в состав суперполя, убывают на |
||||||||
бесконечности, можно установить важные соотношения: |
4 Z |
d4x D¹2V; |
||||||
Z |
d4x Z d2µ V = ¡4 Z d4x D2V; |
Z d4x Z d2µ¹ V = ¡ |
||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
Z |
d8zV = 16 Z d4xD2D¹2V; |
|
|
|
(3.29) |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
которые часто используются в практических вычислениях. |
|
||
При работе с киральными суперполями вариационная производная нужда- |
|||
ется в некоторой модификации. Как видно из соотношений (3.29), интеграл от |
|||
кирального суперполя по полному суперпространству равен нулю. Поэтому для |
|||
кирального поля обычно рассматривают интеграл по подпространству (xn; µ®): |
|||
Z |
d4xd2µ ©(x; µ; µ¹) ´ Z |
d6z ©(x; µ; µ¹): |
(3.30) |
Принимая во внимание последнее замечание, нетрудно определить вариационную производную для киральных суперполей:
±©(z0) |
= ¡4D¹2 |
±(8)(z ¡ z0) =) |
Z |
d6z ±©(z0) = 1: |
(3.31) |
|
±©(z) |
1 |
|
|
|
±©(z) |
|
Отметим, что данное определение согласовано с уравнением, которому удовлетворяет киральное суперполе.
Аналогичным образом для антикиральных суперполей рассматривают ин-
n ¹
теграл по подпространству (x ; µ®):
ZZ
4 |
2 ¹ ¹ |
6 ¹ |
(3.32) |
d |
xd µ © ´ |
d z¹ © |
и определяют вариационную производную антикиральных суперполей посред- |
||||||||||
ством соотношения: |
¹ |
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
±©(z) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= ¡ |
|
|
D2±(8)(z ¡ z0): |
(3.33) |
|
± ¹ |
z |
0) |
4 |
||||||
|
©( |
|
|
|
|
|
|
В заключение отметим, что суперполевой функционал действия общего вида автоматически является инвариантным относительно преобразований суперсимметрии.
Задача 3.3. Доказать, что функционал вида R d6z ©(z), ãäå ©(z) киральное суперполе, инвариантен относительно преобразований суперсимметрии.
45

3.3Переход к компонентным полям в суперполевом действии. Суперсимметрия в компонентах.
Хотя суперполевой подход оказывается чрезвычайно эффективным при пост- |
|||
роении суперсимметричных теорий, динамика физических степеней свободы |
|||
наиболее наглядно выглядит в компонентах. Для перехода к компонентным |
|||
полям в суперполевом функционале действия используется техника ковариант- |
|||
ных производных. |
|
|
|
В качестве примера рассмотрим киральное суперполе © и функционал дей- |
|||
ствия: |
S[©; ©]¹ = Z |
d8z ©©¹ : |
(3.34) |
Используя компонентное разложение (3.18), нетрудно получить соотношения:
|
1 |
D2©j; |
|
|
|
(3.35) |
||
|
A(x) = ©j; î(x) = D®©j; F (x) = ¡ |
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
||||
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
где введено обозначение ©j = ©(x; µ; µ)jµ=0; µ¹=0. |
|
|
|
|
||||
Принимая во внимание последнее равенство в формуле (3.29), сведем инте- |
||||||||
грал по суперпространству R4j4 к интегралу по подпространству Минковского: |
||||||||
Z |
d8z ©©¹ = 16 Z d4x ¡©D2D¹2©¹j + 2D®©D®D¹2©¹j + D2©D¹2 |
©¹j¢ |
: |
¹ |
(3.36) |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
В правой части последнего равенства фермионные переменные (µ; µ) |
можно |
положить равными нулю, поскольку их вклад в функционал действия равен |
|||
полной производной. |
|
|
|
Используя соотношения (3.35) и свойства ковариантных производных (3.5), |
|||
без труда находим компонентное действие: |
¶ |
: |
(3.37) |
SW Z = Z d4x µA2A¹ ¡ 2þn@nù + F F¹ |
|||
i |
|
|
|
Модель (3.37) впервые была предложена Вессом и Зумино в работе [4]. и ¹
Поскольку на уравнениях движения поля F (x) F (x) оказываются равными
нулю, их называют вспомогательными. Являясь нединамическими переменными, вспомогательные поля, тем не менее, играют в теории принципиальную роль. Они обеспечивают замыкание алгебры суперсимметрии вне массовой поверхности. В следующем разделе мы обсудим вспомогательные поля более детально.
Задача 3.4. Получить формулу (3.37) явной подстановкой компонентных раз-
Rложений кирального и антикирального суперполей в функционал действия
8 ¹
d z ©©.
Описанная выше техника оказывается полезной и при установлении компонентной формы преобразований суперсимметрии. Действительно, принимая во внимание тривиальное тождество:
¹ |
¹ |
n ¹ |
n |
²¹)@n |
(3.38) |
i(²Q + ²¹Q) = ¡(²D + ²¹D) + 2i(²¾ µ ¡ µ¾ |
46

и закон преобразования скалярного суперполя относительно супертрансляций
¹
±© = i(²Q + ²¹Q)©, имеем:
±A(x) = ±©j = ¡²Ã(x); ±Ã®(x) = D®±©j = ¡2²®F (x) ¡ 2i(¾n²¹)®@nA(x);
±F (x) = ¡ |
1 |
|
4D2±©j = i@nÃ(x)¾n²:¹ |
(3.39) |
Задача 3.5. Проверить симметрию (3.39) в функционале действия (3.37). Вы- числить коммутатор двух преобразований суперсимметрии [±1; ±2] при действии
íà ïîëÿ A(x), î(x), F (x).
Задача 3.6. Для теории: |
d8z ©©¹ + 2 |
Z |
d6z©2 + 2 |
Z |
d6z¹©¹2; |
(3.40) |
|
|
S[©; ©]¹ = Z |
||||||
|
|
m |
|
m |
|
|
|
ãäå © |
киральное суперполе, ¹ |
|
|
|
|
|
|
|
© антикиральное суперполе и m-постоянная, по- |
лучить суперполевые уравнения движения, компонентную форму функционала действия и преобразований суперсимметрии.
3.4 Суперсимметрия вне и на массовой оболочке.
Как уже было отмечено в предыдущем разделе, поля F (x) |
è ¹ |
F (x) являются |
нединамическими. По этой причине они могут быть исключены из рассмотрения. В частности, теория:
S[A; Ã] = Z |
d4x µA2A¹ ¡ |
i |
þn@nù¶ |
(3.41) |
2 |
физически эквивалентна модели (3.37). Преобразование суперсимметрии, оставляющее данный функционал действия инвариантным, получается из формул (3.39) исключением поля F (x):
±A(x) = ¡²Ã(x); ±Ã®(x) = ¡2i(¾n²¹)®@nA(x): |
(3.42) |
Полезно проанализировать алгебру преобразований (3.42). Несложное вычисление дает:
[±1; ±2]î(x) = 2i(²2¾n²¹1 ¡ ²1¾n²¹2)@nî(x) + i(²2¾m²¹1 ¡ ²1¾m²¹2)(¾m¾~n@nÃ(x))®;
[±1; ±2]A(x) = 2i(²2¾n²¹1 ¡ ²1¾n²¹2)@nA(x): |
(3.43) |
Таким образом, алгебра преобразований суперсимметрии замыкается только на уравнениях движения:
(3.44)
Преобразования такого типа называют преобразованиями суперсимметрии на массовой поверхности или on-shell суперсимметрией. Преобразования симметрии (3.39), которые имелись в теории до исключения вспомогательного поля, называют преобразованиями суперсимметрии вне массовой поверхности или o -shell суперсимметрией.
47

Отметим, что размыкание алгебры преобразований глобальной симметрии функционала действия вне массовой оболочки характерно только для суперсимметричных моделей и не имеет места для обычной релятивистской теории поля. Хотя отсутствие o shell суперсимметрии не является препятствием для изучения динамики модели, в ряде случаев явно o shell суперсимметричная формулировка оказывается предпочтительной.
Наше предыдущее рассмотрение показывает, что в общем случае для замыкания алгебры суперсимметрии вне массовой оболочки необходимо вводить вспомогательные нединамические поля. Проиллюстрируем этот механизм на примере модели Весса Зумино.
Для удаления нежелательного вклада в алгебру (3.43) модифицируем закон преобразования фермионного поля следующим образом:
±Ã®(x) ¡! ±Ã®(x) + ²®F (x); |
(3.45) |
ãäå F (x) вспомогательное поле. Требуя выполнения стандартного соотношения:
[±1; ±2]î(x) = 2i(²2¾n²¹1 ¡ ²1¾n²¹2)@nî(x) |
(3.46) |
фиксируем закон преобразования вновь введенного поля: |
|
±F (x) = ¡2i@nþn²:¹ |
(3.47) |
Далее необходимо вычислить действие коммутатора [±1; ±2] íà ïîëå F (x). Несложное вычисление приводит к желаемому соотношению
[±1; ±2]F (x) = 2i(²2¾n²¹1 ¡ ²1¾n²¹2)@nF (x): |
(3.48) |
Отметим, что в общем случае коммутатор преобразований суперсимметрии |
|
при действии на вспомогательные поля не замыкается, и необходимо рассмат- |
|
ривать дальнейшее расширение набора вспомогательных полей: |
|
±F (x) ¡! ±F (x) + F1(x) |
(3.49) |
и так далее. Может оказаться, что набор вспомогательных полей, необходимый |
||
для замыкания алгебры, бесконечен. |
|
|
В качестве последнего шага рассмотрим вариацию функционала действия |
||
(3.41) относительно модифицированных преобразований (3.45): |
(3.50) |
|
±S[A; Ã] = Z d4x µ¡2(²¾n@nù)F + |
2(@nþn²¹)F¹¶: |
|
i |
i |
|
Принимая во внимание закон преобразования вспомогательного поля, без труда |
||
находим модификацию функционала действия: |
(3.51) |
|
S ¡! S + 4 Z d4xF F¹; |
||
1 |
|
|
которая приводит к окончательной o shell суперсимметричной формулировке. Тривиальное переопределение вспомогательного поля:
F ¡! ¡2F |
(3.52) |
48

воспроизводит функционал действия (3.37).
В заключение данного раздела отметим, что описанная процедура замыкания алгебры суперсимметрии вне массовой поверхности не всегда оказывается конструктивной. В частности, до настоящего момента не известна o shell формулировка для N = 4 суперсимметричной теории Янга Миллса, а также для
некоторых моделей супергравитации.
3.5 Суперсимметричная теория Янга Миллса.
Калибровочные теории, то есть теории, в которых имеются преобразования симметрии с локальным параметром, играют в современной теории поля центральную роль. В данном разделе мы изучим суперсимметричный вариант теории Янга Миллса.
Стандартная формулировка теории Янга Миллса вовлекает набор (скалярных) полей материи и калибровочное поле. При этом функционал действия содержит вклад, отвечающий свободным полям материи, слагаемые, описывающие калибровочное поле, и члены, ответственные за взаимодействие.
Построение суперсимметричной версии теории Янга Миллса предполагает введение суперпартнеров как для полей материи, так и для калибровочного поля. Суперсимметричная версия теории свободного комплексного скалярного поля была построена в разделе 3.3 и описывается киральным мультиплетом (модель Весса Зумино). Ближайшие два подраздела будут посвящены формулировке суперсимметричной теории калибровочного поля. К рассмотрению полной суперсимметричной теории Янга Миллса мы приступим в подразделах 3.5.3 и 3.5.4. В заключительном разделе 3.6 мы изучим геометрическую формулировку суперсимметричной калибровочной теории.
3.5.1 Векторный мультиплет в компонентах.
Для простоты начнем с абелева случая и рассмотрим функционал действия:
S[A] = ¡ |
1 |
Z |
d4xF nmFnm; |
(3.53) |
4 |
ãäå Fnm(x) = @nAm(x) ¡ @mAn(x) напряженность калибровочного поля An(x).
Как хорошо известно, модель инвариантна относительно калибровочного пре- |
||
образования: |
±®An(x) = @n®(x): |
(3.54) |
|
Попытаемся построить суперсимметричное расширение теории (3.53), ис- |
||||
ходя их общих принципов. Как хорошо известно, безмассовое векторное поле |
||||
описывает две динамические степени свободы. Поскольку в неприводимом пред- |
||||
ставлении алгебры суперсимметрии имеется равное число бозонных и ферми- |
||||
онных степеней свободы, представляется естественным ввести в рассмотрение |
||||
майорановский спинор ª = (¸ |
® |
¹ |
|
|
|
; ¸®), который модифицирует функционал дей- |
|||
ствия следующим образом: |
|
|
|
(3.55) |
S[A; ¸] = Z d4x µ¡4F nmFnm ¡ i¸¾n@n¸¹¶: |
||||
|
|
1 |
|
|
49
Очевидно, данное расширение калибровочно инвариантно, при условии, что фермионы преобразуются тривиальным образом: ±®¸ = 0.
Принимая во внимание массовые размерности имеющихся полей, координат и параметров:
[x] = 1; [@=@x] = ¡1; [µ] = 1=2; [²] = 1=2; [A] = ¡1; [¸] = ¡3=2; (3.56)
и допуская, что преобразование векторного поля линейно, однозначно фиксируем закон преобразования бозонного поля:
±A |
n |
= i²¾ |
n¹ |
n |
²:¹ |
(3.57) |
|
¸ ¡ i¸¾ |
|
Вариация функционала действия относительно последнего преобразования подсказывает закон преобразования суперпартнеров:
±¸® = ²¯(¾nm)¯®F nm; |
(3.58) |
который вместе с преобразованием (3.57) оставляет функционал действия теории инвариантным.
Задача 3.7. Доказать, что преобразования (3.57), (3.58) являются симметрией модели (3.55).
Замечание. При доказательстве оказывается полезным следующее тождество:
¾a¾~b¾c = ´ac¾b ¡ ´bc¾a ¡ ´ab¾c + i²abcd¾d:
Проанализируем алгебру преобразований суперсимметрии. Прямое вычис- |
|
ление с использованием спинорного тождества: |
|
(Ã1Ã2)Ã3® = ¡(Ã1Ã3)Ã2® ¡ (Ã2Ã3)Ã1® |
(3.59) |
приводит к равенствам: |
|
[±1; ±2]Am = 2i(²2¾n²¹1 ¡ ²1¾n²¹2)@nAm ¡ @m[2i(²2¾n²¹1 ¡ ²1¾n²¹2)An];
[±1; ±2]¸ |
® |
= 2i(²2¾ |
n |
²¹1 ¡ ²1¾ |
n |
²¹2)@n¸ |
® |
® |
(i²2¾ |
n |
¹ |
n |
²¹2) + |
|||||
|
|
|
|
|
¡ ²1 |
|
@n¸ ¡ i@n¸¾ |
|
||||||||||
|
|
® |
(i²1 |
¾ |
n |
¹ |
|
|
n |
²¹1): |
|
|
|
|
(3.60) |
|||
|
|
+²2 |
|
@n¸ ¡ i@n¸¾ |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, алгебра оказывается замкнутой с точностью до уравнений движения и калибровочного преобразования. Появление компенсирующего калибровочного преобразования в алгебре является специфической особенностью суперсимметричных калибровочных теорий и не имеет места в обычной релятивистской теории поля. Причина появления компенсирующего калибровочного преобразования в алгебре преобразований суперсимметрии будет установлена ниже.
Как уже обсуждалось в предыдущем параграфе, вклады в супералгебру, которые пропорциональны уравнениям движения, в ряде случаев можно удалить, вводя в рассмотрение вспомогательные нединамические поля.
50