Билет №22. Формулы Тейлора и Маклорена.

Ряд Тейлора - разложение функции в бесконечную сумму степенных ф-ций.

Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

• Пусть функция  имеет  производную в некоторой окрестности точки , 

• Пусть 

• Пусть  - произвольное положительное число,

тогда:  точка  при  или  при :

Для произвольной функции , не являющейся многочленом, формула Тейлора в окрестности некоторой точки принимает вид:

 - остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной форме)

Остаточный член - разность между заданной ф-цией и ф-цией ее аппроксимирующей. Тем самым оценка остаточного члена является оценкой точности рассматриваемой аппроксимации.

Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена  степени .

Можно разложить многочлен  по степеням разности , где  - любое число. В этом случае будем иметь:

Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена  в окрестности точки .

Билет №23. нахождение асимптот графика функции.

Асимптота – прямая, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.

Асимптота может быть вертикальной или наклонной.

Вертикальная А. имеет уравнение x=b , причем f(x)→+∞ (-∞) при x→a (односторонне).

Пусть функция f (x) определена для всех x. Если существуют такие числа k и b, что f(x)-kx-b = 0 при х, то прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции f (x).

k = lim f(x)/x при x→+∞ (x→-∞)

b = lim (f(x)-kx) при x→+∞ (x→-∞)

Пример разных асимптот на разных бесконечностях:

y=

x→+∞ k = lim = lim = 1 b=0

x→-∞ k = lim = lim = -1 b=0

Билет №24. Локальный экстремум. Исследование ф-ции на экстремум. Наибольшее и наименьшее значения ф-ции на промежутке.

Экстремум - максимальное или минимальное значение ф-ции на заданном множестве. Точка, в кот. достигается экстремум, называется точкой экстремума. Если достигается минимум - точка min, если максимум - точка max. Также выделают понятие локальный экстремум (минимум/максимум).

Пусть дана функция  и  - внутренняя точка области определения  Тогда

•  называется точкой локального максимума функции  если существует проколотая окрестность  такая, что

•  называется точкой локального минимума функции  если существует проколотая окрестность  такая, что

Необходимые условия сущ.:

• Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка  является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки .

Тогда либо производная  не существует, либо .

Достаточные условия существования локальных экстремумов

• Пусть функция  непрерывна в  и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии

 является точкой строгого локального максимума. А если

то  является точкой строгого локального минимума.

• Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке Пусть функция  непрерывна и дважды дифференцируема в точке . Тогда при условии  и   является точкой локального максимума. А если  и 

то  является точкой локального минимума.

• Пусть функция  дифференцируема  раз в точке  и , а .

• Если  чётно и , то  - точка локального максимума. Если  чётно и , то  - точка локального минимума. Если  нечётно, то экстремума нет.