СРС №1

Первая геометрическая интерпретация: представление задачи линейного программирования в пространстве переменных.

По шифру “Паршаков Сергей Викторович” сформируем исходные данные:

Z(x) = 17X1 + X2 => max

18X1 + 26X2 ≤ 43,

12X1 + 16X2 ≤ 3,

19X1 + 6X2 ≤ 18,

4X1 + 6X2 ≤ 11,

X1, X2 ≥ 0.

Требуется решить задачу, используя первую геометрическую интерпретацию.

Решение.

Z(x) = 17X1 + X2 => max

18X1 + 26X2 ≤ 43,

12X1 + 16X2 ≤ 3,

19X1 + 6X2 ≤ 18,

4X1 + 6X2 ≤ 11,

X1, X2 ≥ 0.

Построим область допустимых значений. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств и построим соответствующие прямые:

18X1 + 26X2 = 43,

12X1 + 16X2 = 3,

19X1 + 6X2 = 18,

4X1 + 6X2 = 11,

X1, X2 = 0.

Градиент целевой функции : , направлен в первую четверть координатной плоскости, в этом же направлении происходит увеличение целевой функции. ОДЗ – замкнутая выпуклая фигура. При условии максимизации целевой функции ОДЗ имееет с ней единственную общую точку с координатами: Х1 = 18/19,

X2 = 0.

Для данных координат целевая функция принимает значение

Z(x)max = 17*(18/19)+1*0 = 306/19 ≈ 16,1

Для задач данного типа существует несколько вариантов:

1. Решением является единственная точка.

2. Существует бесконечное множество решений (целевая функция параллельна ограничивающему условию).

3. Нет решений в случае несовместности условий(ОДЗ- не является замкнутой фигурой).

4. Нет решений, так как ОДЗ не представляет собой замкнутую ограниченную выпуклую фигуру и градиент целевой функции направлен в сторону бесконечного расширения ОДЗ(целевая функция не будет достигать максимума)

Приведем примеры 3-х оставшихся случаев:

2) Модифицируем целевую функцию следующим образом: Z(X) = 19x₁ + 6x₂  max

Получаем на отрезке АВ бесконечное множество решений, т.к. целевая функция совпадает с отрезком, который является одной из границ ОДЗ, то есть возможен выбор любой пары х1 и х2, принадлежащих этому отрезку.

3) В этом случае не выполняется условие удовлетворения всем ограничивающим функциям. Модифицируем систему условий:

18X1 + 26X2 ≤ 43,

12X1 + 16X2 ≤ 40,

19X1 + 6X2 ≤ 18,

4X1 + 6X2 ≤ 11,

X1, X2 ≥ 0.

Оптимальное решение отсутствует, т.к. условия несовместны.

4) Модифицируем систему условий. Целевую функцию оставим без изменений.

- 18X1 - 26X2 ≤ 43,

12X1 + 16X2 ≤ 40,

19X1 + 6X2 ≤ 18,

- 4X1 - 6X2 ≤ 11,

X1, X2 ≥ 0.

Из графика видно, что градиент целевой функции направлен в сторону устремления ОДЗ в бесконечность, а ОДЗ не представляет собой ограниченную фигуру, следовательно целевая функция не будет достигать максимума.