1. Задачи / CPC для заочников / Примеры_СРС_МО-заочники / Parshakov / Самостоельнаработа №2

СPC №2.

Вторая геометрическая интерпретация: представление задачи линейного программирования в пространстве условий.

Сформируем исходные данные по коду: «Паршаков Сергей Викторович».

Получим:

Z(X)=17*x₁+ x₂ +18*x ₃ max

При условиях:

26*x₁+ x₂ +12*x ₃ = 16

3*x₁+19*x + 6*x ₃ = 18

x₁0

x₂0

x₃0

Необходимо решить задачу, используя вторую геометрическую интерпретацию.

Введем новые переменные

U1 = 26*x₁+ x₂ +12*x ₃

U2 = 3*x₁+19x₂ + 6*x ₃

U3 = 17*x₁+ x₂ +18*x ₃

Эти соотношения определяют преобразование 3-мерного пространства переменных x₁, x₂ , x₃ в 3-мерное пространство условий U1 , U2 , U3.

При этом преобразовании положительные полуоси Оx₁, Оx₂ , Оx₃ переходят

в лучи, исходящие из начала координат.

На рисунке в осях U1, U2, U3 изображены лучи Л1, Л2, Л3, которые образуют 3-гранную пирамиду. _

Расширенные векторы условий А_j = (а_1j, a_2j , c_j ) определяют направления лучей Л _j . Первые две компоненты вектора А_j совпадают с составляющими вектора условий, а третья равна соответствующему коэффициенту линейной формы.

В итоге получим вектора

_ _ _

А₁ = (26,3,17); А₂ = (1,19,1); А₃ = (12,6,18)

соответственно определяющие направления лучей Л1, Л2, Л3.

Так же необходимо рассмотреть прямую Q, определяемую соотношениями

U1 = 16 = b1,

U2 = 18 = b2,

U3 = q (- ∞ < q < ∞),

где b_j – составляющие вектора ограничений В.

Задача определения экстремума линейной формы сводится к определению крайней верхней точки пересечения прямой Q c пирамидой.

В нашем случае искомой точкой является точка А.

К оординатами точки А являются координаты точки пересечения грани, образованной лучами Л3 и Л2, с прямой Q.

Для этого нам необходимо уравнение плоскости, проходящей через 3 точки:

(1,19,1) , (12,6,18) , (0, 0, 0).

U1-1 U2-19 U3-1

1. 6-19 18-1 = 0

0-1 0-19 0-1

56U1 – U2 – 37U3 = 0 - уравнение плоскости

При U1 =16, а U2 =18 => U3 = 24 = Z(x)max