СРС №4

Методы последовательного улучшения плана ( Симплекс- метод ).

По шифру “Паршаков Сергей Викторович” сформируем исходные данные:

Z(x) = 17X1 + X2 => max

18X1 + 26X2 ≤ 43,

12X1 + 16X2 ≤ 3,

19X1 + 6X2 ≤ 18,

4X1 + 6X2 ≤ 11,

X1, X2 ≤ 0.

Требуется решить задачу симплекс-методом.

Запишем задачу в форме основной задачи линейного программирования. Для этого перейдем к ограничениям – равенствам. Введем три дополнительные переменные, в результате чего получим систему уравнений

18X1 + 26X2 + X3 = 43,

12X1 + 16X2 + X4 = 3,

19X1 + 6X2 + X5 = 18,

4X1 + 6X2 + X6 = 11.

Преобразованную систему уравнений запишем в векторной форме:

X1P1 +X2P2 + X3P3 + X4P4 + X5P5 + X6P6 = Po, где

18 26 1 0 0 0 43

12 16 0 1 0 0 3

P1= 19 P2= 6 P3= 0 P4= 0 P5= 1 P6= 0 Po= 18

4 6 0 0 0 1 11

Среди векторов Р1,Р2,Р3,Р4,Р5,Р6 имеются четыре единичных вектора, для данной задачи можно записать опорный план.

Х = ( 0, 0, 43, 3, 18, 11)

Составляем симплексную таблицу 1 итерации, подсчитываем значения

Zo = (Cб, Po) ,

zj – cj, где zj = (Pj , Cб)

и проверяем исходный опорный план на оптимальность.

I	Базис	Сб	Ро	17	1	0	0	0	0
				Р1	Р2	Р3	Р4	Р5	Р6
1	Р3	0	43	18	26	1	0	0	0
2	Р4	0	3	12	16	0	1	0	0
3	Р5	0	18	19	6	0	0	1	0
4	Р6	0	11	4	6	0	0	0	1
5			Zo= 0	- 17	- 1	0	0	0	0	zj –cj = ∆j

В 5 строке имеются два отрицательных числа:

z1 – c1 = -17 и z2 – c2 = - 1 => план не является оптимальным.

Перейдем к новому опорному плану.

Найдем направляющие столбец и строку.

Максимальное по абсолютной величине отрицательное число ∆j стоит в 5-й строке столбца вектора Р1. Отсюда следует, что в базис введем вектор Р1.

Определим вектор, подлежащий исключению из базиса. Для этого найдем

θо = min (43/18, 3/12, 18/19, 11/4) = 3/12. Следовательно, вектор Р4 подлежит удалению из базиса. Столбец вектора Р1 и 2-я строка являются направляющими. Составим таблицу 2-ой итерации.

Сначала заполняем 2-ую строку. Элементы этой строки получаются из соответствующих элементов предыдущей таблицы делением на разрешающий элемент – 12. В столбце Сб записываем коэффициент С1 = 17. Затем заполняем элементы столбцов для векторов, входящих в новый базис. В этих столбцах на пересечении строк и столбцов одноименных векторов проставляем единицы, а все остальные элементы полагаем равными нулю.

Остальные элементы столбцов вектора Ро и Pj вычисляем по правилу треугольника. Находим три числа :

1. число, стоящее в исходной таблице на месте искомого элемента новой таблицы,

2. число, стоящее в исходной таблице на пересечении строки, в которой находится искомый элемент новой таблицы, и столбца , соответствующего вектору , вводимому в базис,

3. число, стоящее в новой таблице на пересечении столбца, в котором стоит искомый элемент, и строки вновь вводимого в базис вектора.

Для определения искомого элемента новой таблицы из первого числа вычитаем произведение второго и третьего.

i	Базис	Сб	Ро	17	1	0	0	0	0
				Р1	Р2	Р3	Р4	Р5	Р6
1	Р3	0	38.5	0	2	1	-1.5	0	0
2	Р1	17	1/4	1	4/3	0	1/12	0	0
3	Р5	0	13.25	0	-58/3	0	-19/12	1	0
4	Р6	0	10	0	2/3	0	-1/3	0	1
5			Zo= 17/4	0	65/3	0	17/2	0	0	zj –cj = ∆j

Правила вычисления элементов (m+1) строки не меняются.

В результате в таблице получаем новый опорный план

Х = (0.25, 0, 38.5, 0, 13.25, 10).

Проверяем, является ли данный опорный план оптимальным или нет.

В 5-й строке среди ∆j нет отрицательных. Это означает, что найденный опорный план является оптимальным. При этом Zmax = 17/4